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Reihensummen berechnen

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Folgen und Reihen

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Tircson

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10:20 Uhr, 22.11.2016

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Hallo,

ich soll in einer Aufgabe die Reihensummen berechnen.

\sum_{n=1}^{\infty} ((-1)^{n-1})/(2n+1)/(n(n+1)

ich bin mir hier nicht ganz sicher was ich hier machen soll.
Ich kann ja nicht für n irgendwas einsetzen dann würde es ja nicht mehr für die Reihe stimmen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Nachhilfe in Mathematik

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ermanus

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10:48 Uhr, 22.11.2016

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Meinst Du

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{2 n + 1}{n (n + 1)}

?
Wenn ja, dann bestimme

A

und

B

so, dass

\frac{2 n + 1}{n (n + 1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1}

ist (Partialbruch-Zerlegung!).
Mit Hilfe dieser Zerlegung schreibe die ersten 3 bis 4 Partialsummen
hin und schau, was da passiert - Stichwort: Teleskopsumme!
Gruß ermanus

Tircson

Tircson aktiv_icon

12:38 Uhr, 22.11.2016

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Ok, also Mit der Partialbruchzerlegung kom ich auf

\frac{1}{n} + \frac{1}{1 + n}

Wenn ich das denn ausrechne

1^{1 - 1} * (\frac{1}{1} + \frac{1}{1 + 1}) + 1^{2 - 1} * (\frac{1}{2} + \frac{1}{1 + 2}) + 1^{3 - 1} * (\frac{1}{3} + \frac{1}{1 + 3}) + . . . + 1^{n - 1} * (\frac{1}{n} + \frac{1}{1 + n}) = 1 + (- 1)^{n - 1} * (\frac{1}{n} + \frac{1}{1 + n})

Es bleibt dann nur das 1 und das letzte glied der Summe bestehen weil die anderen sich gegenseitig aufheben.

Ist das denn die Reihensumme?

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

12:41 Uhr, 22.11.2016

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Das ist auf jeden Fall schon mal die n-te Partialsumme.
Wenn Du nun

n \to \infty

gehen lässt, hast Du den Wert der Reihe.

Tircson

Tircson aktiv_icon

12:48 Uhr, 22.11.2016

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Ok dann mit lim n->

\infty 1 + (- 1)^{n - 1} * \frac{1}{n + 1} = 1

1 ist dann die Reihen Summe

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ermanus

ermanus aktiv_icon

12:50 Uhr, 22.11.2016

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So ist es!
Eine kleine Macke, Du musst stehen haben:

lim_{n \to \infty} 1 + (- 1)^{n - 1} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1}) = 1

Gruß ermanus

Tircson

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17:52 Uhr, 22.11.2016

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Fählt das

\frac{1}{n}

nicht durch den term im vorletzten n-1 schritt weg?

da würde ja denn stehen

. . . + (1 + - 1^{n - 1 - 1} (\frac{1}{n - 1} + \frac{1}{(n - 1) + 1})) + (1 + - 1^{n - 1} (\frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1})) = 1

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

17:56 Uhr, 22.11.2016

Antworten

Ooh, ich meine, Du hast Recht. Dann musst Du aber deine n-te Partialsumme
von 12:38 Uhr entsprechend anpassen.
Gruß ermanus

Tircson

Tircson aktiv_icon

18:10 Uhr, 22.11.2016

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Ok danke.
Ich wollte das jetzt noch bei einer anderen Aufgabe machen

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{- 1^{n}}{3^{n}} + 1 0^{- n}

da komm ich dann auf

(- 1 + 1) + (- \frac{1}{3} + \frac{1}{10}) + (\frac{2}{9} + \frac{1}{100}) + (- \frac{1}{27} + \frac{1}{1000}) + . . . + (\frac{- 1^{n}}{3^{n}} + 1 0^{- n})

Bei dem kann ich ja keine Partialbruchzerlegung machen. Muss ich das denn so wie es ist gegen

n - > \infty

laufen lassen?
Also dann

l i m_{n - > \infty} \frac{- 1^{n}}{3^{n}} + 1 0^{- n}

=0

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ledum

ledum aktiv_icon

21:42 Uhr, 22.11.2016

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Hallo
Hast du schon was von geometrischer Reihe gehört, wenn du die Summe als 2 Summen schreibst hast du 2 geometrische Reihen.
Gruß ledum

Tircson

Tircson aktiv_icon

23:56 Uhr, 22.11.2016

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Ok dann müsste ich dann ja

\frac{1}{1 - \frac{- 1}{3}} + \frac{1}{1 - \frac{1}{10}} = 1 \frac{31}{36}

rausbekommen.

Antwort

Roman-22

02:58 Uhr, 23.11.2016

Antworten

>

Ok dann müsste ich dann ja

>

11−−13+11−110=13136

>

rausbekommen.

Nicht, wenn die Reihe wirklich in etwa so aussehen soll, wie du das hier geschrieben hast, nämlich

\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{- 1^{n}}{3^{n}} + 10^{- n})

Falls du aber stattdessen eigentlich

\sum_{n = 0}^{\infty} (\frac{{(- 1)}^{n}}{3^{n}} + 10^{- n})

gemeint haben solltest, dann ist dein Ergebnis

\frac{67}{36}

richtig. Die Schreibweise

1 \frac{31}{36}

sollte man sich mMn abgewöhnen, da sie irreführend ist.

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