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Reihenkonvergenz, "Teilreihen"

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

barracuda317 aktiv_icon

19:31 Uhr, 13.04.2012

Diese Folgen und Reihen machen mich noch wahnsinnig. Ich kriege sie einfach nicht recht zu fassen.

Sei

(a_{n})_{n \in ℕ}

eine komplexe Folge. Ziegen Sie, dass die Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

genau dann konvergiert, wenn auch die Reihe

\sum_{n = j}^{\infty} a_{n}

für ein beliebiges

j \in ℕ

konvergiert.

Bei einer Äquivalenz muss ich beide Richtungen zeigen:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

ist konvergent

\Rightarrow

\sum_{n = j}^{\infty} a_{n}

ist konvergent

Gedanken:

Wir wissen:

1.

(a_{n})_{n \in ℕ}

konvergiert gegen 0
2. Die Summe der Partialsummen

(s_{k})_{k \in ℕ}

konvergiert

Meine Idee ist nun, zu verwenden, dass:

Wenn eine Folge gegen einen Grenzwert a konvergiert, konvergiert auch jede Teilfolge der Folge gegen a.

\sum_{n = j}^{\infty} a_{n}

ist konvergent

\Rightarrow

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

ist konvergent

Auch hier gelten abgewandelt wieder die Punkte 1 und 2, wie oben. Nach etwas Recherche weiß ich, dass man aus der Konvergenz einer "Teilreihe" (ist der Begriff hier passend) nicht auf die Konvergenz einer Reihe schließen kann (siehe alternierende harmonische Reihe).

Die Situation ist folgende:

Wir haben eine Partialsummenfolge bei der endlich-viele Folgenglieder am Anfang fehlen. Da die Folge

(s_{k})

für

k \to \infty

gegen einen Grenzwert konvergiert, interessiert uns nicht was am Anfang passiert.

Aber wir notiere ich das im Beweis?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HP7289 aktiv_icon

21:55 Uhr, 13.04.2012

s_{k} = \sum_{n = 0}^{k} a_{n}

konvergiert.

Du betrachtest nun

\sum_{n = j}^{k} a_{n} = \sum_{n = 0}^{k} a_{n} - \sum_{n = 0}^{j - 1} a_{n} = s_{k} - s_{j - 1}

.

Das sollte helfen. Bedenke, dass

j

konstant ist.

barracuda317 aktiv_icon

22:19 Uhr, 13.04.2012

Inwiefern überträgt sich dabei die Konvergenz. Die Schlussfolgerung habe ich getroffen, aber mehr als folgendes konnte ich damit nicht anfangen:

Konvergiert eine Folge, konvergiert auch jede Teilfolge.

HP7289 aktiv_icon

22:37 Uhr, 13.04.2012

Das ist ja so gesehen keine Teilfolge mehr. Du untersuchst

s_{k} - s_{j - 1}

. Dabei ist

s_{j - 1}

konstant. Also untersuchst du prinzipiell

s_{k} - C,

wobei

C

konstant ist.

barracuda317 aktiv_icon

13:36 Uhr, 14.04.2012

Okay. Nochmal um sicher zu gehen, dass ich es korrekt verstanden habe.

Zu zeigen ist:

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

ist konvergent

\Rightarrow

\sum_{n = j}^{\infty} a_{n}

ist konvergent

Voraussetzung:

s_{k} := \sum_{n = 0}^{k} a_{n}

konvergiert.

Im Skript steht bei den Grenzwertsätzen leider nichts zu einer Konstanten. Bei Wikipedia habe ich aber folgendes gefunden:

Existiert der Grenzwert

l i m_{n \to \infty} a_{n} = a

, so existieren für jedes

c \in ℝ

auch die folgenden Grenzwerte:

l i m_{n \to \infty} (c + a_{n}) = c + a

das meinst du ja sicherlich.

Aber wie formuliere ich dazu den Beweis? Kann ich das c als "Konstante Folge" betrachten?

Ich habe nun noch ein wenig rumprobiert, der Beweis sieht nun so aus:

Zu zeigen:

l i m_{n \to \infty} (c + a_{n}) = c + a

Es gilt:

l i m_{n \to \infty} (a_{n}) = a

∣ (a_{n} + c) - (a + c) ∣ = ∣ a_{n} + c - a - c ∣ = ∣ (a_{n}) - a ∣ < ε

Die Rückrichtung ist mir immer noch unschlüssig:

\sum_{n = j}^{\infty} a_{n}

ist konvergent

\Rightarrow

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}

ist konvergent

Aber eigentliche müsste es ja analog dazu funktionieren,denn:

s_{k} = \sum_{n = j}^{k} a_{n} = \sum_{n = 0}^{k} a_{n} - \sum_{n = 0}^{j - 1} a_{n}

Somit betrachten wir wieder:

\sum_{n = j - 1}^{k} a_{n}

als Konstante Zahl c. Ist das so korrekt?

hagman aktiv_icon

16:58 Uhr, 16.04.2012

Oder direkt mit dem Cauchy-Kriterium:
Bei beiden betrachteten Reihen sind die Partialsummen Cauchyfolgen genau dann, wenn zu jedem

ε > 0

für hinreichend große

n, m

gilt

| s_{n} - s_{m} | < ε

(für die beschnittene Reihe steht da nämlich

| (s_{n} - s_{j}) - (s_{m} - s_{j}) |)

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