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Rekonstruktion von Funktionen dritten Grades

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 12. Klassenstufe

Tags: Rekonstruktion 3. Grades

schneeflocke09 aktiv_icon

18:08 Uhr, 07.10.2009

Hallo,
ich hab die Aufgabe :

Es handelt sich um eine nicht maßstäbliche SKizze des Graphen eines Polynoms dritten Grades. Bestimmen sie dessen Funktionsgleichung.

ablesen kann ich dass

A = 8 : 3

(achtdrittel)

der hochpunkt bei

(2 : 3

(zweidrittel)

| 1)

liegen muss

der wendepunkt bei

(o | o)

und die funktion ist ja

f (x) =

ax³+bx²+cx+d.

meine frage ist nun, wie ich mit den vorgegebenen Werten auf die Funktionsgleichung komme. bitte um Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

18:17 Uhr, 07.10.2009

soll A eine nullstelle sein?

schneeflocke09 aktiv_icon

18:24 Uhr, 07.10.2009

nein

A = 8

drittel (der flächeninhalt )

anonymous

18:33 Uhr, 07.10.2009

dann sollten auch die grenzen gegeben sein

schneeflocke09 aktiv_icon

18:37 Uhr, 07.10.2009

nein, moment ich habe das Bild hochgeladen, da sind keine Grenzen gegeben..

anonymous

18:40 Uhr, 07.10.2009

da sind die grenzen:

0 - 0

und

x 0 - 0

aber wendep. sieht nicht nach

0 - 0

aus! stand WP

0 - 0

irgendwo im text?

schneeflocke09 aktiv_icon

18:42 Uhr, 07.10.2009

nein stand nicht, aber ich dachte dass er bei

0; 0

liegen müsste,
wie berechne ich denn die funktion ?? ich hab ja das intervall von

(0

bis

x 0)

aber woher weiß ich was

x 0

ist ?

anonymous

18:47 Uhr, 07.10.2009

behandle

x 0

erstmal wie ne ganz normale zahl
stelle deine gleichungen

y - y' - y''

auf und setze ein, was an daten bekannt ist.

schneeflocke09 aktiv_icon

18:50 Uhr, 07.10.2009

also

kann ich den Punkt

2 : 3

zweidrittel und 1 nehmen ?
dann hätte ich zum Beispiel, dass: f(2:3)=ax²+bx²+cx+d=1 ergeben müsste

oder ist der Punkte

2 : 3

und 1 gleich der Hochpunkt, sodass mein

f' (x) = 0

ist ??
und mein

f'' (x) = 1

ist ?? verstehe ich das richtig

: (

anonymous

18:55 Uhr, 07.10.2009

d = 0

warum...?
dein hochpunkt heißt

x = \frac{2}{3} \cdot x 0

und

y = 1

den kannst du verwenden

schneeflocke09 aktiv_icon

18:58 Uhr, 07.10.2009

wie komme ich denn auf

d = 0

??
also zusammenfassend kann ich sagen, dass ich gegeben habe den flächeninhalt , den Hochpunkt

\frac{2}{3}

mal

x 0

(hab ich das richtig verstanden)

? ?

anonymous

19:01 Uhr, 07.10.2009

d

ist der y-achsabschnitt, die kurve geht durch den nullp.
der hochpunkt hat wie alle punkte zwei koordinatenwerte:

x

und

y

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19:02 Uhr, 07.10.2009

cool danke, :-)
aber wie gehe ich jetzt mit dem hochpunkt

(2 : 3

und

1)

um ?

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19:03 Uhr, 07.10.2009

Vergiss nicht immer dein x0
Das musst du mitschleppen.
AUch wenn es unbekannt ist ;-)

anonymous

19:05 Uhr, 07.10.2009

den setzt du in

y

ein

1 = a \cdot {(\frac{2}{3} \cdot x 0)}^{3} + b + ... ... .

schneeflocke09 aktiv_icon

19:05 Uhr, 07.10.2009

aber mit diesem

x 0

komm ich nicht zurecht

\frac{:}{}

wie bezieh ich das denn ein

: (

und was bringt es mir überhaupt ?

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19:08 Uhr, 07.10.2009

Ihr habt das Entscheidende, was zum Grundverständnis der AUfgabe absolut notwendig ist eh noch gar nicht erwähnt, vielleicht macht es oldknut noch. Ich hoffe es.

anonymous

19:09 Uhr, 07.10.2009

mach was ich dir gesagt habe: tu so, als wär dein

x 0

eine ganz gewöhnliche zahl,

z . b

. eine 3 oder eine

111

schneeflocke09 aktiv_icon

19:10 Uhr, 07.10.2009

muss ich theoretisch nicht mit dem bestimmten integral und dem flächeninhalt A das

x 0

bestimmen ?? und dann auch den hochpunkt ?? ich bin jetzt vollkommen verwirrt.

: S

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19:12 Uhr, 07.10.2009

Ich wäre auch verwirrt muss ich gestehen, denn ihr habt total seltsam einfach mal so angefangen ohne mal das Ziel bzw die Grundvorgehensweise zur Sprache zu bringen.
Didaktisch sehr fragwürdig alles aber ich mische mich vorerst nicht mehr ein, vielleicht verstehst du ihn ja.

anonymous

19:12 Uhr, 07.10.2009

so schnell schießen die preußen nicht
hast du denn schon alle bestimmungsgleichungen außer der für

x 0

auf dem papier?

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19:14 Uhr, 07.10.2009

das einzige auf meinem Papier mittlerweile sind die Ableitungsfunktionen von f(x)=ax³+bx²+cx+d

ich soll die funktionsgleichung bestimmen. hat es was mit dem Flächeninhalt zu tun ?

anonymous

19:16 Uhr, 07.10.2009

dann vervollständige jetzt die erste bestimmungsgleichung von

19 : 05

uhr

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19:23 Uhr, 07.10.2009

1 = a \cdot (8 : 27) \cdot x 0 + b \cdot 4 : 9 \cdot x 0 + c \cdot (2 : 3) \cdot x 0 + d

und nun ?

anonymous

19:27 Uhr, 07.10.2009

d

brauchst du schon nicht mehr mit zuschleppen - warum?

c

wird auch 0. schau dir die steigung am koordinatenursprung an
wo siehst du noch eine bekannte steigung?

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19:28 Uhr, 07.10.2009

wie komme ich denn auf

c

und

d

gleich null ?
kannst du das vielleicht nochmal kurz erklären ??

anonymous

19:31 Uhr, 07.10.2009

was

d

betrifft: siehe

19 : 01

uhr
bitte antworte auf meine frage von soeben

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19:33 Uhr, 07.10.2009

und

c

wieso ist

c

null ?
ich sehe keine steigungen

: S : S

anonymous

19:35 Uhr, 07.10.2009

die steigung einer kurve ist dort

0,

wo diese einen extremwert hat. also wo bei dir?
bei

x = . .

. und bei

x = . .

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19:39 Uhr, 07.10.2009

na entweder ist mein extremum bei

(2 : 3

mal

x 0; 1)

oder bei

(0; 0)

oder ?

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19:41 Uhr, 07.10.2009

Kurze Anmerkung:

Ich würde nicht davon ausgehen, dass im Ursprung ein Extrempunkt ist.
Das sieht zwar auf den ersten Blick so aus aber zum einen wäre es ansonsten bestimmt explizit gekennzeichnet worden und zum anderen hätte man dann eigentlich zuviele Bedingungen.

schneeflocke09 aktiv_icon

19:42 Uhr, 07.10.2009

na also welche bedingungen setze ich denn wie ein

: (

ich brauch unbedingt nen gedankenanstoß irgendwie, ich steh total auf dem schlauch grade.

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19:45 Uhr, 07.10.2009

Wenn das weiterhin zu nichts führen wird, was oldknut dir schreibt werde ich später nochmal etwas dazu schreiben.
Vorerst werde ich mich aber nur einmischen wenn Fehler passieren.

anonymous

19:45 Uhr, 07.10.2009

richtig!
wenn du "und" statt "oder" schreibst: ganz richtig.
.
wo eine steigung 0 ist, ist auch die 1. ableitung 0
schreib hin

y' = ...

. - mit

x, a

und

b

(c

und

d

sind ja null, die brauchen wir nicht mehr)

schneeflocke09 aktiv_icon

19:49 Uhr, 07.10.2009

f'(x)=3ax²+2bx

f' (2 : 3 \cdot x 0) =

4:3*a*x0²+

4 : 3 \cdot b \cdot x 0 = 0

???? oder ?

anonymous

19:53 Uhr, 07.10.2009

bravo!
das war die erste stelle, wo

y' = 0

nun die zweite

y' = 0

im ursprung

\to 0 = 3 \cdot 0 \cdot a + 2 \cdot 0 \cdot b + c

c = 0

schneeflocke09 aktiv_icon

19:55 Uhr, 07.10.2009

aber was bringt mir das nun ?? ich habe weder a noch

b

noch

x 0

bestimmt

: ((

anonymous

19:58 Uhr, 07.10.2009

wir brauchen 2 glng um a und

b

zu bestimmen, dann das integral für

x 0

schneeflocke09 aktiv_icon

20:01 Uhr, 07.10.2009

so also jetzt mit dem Punkt

(2 : 3 \cdot x 0; 1)

f'(2:3*x0)=4:3*a*xo²+4:3*b*x0=1

anonymous

20:03 Uhr, 07.10.2009

was ist denn an dem punkt

= 1

y

oder

y'

schneeflocke09 aktiv_icon

20:04 Uhr, 07.10.2009

1 = y'

anonymous

20:08 Uhr, 07.10.2009

nee

y

schneeflocke09 aktiv_icon

20:12 Uhr, 07.10.2009

ahsoo :-) also ist

f (x) = a \cdot 8 : 27

*xo³+

b \cdot 4 : 9

xo²

und

c

und

d

sind ja null oder ?

anonymous

20:40 Uhr, 07.10.2009

setze zur einfachen bearbeitung z=2/3*x0und löse die 2 gleichungen mit den unbekannten a und

b

1 = z^{3} \cdot a + z^{2} \cdot b

0 = 3 \cdot a \cdot z^{2} + 2 \cdot b \cdot z

a = ... .

b = ... .

.
morgen weiter, falls noch interesse
gute nacht

⊙ k

schneeflocke09 aktiv_icon

20:53 Uhr, 07.10.2009

ich bruche bis moregen unbedingt einen Lösungsvorschlag, bitte um Hilfe

!!

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21:10 Uhr, 07.10.2009

Gut Schneeflocke, dann mal mein Vorschlag zur Herangehenweise:

Du sollst aus dem gegebenen Graphen einen Funktionsterm der Form f(x)=ax³+bx²+cx+d finden.

Entscheidend ist ja, dass du aus den Infos im Bild 4 Gleichungen aufstellen kannst, da es mit a,b,c und d genau 4 Unbekannte gibt.

Hinzu kommt nun noch aber eine weitere Unbekannte, nämlich x0.

Das bedeutet also dann, dass wir nun 5 Gleichungen brauchen.

Dann schauen wir mal was wir finden:

1) Graph verläuft durch den Ursprung ----> f(0)=0
(ob hier ein Tiefpunkt KANN so sein, MUSS aber nicht, ich würde das hier an der Stelle noch nicht benutzen)

2) Graph hat eine Nullstelle in x0 ---> f(x0)=0

3) Graph geht durch den Punkt (2/3x0|1) ----> f(2/3x0)=1

4) Graph hat in x=2/3x0 einen Extrempunkt ---> f'(2/3x0)=0

Damit solltest du dann auf folgendes Gleichungssystem kommen (ich benutze direkt d=0 wegen 1) :

(Ich benutze jetzt den Formeleditor, wenn du den Matheplayer nicht installiert hast oder nicht Mozilla Firefox als Browser benutzt kannst du das vielleicht nicht richtig erkennen)

x_{0}^{3} a + x_{0}^{2} b + x_{0} c = 0

\frac{8}{27} x_{0}^{3} a + \frac{4}{9} x_{0}^{2} b + \frac{2}{3} x_{0} c = 1

\frac{4}{3} x_{0}^{2} a + \frac{4}{3} x_{0} b + c = 0

Die ersten beiden Gleichungen kannst du durch x0 dividieren, da x0 offenbar ungleich null sein muss.

Um die Brüche weg zu bekommen könntest du dann noch Gleichung 2 mit 27 und Gleichung 3 mit 3 multiplizieren.

Damit sollte dann alles schön übersichtlich sein.

Das Gleichungssystem musst du dann lösen.
Deine Lösungen werden dann noch x0 enthalten.
Das soll auch so sein.

Mit dem gegebenen Flächeninhalt kannst du dann ganz am Ende durch Lösen von

\int_{0}^{x_{0}} f (x) d x = \frac{8}{3}

nach x0 auflösen und hast dann damit alles was du brauchst.

Ich hoffe das ist nun alles etwas verständlicher geworden.

lepton

21:12 Uhr, 07.10.2009

Ich habe gesehen, dass ihr hier schin eine Menge gemacht habt. Aber übersichtshalber gebe ich dir die Bedingunggen für eine ganzration. Fkt. 3.Grades, welche man eindeutig anhand des Graphen ablesen kann.

Bedingungen für

f (x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

insgesamt 5 Bedingungen (wegen der Formvarible

x_{0}

kommt noch eine hinzu) aufstellen:

f (0) = 0 \Rightarrow f

geht durch den Ursprung

\Rightarrow a_{0} = 0

f (\frac{2}{3} x_{0}) = 1 \Rightarrow f

geht durch

p (\frac{2}{3} x_{0} | 1)

f' (\frac{2}{3} x_{0}) = 0 \Rightarrow f

hat ein Maximum

f' (0) = 0 \Rightarrow f

hat doppelte NS im Ursprung und somit ein Minimum

\Rightarrow a_{1} = 0

A = \int_{0}^{x_{0}} f (x) d x = \frac{8}{3} \Rightarrow f

schließt mit x-Achse eine

A = \frac{8}{3}

lepton

21:18 Uhr, 07.10.2009

@ Bjbot

Was ist mit dem zweiten Extremum im

p (0 | 0)

?

Ausserdem die Bedingung mit

f (x_{0}) = 0

ist doch überhaupt nicht nötig, da die 3. NS als Intervall für A rankommen wird

\Rightarrow x_{0}

wird dadurch bestimmt.

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21:19 Uhr, 07.10.2009

Dazu habe ich jetzt schon zu Genüge etwas geschrieben, ich will mich nicht nochmal wiederholen, es steht alles in diesem Thread.

lepton

21:21 Uhr, 07.10.2009

Ja aber

f' (0) = 0

muss berücksichtigt werden. Darum gehts und ich denke du solltest es doch wissen warum!

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21:22 Uhr, 07.10.2009

Bitte verwirre dir Fragestellerin nicht noch mehr, durch oldknut ist eh alles schon sehr unübersichtlich geworden.
Wie gesagt nochmal erklären werde ich es nicht, es sei denn die Fragestellerin hat noch Fragen.

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21:23 Uhr, 07.10.2009

Ich habe es durchgerechnet, es MUSS sicher nicht benutzt werden.

lepton

21:26 Uhr, 07.10.2009

Wenn sie von jemanden verwirrt wird, dann nur durch dich. Dein Ansatz mit den Bedingungen ist nicht ganz korrekt, versuche doch deinen ganzen Ansatz zu lösen, dann wirst du schon sehen.

Mein Lösungsvorschlag:

f (x) = - \frac{3}{50} x^{3} + \frac{3}{10} x^{2}

schneeflocke09 aktiv_icon

21:46 Uhr, 07.10.2009

sind a und

b

dieselbe zahl ohne

x 0

zu berücksichtigen ?

: S

wie setze ich die gleichungen nochmal gleich, wie löse ich das gleichungssystem ??
zb durch additionsverfahren ??

lepton

22:06 Uhr, 07.10.2009

Da ja

a_{1} = a_{0} = 0

bzw.

c = d = 0

sind bleibt von

f

nur noch

a_{3} \land a_{2}

übrig

\Rightarrow f (x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2}

Aus den Bedingungen

f (\frac{2}{3} x_{0}) = 1 \land f' (\frac{2}{3} x_{0}) = 0

entsteht ein LGS mit zwei Unbekannten

\Rightarrow (1) \Rightarrow f (\frac{2}{3} x_{0}) = \frac{8}{27} x_{0}^{3} \cdot a_{3} + \frac{4}{9} x_{0}^{2} \cdot a_{2} = 1

\Rightarrow (2) \Rightarrow f' (\frac{2}{3} x_{0}) = \frac{4}{3} x_{0}^{2} \cdot a_{3} + \frac{4}{3} x_{0} \cdot a_{2} = 0

Jetzt löst du dieses LGS nach dem Additionsverfahren oder auch nach dem Einsetzungsverfahren

\Rightarrow f (x) = - \frac{27}{4 x_{0}^{3}} \cdot x^{3} + \frac{27}{4 x_{0}^{2}} \cdot x^{2}

diese Funktionsgleichung setzt du dann in

A = \int_{0}^{x_{0}} f (x) d x = \frac{8}{3}

ein, um den Parameter

x_{0}

ermitteln zu können.

Als Vergleich muss

x_{0} = \frac{128}{27}

sein und in

f (x)

eingesetzt

\Rightarrow f (x) = - \frac{3}{50} x^{3} + \frac{3}{10} x^{2}

schneeflocke09 aktiv_icon

15:33 Uhr, 08.10.2009

vielen dank an alle die geholfen haben :-)
lepton dein ergebnis war richtig ich habe es nochmal selber nachvollziehen können, vielen Dank

〈

anonymous

17:22 Uhr, 08.10.2009

hi schneeflocke,
freut mich, dass es mit deiner aufgabe für die schule noch gut geworden ist. ich komme nur mit einer beobachtung nicht klar:

wenn man die funktion nach lepton zeichnerisch darstellt, kommen je nachdem, welche gleichungsform man verwendet zwei verschiedene graphe zustande, deren nullstellen und maxima verschieden sind

(s

. skizze). bei keiner von beiden kurven liegt das maximum bei

y = 1.0

jetzt wäre ich mal für aufklärung dankbar.

gruß

⊙ k

safka aktiv_icon

21:01 Uhr, 23.02.2015

OMG , ihr könnt ja wohl alle nicht gut erklären. was seid ihr? mathelehrer? dann gute nacht. old knut tu allen einen gefallen, auch wenn du es gut meinst erklär bitte keinem mehr was auf deine art, das dauert

50

std und führt nirgendwo hin und auch die anderen bringen nur unverständliche erklärungen. ganz krass

safka aktiv_icon

21:01 Uhr, 23.02.2015

50

std und führt nirgendwo hin und auch die anderen bringen nur unverständliche erklärungen. ganz krass

Stephan4

21:45 Uhr, 23.02.2015

safka,
das war eine massgeschneiderte Hilfe für Schneeflocke, also für andere, die ähnliche Aufgaben haben, schwer nachvollziehbar.

Wenn Du was wissen willst, frag einfach, aber mach ein neues Thema auf.

Und schreib bitte dazu, wie Du Deine Antwort willst:

Als fertige Lösung, (ist am einfachsten zu beantworten)

oder
mit Rechenweg zum raus kopieren, (aufwendig zum Beantworten, aber total praktisch zum Verwerten)

oder
die Mitmach-Version mit Hilfe zur Selbsthilfe?

Letzte Variante ist meistens die wirkungsvollste, langfristig gesehen)

Und bitte: Immer schön freundlich bleiben, und nachher Danke sagen nicht vergessen.

Klar?

:-)

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