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Regula Falsi und Effektivzins, nur wie?

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Differenzialrechnung, Finanzmathematik

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16:36 Uhr, 05.12.2011

Hallo,

ich hab ein Problem mit der Regula Falsi. Die Formel verstehe ich, auch wenn eine Funktion gegeben ist und das Intervall, weiß ich was ich rechnen muss. Nun habe ich folgendes Problem:

"Ein Student bekommt einige Jahre nach dem Ende seines Studiums folgenden Bescheid vom
Bafog-Amt: Er kann seine

20000

Euro Bafog-Schulden als zinsloses Darlehen in

20

jahrlichen
Raten zu

1000

Euro zuruckzahlen, beginnend in einem Jahr, oder er hat die Moglichkeit, die
komplette Schuld sofort zu tilgen. In letzteren Fall bekommt er einen Rabatt von

40 %

. Da
er gerade von seiner Oma

12000

Euro geschenkt bekam, hat er das Geld zur Verfugung, um
es sofort zuruckzahlen zu konnen. Ab welchem Zinssatz lohnt es sich fur den Student, das
Geld auf einem Konto anzulegen, und in Raten zuruckzuzahlen, anstatt die Schuld sofort zu
tilgen? Berechnen Sie eine Naherung fur diesen Zinssatz, indem Sie 5 Schritte des Regula-
Falsi-Verfahrens durchfuhren mit den Startwerten

x 1 = 4 %

und

x 2 = 6

%."

Wie muss ich da jetzt vorgehen? Sehe ich das richtig, das mein "Intervall"

[4,6]

ist?

Und wie lautet die Funktion zu dieser Aufgabe?

f (x) = 1000 \cdot x

?

Kann mir da einer helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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16:50 Uhr, 06.12.2011

Kann mir denn keiner helfen?

Josef48

17:27 Uhr, 06.12.2011

Hallo,

mein Vorschlag:

20.000 \cdot q^{20} - 1.000 \cdot \frac{q^{20} - 1}{q - 1} = 20.000 \cdot (1 - 0,40) \cdot q^{20}

umformen zu:

q^{20} - 0,05 \cdot \frac{q^{20} - 1}{q - 1} - 0,6 \cdot q^{20} = 0

Startwert

q 1 = 1,04

Startwert

q 2 = 1,06

Viele Grüße
Josef

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19:00 Uhr, 06.12.2011

Mhh, wie bist du denn darauf gekommen? Ich habe das jetzt so verstanden das ich eine Funktion aufstellen muss

f (x)

.

Die brauche ich, weil eine andere Aufgabe erfordert das ich das noch mit dem Newton Verfahren berechnen muss.

Josef48

03:17 Uhr, 07.12.2011

Hallo,

es soll die Lösung der oben genannten Gleichung mit Hilfe der Regula falsi ermittelt werden. Die letzte Gleichung befindet sich bereits in der erforderlichen Nullstellenform

f (x) = 0

. Da es sich um die Äquivalenzgleichung eines finanzmathematischen Vorgangs handelt, ersetzen wir wieder

x

durch die Variable

q (= 1 +

i(eff)) und erhalten die zu lösende Gleichung

f (q) = q^{20} - 0,05 \cdot \frac{q^{20} - 1}{q - 1} - 0,6 \cdot q^{20} = 0

Zwischen

q 1 = 1,04

und

q 2 = 1,06

muss (wegen

f (q 1) \cdot f (q 2 = < 0)

eine Nullstelle

q

liegen.

Viele Grüße
Josef

anonymous

12:28 Uhr, 07.12.2011

Hallo
Zur Erklärung:
Der Student hat doch zwei Möglichkeiten:

a)

Die 20000€

- 40 % =

12000€ sofort an die Bafög-Behörde zurückzahlen - und gut ist.

b)

Die 12000€ auf die Bank legen, dafür Zinsen kassieren, und von diesem Kapital jährlich 1000€ zu entnehmen, um

20

Jahre lang die Bafög-Raten zu bezahlen.
Letztere Möglichkeit ist

>

nachteilhaft, wenn die 120000€ plus Zinsen nicht reichen, um die 20*1000€ Raten abzubezahlen,

>

vorteilhaft, wenn die 12000€ plus Zinsen nach 20*1000€ Raten noch was übriglassen.
Der break-even-point ist also, wenn die 12000€ plus Zinsen gerade reichen, um 20-mal eine 1000€-Rate abzuheben.

Der Vorgang wird wirtschaftsmathematisch als "Tilgung" bezeichnet.
Ein ursprünglicher (Kredit-)Betrag wird erstmal ein Jahr lang verzinst,
dann um einen (Tilgungs-)Betrag verringert,
dann der Restbetrag wieder ein Jahr lang verzinst,
dann wieder um einen (Tilgungs-)Betrag verringert,

u . s . w . .

.
eben wie bei einem Raten-Kredit.

Josef, wie kommst du auf deine Formel
"20000*q^20−1000*(q^20−1)/(q−1) = 20000*(1−0,40)*q^20" ??
Insbesondere - woher soll der Ausdruck

(1 - 0.40)

kommen?

Mein Vorschlag:
Die Rechenformel für die Tilgung lautet:

v = (q^{n}) \cdot \frac{q - 1}{(q^{n}) - 1}

Hierbei ist

v :

das Verhältnis von Tilgungsbetrag zu ursprünglichem Kapital

q :

der Zinsfaktor, also

q =

1+Zinssatz

n :

die Zeitdauer, also die Anzahl an Jahren zur vollständigen Tilgung.

In unserem Fall also:

v =

1000€

/

12000€

= 1 / 12

n = 20

Jetzt musst du nur noch obige Formel nach

q

auflösen,

z . B

. per RegulaFalsi.
Viel Spaß!

Josef48

13:36 Uhr, 07.12.2011

Hallo,

die Formel zur Minderung eines Kapitals bei jährlicher gleichbleibender Rückzahlung eines Betrages von

R

€ bis zur endgültigen Tilgung lautet:

K_{0} \cdot q^{n} - R \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} = 0

Diese Formel wird auch als so genannte Sparkassenformel genannt.

Es sollen die Tilgungsvariante mit der Sparvariante verglichen werden. Der Prozentsatz muss laut Aufgabenstellung zwischen

4 %

und

6 %

liegen.

Ich erhalte mit meiner Berechnung bei der 1. Iteration

1,0541 . .

. = etwa

5,4 %

.

Das Darlehen von

20.000

€ ist bei sofortiger Tilgung nur in Höhe von

12.000

zurückzuzahlen.

Daher

20.000 \cdot (1 - 0,4) = 20.000 \cdot 0,6 = 12.000

Viele Grüße
Josef

anonymous

14:45 Uhr, 07.12.2011

Danke, jetzt wird's schon verständlicher.
Mit dieser (neuen) Formel kommen wir sogar zu gleichen numerisch Ergebnissen.
:-))

Josef48

17:27 Uhr, 07.12.2011

Hallo,

Gern geschehen.
Vielen Dank für deine Rückantwort!

Viele Grüße
Josef

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17:39 Uhr, 07.12.2011

Danke euch beiden für die Antwort, darauf muss man ja erst mal kommen.

\land

Ne Frage, für die Newton Iteration müsste ich ja die

f (i)

Funktion nach

i

ableiten, ist das korrekt, bzw. kann ich das machen? Ich hätte dann ja sehr hohe "Hochzahlen" wie

z . B

20 i^{19}

usw.

anonymous

17:41 Uhr, 07.12.2011

Keine Angst vor der Potenz

20,

das passt schon...
:-))

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