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Rekursive Folge - Monotonie und Beschränktheit

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

lap00g

21:29 Uhr, 16.03.2019

Hallo,

gegeben sei die Folge

a_{n+1} = \sqrt{4 * \sqrt{a_{n}} - 3}

für

n \geq 0

und der Anfangsbedingung

a_{0} = 2

.

Die Folge ist auf Monotonie und Beschränktheit zu untersuchen.

Was ich bisher habe:
Durch probieren der ersten Folgeglieder ist zu sehen, dass scheinbar

a_{0} > a_{1} > a_{2} > . . . > a_{n}

gilt - die Folge ist scheinbar monoton fallend.

Eine obere Schranke lässt sich somit durch 2 angeben. Meine Vermutung ist, dass die Folge von unten durch 1 beschränkt wird - dies soll mittels vollständiger Induktion gezeigt werden.

Induktionvoraussetzung:

1 \leq a_{n} \leq 2

Induktiosanfang:

n = 0, 1 \leq a_{0} \leq 2

. Da

a_{0} = 2

gilt die Ungleichung.
Induktionsbehauptung:

1 \leq a_{n + 1} \leq 2

Induktionsschritt

1 \leq a_{n + 1}

1 \leq \sqrt{4 * \sqrt{a_{n}} - 3}

1 \leq 4 * \sqrt{a_{n}} - 3

4 \leq 4 * \sqrt{a_{n}}

Lt. Induktionsvoraussetzung ist

1 \leq a_{n} \leq 2

womit gezeigt wäre, dass die Ungleichung erfüllt ist.

Meine Frage: Kann die Beschränktheit überhaupt so bewiesen werden? Mir erscheint dies u einfach.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

pivot aktiv_icon

22:50 Uhr, 16.03.2019

Hallo,

sieht für mich gut aus. Es fehlt natürlich noch die obere Grenze. Also

a_{n} \leq 2

. Das hast du ja noch nicht gezeigt.

Gruß

pivot

abakus

22:57 Uhr, 16.03.2019

"sieht für mich gut aus. "

Für mich nicht.
Es ist nicht die Induktionsbehauptung ein wenig umzuformen, bis was Erkennbares rauskommt.

Es ist aus der Induktionsvoraussetzung so lange zu folgern, bis sich die Behauptung ergibt.

lap00g

23:16 Uhr, 16.03.2019

Hallo,

irgendwie stehe ich gerade komplett an. Aber einmal ein anderer Ansatz:

Induktionsvoraussetzung:

1 \leq a_{n} \leq 2

Ich will wieder zeigen, dass

1 \leq a_{n + 1}

gilt. Mittels Umformung ergibt sich:

1 \leq a_{n}

\sqrt{1} \leq \sqrt{a_{n}}

4 * \sqrt{1} - 3 = 1 \leq 4 * \sqrt{a_{n}} - 3

\sqrt{1} = 1 \leq \sqrt{4 * \sqrt{a_{n}} - 3} = a_{n + 1}

Wobei mir das leider wieder etwas zu einfach vorkommt...

michaL aktiv_icon

23:40 Uhr, 16.03.2019

Hallo,

mit deinem Ansatz zeigst du, dass

(a_{n})_{n \in ℕ}

durch 1 nach unten beschränkt ist.
Nun musst du für die Konvergenz noch zeigen, dass die Folge monoton fallend ist.
Das ist bei Folgen dieser Art viel einfacher, als manche denken.

> Wobei mir das leider wieder etwas zu einfach vorkommt...

Wieso muss etwas schwierig sein, damit es richtig ist?

Natürlich hättest du auch (abakus' Aussage zum Trotz) die andere Richtung der Umformungen nehmen können (die aus deinem OP). Allerdings hättest du dir dann Gedanken machen müssen, dass alle Umformungsschritte tatsächlich Äquivalenzen sind (was sie in diesem Fall tatsächlich sind). Aber so ist es viel stringenter.

Mfg Michael

lap00g

00:23 Uhr, 17.03.2019

Hallo,

Monotonie eventuell so (analog der bisherigen Vorgehensweise):

Induktionvoraussetzung: