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Reihe mit a_k konvergent => Reihe mit (a_k)^2 auch

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

MeinNichkname aktiv_icon

12:31 Uhr, 02.01.2013

Hallo zusammen,

ich habe eine konvergente Reihe

(\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k})

und soll begründen, ob dann

(\sum_{k = 0}^{\infty} (a_{k})^{2})

ebenfalls konvergent ist.

Dies habe ich wie folgt versucht:
Sei

a := \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}

. Dann gilt:

\sum_{k = 0}^{\infty} (a_{k})^{2} = [\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}] * \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} = a * a = a^{2} \Rightarrow (\sum_{k = 0}^{\infty} (a_{k})^{2})

konvergiert.

Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob ich in diesem Fall, der nicht absoluten konvergenz, die Reihe in dieser Art hätte aufspalten dürfen ... Vielleicht kann jemand mal drüber schauen und mir ggf. einen anderen Ansatz geben ;-) Vielen Dank vorab :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:54 Uhr, 02.01.2013

Hallo und schönes neues Jahr,

abgesehen davon, dass du das Distributivgesetz falsch awendest (

(a + b + c + \dots)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + \dots

), funktioniert deine Argumentationsweise nur für absolut konvergente Reihen.
Ein Gegenbeispiel ist einfach konstruiert. Denke doch mal an die divergente harmonische Reihe!

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

13:03 Uhr, 02.01.2013

An welcher Stelle wende ich das Distributivgesetz falsch an? Was ich versucht habe, ist

a^{2} = a * a

auf die Reihe zu übertragen. Welchen Ansatz würdest du empfehlen? Minoranten-/Majorantenkriterium?

michaL aktiv_icon

13:32 Uhr, 02.01.2013

Hallo,

> An welcher Stelle wende ich das Distributivgesetz falsch an?

An dieser:

\sum_{k = 0}^{\infty} (a_{k})^{2} = [\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}] \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}

> Was ich versucht habe, ist

a^{2} = a * a

auf die Reihe zu übertragen.
Das wird so wegen des Distributivgesetzes nicht funktionieren. Es gilt nämlich

(a + b)^{2} \neq a^{2} + b^{2}

im allgemeinen!

> Welchen Ansatz würdest du empfehlen?

Wie ich oben schon schrieb:
> Ein Gegenbeispiel ist einfach konstruiert. Denke doch mal an die divergente harmonische Reihe!

Grundsätzlich glaube ich, dass in meinem ersten posting alles drinsteht. Versuch es doch zu verstehen. Nachfragen diesbezüglich beantworte ich gern.

Mfg Michael

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13:37 Uhr, 02.01.2013

Tut mir leid, ich habe nur das Wort Gegenbeispiel gesehen und dann nicht weiter gelesen, da ich dachte, es würde sich noch auf die falsche Anwendung des Distributivgesetzes beziehen. Wobei, ehrlich gesagt sehe ich immer noch nicht, wo ich versucht haben soll

(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}

zu verwenden ...

Ich werde mir das Beispiel mit der harmonischen Reihe überlegen.

michaL aktiv_icon

13:44 Uhr, 02.01.2013

Hallo,

nun, ehrlicherweise hast du diese ENDLICHE Form nirgends verwendet. In meinem ersten posting schrieb ich korrekterweise ja auch
>

(a + b + c + \dots)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + \dots

Allerdings habe ich doch den Finger auf die falsche Stelle gelegt und dabei in deiner Schreibweise gearbeitet:
> An dieser:
>

\sum_{k = 0}^{\infty} (a_{k})^{2} = [\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}] \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}

Es ist sicher hilfreich, diesen (echt gigantischen) Klopfer zu verstehen. Ein Gegenbeispiel mit der harmonischen Reihe ist, wie gesagt, leicht gemacht!

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

17:49 Uhr, 02.01.2013

Um ehrlich zu sein, weiß ich nicht, wie mir die harmonische Reihe bei diesem Problem helfen soll. Der Satz lautet:

(\sum_{k = 0}^{n} a_{k})

konvergent

\Rightarrow (\sum_{k = 0}^{n} (a_{k})^{2})

konvergent. Um diesen zu widerlegen muss ich also eine Reihe

(\sum_{k = 0}^{n} a_{k})

finden, für die

(\sum_{k = 0}^{n} (a_{k})^{2})

divergiert. Die harmonische Reihe liefert mir jedoch die umgekehrte Richtung: Während

(\sum_{n = 1}^{n} \frac{1}{n})

divergiert ist die Reihe

(\sum_{n = 1}^{n} \frac{1}{n^{a}}), a > 1

konvergent.

Irre ich mich hier total? Es würde mich freuen, wenn mir jemand nochmal einen Anhaltspunkt geben könnte ;-)

EDIT:
Da war ich wohl ein wenig voreilig. Mit

(\sum_{n = 1}^{n} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}})

funktioniert es natürlich ...

Shipwater aktiv_icon

18:14 Uhr, 02.01.2013

Dein Gegenbeispiel ist korrekt. Und wenn du magst kannst du ja nun noch zeigen, dass der Beweis klappt, wenn man

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}

als absolut(!) konvergent voraussetzt.

Edit: Dein Gegenbeispiel hatte zwar schon den richtigen Gedankengang aber ich würde trotzdem lieber

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{\sqrt{k + 1}}

oder ähnliches wählen, denn in der Aufgabenstellung beginnt die Summe ja auch schon bei

k = 0

MeinNichkname aktiv_icon

18:24 Uhr, 02.01.2013

Vielen Dank an michal für seine Hilfe.

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