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Reihe konvergent, absolut konvergent, divergent?

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: absolute Konvergenz, divergent, Folgen, konvergent, konvergente Reihe, Reihen

Tommily aktiv_icon

19:24 Uhr, 28.01.2012

Hallo...
Ich habe da ein Problem mit dieser Reihe...

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{cos (n \cdot π)}{n^{3}} \cdot {(n + π)}^{2}

Habe rausbekommen dass die Reihe konvergiert, aber wie überprüfe ich die absolute Konvergenz? Durch Annäherung einer bekannten Reihe?

Bzw. ist meine Berechnung richtig? Genügt es hier schon zu sagen

\frac{| (a_{n} + 1) |}{a_{n}} < 1

(siehe Rechnung)

Bei der Rechnung sprich Leibniz- Kriterium habe ich oben aber noch die alternierende Reihe sprich den

cos

als

{(- 1)}^{n}

drinnen, den bitte einfach wegdenken, in der Rechnung hab ich ihn dann eh weggelassen.

Danke für eure Hilfe.

Mit freundlichen Grüßen,
Tommily

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

19:50 Uhr, 28.01.2012

Betragsmäßig sind die Summanden doch im Wesentlichen

~ \frac{1}{n},

also liegt keine absolute Konvergenz vor.

Tommily aktiv_icon

19:56 Uhr, 28.01.2012

Wie beweise ich, dass die Reihe absolut konvergent ist?
Das verstehe ich leider nicht ganz...

hagman aktiv_icon

20:11 Uhr, 28.01.2012

Sie ist *nicht* absolut konvergent, da die (divergente!) harmonische Reihe Minorante der absoluten Reihe ist

Tommily aktiv_icon

10:23 Uhr, 29.01.2012

Wie sehe ich am Anfang einer Reihe ob ich nach einer konvergenten Majorante oder nach einer divergenten Minorante suche. (Majoranten/Minoranten-Kriterium)

Zu dem Beispiel: ist es möglich mir das vielleicht noch etwas genauer erklären?

| a_{n} | \leq b_{n} . .

. um die konvergente Majorante (falls vorhanden zu finden)

b_{n} \leq a_{n} . .

. um die divergente Minorante zu finden.

heißt das jetzt wenn ich kein

b_{n}

das größer oder gleich

a_{n}

ist finde, ist die Reihe nicht absolut konvergent?

| a_{n} | = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{{(n + π)}^{2}}{n^{3}} \leq b_{n} . .

. richtig?
aber

b_{n} =

?
da

cos

bzw.

{(- 1)}^{n}

alternierend ist die Bedingung nicht erfüllt

\to

nicht absolut konvergent.
wäre nur die Reiche von

\frac{{(n + π)}^{2}}{n^{3}}

gefragt, dann wäre die Lösung:

\frac{{(n + π)}^{2}}{n^{3}} \leq

. .

. Da ich auch keine Reihe finde an die ich annähern könnte, bzw. die größer als meine gesuchte Reihe ist.

\to

nicht absolut konvergent.

Jetzt wäre ich um eure Hilfe sehr dankbar!

hagman aktiv_icon

15:13 Uhr, 29.01.2012

Die Argumentation, dass *du* etwas auf Anhieb nicht finden kannst, reicht nicht aus. Man muss so etwas schon allgemeiner zeigen. ;-)

Und ob man eine konvregente Majorante oder eine divergente Minorante suchen soll, lässt sich nicht nach einem Standardrezept entscheiden. Allerdings sind die "beliebtesten" Majoranten

\sum n^{- s}

mit

s > 1

und die Super-Standard-Beispiels-Minorante ist

\sum \frac{1}{n}

Die Reihe

\sum a_{n}

(mit

a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{{(n + π)}^{2}}{n^{3}}

im vorliegenden Fall) ist absolut konvergent genau dann, wenn die Reihe

\sum | a_{n} |

konvergent ist. Hier ist

| a_{n} | = \frac{{(n + π)}^{2}}{n^{3}}

.
Das sieht ja schon fast aus wie

\frac{n^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n},

also liegt es nahe, dass die harmonische Reihe Minorante ist.
In der Tat zeigt die genaue Rechnung

\frac{{(n + π)}^{2}}{n^{3}} = \frac{n^{2} + 2 π n + π^{2}}{n^{3}} = \frac{1}{n} + \frac{2 π}{n^{2}} + \frac{π^{2}}{n^{3}} > \frac{1}{n}

Tommily aktiv_icon

15:55 Uhr, 29.01.2012

Gut, das war ein bisschen unglücklich formuliert!
Besten DANK!
Habe in der Zwischenzeit genau das gleiche für die Konvergenz raus.
Dann hab ich es doch verstanden. Dein letzter Beitrag hat mir wirklich gut gefallen, super Erklärung!

Liebe Grüße,
Tommily

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