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Startseite » Forum » Regula falsi
Regula falsi
Schüler
Tags: Universalverfahren
 
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Ein Hallo an die Mathematiker unter Euch, um die Lösungen einer algebraischen Gleichung über den 4. Grad hinaus finden zu können, muß man spezielle Näherungsverfahren anwenden. Die zwei wichtigsten mir bekannten numerischen Lösungsverfahren für Bestimmungsgleichungen sind das Näherungsverfahren von Newton, das in der Differentialrechnung angewandt wird, und die Regula falsi, bei der eine Sekante an eine gekrümmte Kurve angelegt wird. Bei mehrmaligen Anwenden des Näherungsverfahrens (und damit natürlich auch einhegehend ein vermehrter Schreibaufwand) möchte ich einer Nullstelle möglichst nahe kommen. So weit, so gut. Aber, und das soll hier meine Frage sein, wird die Regula falsi heute noch angewendet oder gibt es heutzutage elegantere Lösungsverfahren, vom Näherungsverfahren von Newton einmal abgesehen? In meinem aktuellen Mathematikwerk von Prof. Lothar Papula konnte ich von einer Regula falsi jedenfalls nichts finden. Gruß Michael Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Es gibt eine komplizierte Lösungsformel für quartische Gleichungen: de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung |
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Hallo KL700, das sieht auf Wikipedia in der Tat erstmal recht kompliziert aus. Nur wenn man sich mit der merkwürdigen Schreibweise auf dieser Seite etwas vertraut gemacht hat, muss man auch hier erkennen, algebraische Gleichungen 1. bis 4. Grades sind exakt lösbar. Einige Lösungsformeln sind auf der Wikipediaseite auch genannt worden, ich zähle noch das Hornersche Schema mit dazu. Doch sobald die Gleichung höheren Grades ist als der 4. Grad kommt man um Näherungsverfahren nicht drumherum. Darum steht immer noch meine Frage: Wird die Regula falsi immer noch aktuell angewendet oder sind sogar jemanden heutzutage elegantere Lösungsverfahren bekannt, außer dem Newtonverfahren? Gruß Michael |
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In meinem aktuellen Mathematikwerk von Prof. Lothar Papula konnte ich von einer Regula falsi jedenfalls nichts finden. Kaum zu glauben. Ich hab nur die Mathematische Formelsammlung vom Papula und da wird der Regula falsi im Kapitel 4 "Gleichungen mit einer Unbekannten" eine eigenes Unterkapitel gewidmet. Ich würde da zur Sicherheit vielleicht nochmals in allen Bänden des Paula Hauptwerks nachsehen, ob du nicht vielleicht etwas übersehen hast. In der Ausbildung sollte man so eine näherungsweise Lösung vielleicht ein oder zweimal händisch durchgeführt haben, um ein Gefühl dafür zu bekommen, was da geschieht. Aber natürlich wird man sonst heutzutage kaum mehr sowas händisch runterrechnen, sondern einem elektronischen Rechenknecht anvertrauen, der das schneller, verlässlicher und genauer erledigt. Und auch wenn es für Polynomgleichungen bis zum Grad 4 allgemeine Lösungsformeln gibt, wird es bei praktischen Anwendungen vollauf genügen, ein numerisches Ergebnis mit einer Genauigkeit von ein paar signifikanten Ziffern zu erhalten. Die in den Programmen implementierten Verfahren werden in aller Regel weder eine regula falsi noch ein Newton sein. Meist sind es weiterentwickelte Verfahren, die auch bei ungünstigen Voraussetzungen noch Ergebnisse liefern und vielleicht auch auf eine raschere Konvergenzgeschwidigkeit getrimmt sind. In den Grundzügen basieren diese Verfahren wie konjugierte Gradienten, Levenberg-Marquardt, etc. aber meist letztlich doch auf dem guten alten Newton-Verfahren. |
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Hallo Roman-22, ich danke dir für deine perfekten Antworten. Ich habe gleich in meiner Formelsammlung von Prof. Papula nachgesehen und da steht es tatsächlich "4.4 Regula falsi". Mensch, prima. Also kann ich jetzt wieder weiter mit den Funktionen und Kurven und deren Aufgaben weiterarbeiten. Und es werden dann auch Aufgaben kommen, wo ich das eine oder andere Lösungsverfahren von Bestimmungagleichungen ausprobieren werde, so auch die Regula falsi. Gruß Michael |
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"Wird die Regula falsi immer noch aktuell angewendet oder sind sogar jemanden heutzutage elegantere Lösungsverfahren bekannt, außer dem Newtonverfahren?" Wenn Du so fragst, sicher wird die regula falsi noch angewandt. Von wie vielen Nutzern, darüber ist mir keine Statistik bekannt. Was gefällt Dir am Newton-Verfahren nicht, dass Du noch weitere Verfahren sucht? Für Polynome ist das NV genau das richtige, weil Ableitungen leicht automatisierbar sind und die Auswertung schnell geht (nämlich mit dem Horner-Schema - das Horner-Schema ist kein(!!!) Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen). Es gibt noch weitere Verfahren, wie Sekanten-Verfahren, Pegasus-, Steffensen-, und vereinfachter Newton usw. Aber wozu in diesem Fall? |
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Nachteile der regula falsi sind ja die langsamere Konvergenzgeschwindigkeit und die Tatsache, dass das Verfahren zwei Initial-Schätzwerte benötigt, deren Funktionswert-Vorzeichen nochj dazu verschieden sein müssen. Da muss man also schon ein bissel was von der Funktion und der Lage der Nullstelle wissen. Wenn es um weitere Verfahren geht (viele davon wurden auch 'nur' weiterentwickelt um sie auf mehr als nur 2 Dimensionen auszuweiten, also um nichtlineare Systeme zu lösen), dann vielleicht ein paar Links zum Nachlesen (ist aber nicht immer einfach und schülergerecht). Zum Levenberg-Marquardt findet man sicher genug mit einer Internetsuche. Zu Konjugierten Gradienten hab ich auf Deutsch auf die Schnelle nichts gefunden, daher der englischsprachige Wiki Eintrag en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method Eine nette Zusammenstellung und Vergleichsgrafiken fand ich bei Bernd Frassek. Viele der dort genannten Verfahren waren mir bis dato auch nicht namentlich bekannt :-) www.frassek.org/numerik/nullstellen-reeller-funktionen/iterative-verfahren-zur-bestimmung-von-nullstellen Wenn es um die Implementation in Programmen geht, dann schätze ich immer noch sehr die guten alten Numerical Recipes. Speziell in lässt sich nachlesen, warum man für manche Fälle den klassischen Newton nachschärfen muss numerical.recipes/book.html |
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Hallo mathadvisor, auch dir danke ich für deine hilfreichen Antworten. In einem anderen Mathematikbuch aus dem Jahre sind einige Näherungsverfahren genannt, graphische wie auch numerische. Jedes soll seine Stärken aber auch seine Schwächen haben. Letztendlich wird es wohl in meiner praktischen Ausübung auf das Newtonverfahren hinauslaufen. Doch erst muss ich die Materie verstanden haben. Darum habe ich mir, das gehört hier eigentlich nicht hin, aber ich erwähne es trotzdem, extra ein Programm bestellt. Es nennt sich MathProf . Es hapert allerdings noch bei dem Aktivierungsschlüssel. Doch das ist ein anderes Thema. Notfalls kenne ich als Alternative noch das WinLab oder die deutsche Version GNUplot. Naja, das sei nur am Rande erwähnt. Mit einem dieser Programme werden, denke ich mal, auf jeden Fall Lösungen für algebraische Gleichungen . Grades gefunden werden. Welches Verfahren dort verwendet wird, werde ich dann sehen. Gruß Michael |
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Naja, näherungsweises Lösen von Gleichungen, speziell Polynomgleichungen, das kann doch heute schon fast jeder Schul-Taschenrechner (solve, solveN Funktion). Und auch das kostenlose GeoGebra, welches im Schulbereich (zu Recht) gern eingesetzt wird, sollte damit keine Probleme haben. www.geogebra.org Als kostenloses CAS kannst du auch Maxima ausprobieren, das ist doch auch recht mächtig. maxima.sourceforge.io/de/index.html Für hartnäckige Fälle kannst du auch Online Wolfram Alpha benutzen. www.wolframalpha.com |
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Hallo Roman-22, deine Tipps für weitere Näherungsverfahren an eine Nullstelle heran sind hervorragend. Das Portal OnlineMathe bleibt uns ja wohl noch einige Zeit erhalten, dennoch habe ich die wichtigsten Links als Lesezeichen bei mir abgelegt. Für mich besonders interessant sind die Ausführungen von Bernd Frassek. Hier werden tatsächlich neue iterative Verfahren zur Nullstellenbestimmung beschrieben und den bisherigen klassischen Verfahren als Für und Wider gegenübergestellt. Die von dir genannten Numerical Recipes habe ich erstmal als Lesezeichen abgelegt. Die Seite möchte ich nochmal in Ruhe studieren und vor Allem, wie kann ich dieses tolle Werk erwerben (aber darauf bitte nicht antworten, der Thread ist für mich abgeschlossen)? Bei den Begriff Konjugierte Gradienten habe ich mich dann allerdings doch gefragt, wo will ich überhaupt hin? Ich möchte ja kein Mathematiker werden. Mein Ziel soll die Elektrotechnik und die Elektronik sein. Mit Gradienten werde ich spätestens dann befassen, wenn ich mich mit der elektromagnetischen Feldtheorie auseinander setze. Also, irgendwann wird das Thema mal aktuell, nur zur Zeit nicht. Danke für deine tollen Tipps. Gruß Michael |
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