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Relationen reflexiv, transitiv und symmetrisch
Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,
Tags: Relation.
 
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Hallo, also ich habe ein paar Verständnisfragen zu Relationen. Die Aufgabe lautet: Entscheiden Sie, ob folgende Relationen reflexiv, transitiv und symmetrisch sind und begründen Sie Ihre Entscheidung. Also das erste Beispiel lautet: a) R:={(1,2),(2,1),(2,2)} C {1,2} X {1,2} dann kriege ich für das kartesische Produkt auf der rechten Seite ja {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} nun gilt ja für reflexiv: für alle a € A gilt: (a,a) € R ok, ist jetzt mein a€A z.B. (1,1), oder stellt jede einzelne Zahl ein a dar? wenn a jetzt z.B. (1,1) wäre, dann müsste in R (1,1,1,1) vorkommen? und wie ist das bei symmetrisch: da gilt ja: für alle a,b € A: (a,b) € R => (b,a) € R. da frage ich mich auch, was jetzt a und b genau sind. sind jetzt z.B. a und b (1,1) oder auch (1,2) wobei a=1 und b=2, oder stellt da ein Ausdruck in den Klammern jeweils ein a bzw. b dar, sodass a und b jeweils 2 Zahlen enthalten? Danke für die Hilfe Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Alsoooooooooo, eine Relation ist stets eine (Teil)Menge von AxA, BxB, AxB.... also einem Kreuzprodukt. Solch ein Kreuzprodukt besteht aus 2er-Tupeln. Für reflexiv muss nun gelten: Egal, welches ich nehme, in der Relation muss als Tupel mit drin sein. Für symmetrisch muss gelten: Wenn ein Tupel in meiner Relation vorkommt, muss auch mit drin sein. Genauso wenn drin ist, muss drin sein. Damit eine Relation transitiv ist, muss gelten: Ist ein Tupel drin und dann MUSS auch drin sein, sonst ist sie nicht Transitiv. Auf dein Beispiel oben mal angewendet: reflexiv? Ich nehme mir die 1 aus . such ich vergebens. Nicht reflexiv. symmetrisch? Ich finde (1,2)...also müsste ich auch finde... und siehe da, ist mit drin. symmetrisch. transitiv? Ich weiß leider nicht wie sich das mit der Transitivität auf 2-elementige Mengen verhält, aber ich glaube, weil und drin sind, muss drin sein, und das ist erfüllt. und MfG |
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Boah, vielen Dank für die gute Erklärung. D.h. also, wenn ich auf Reflexivität gucke, dann picke ich mir immer ein a aus einem 2er - Tupel heraus. Beispiel, wenn beim Kreuzprodukt ein 2er - Tupel (1,2) entstanden ist. Dann nehme ich für a=1 an und gucke ob (1,1) in der Relation enthalten ist. Das gleiche mache ich mit a=2 und gucke, ob (2,2) in der Relation enthalten ist. Und wenn alle a's aus dem Kreuzprodukt in der Relation vorhanden sind, dann erst ist die Relaxion reflexiv? Stimmt das was ich gesagt habe? Danke für die Hilfe |
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Und auch erst, wenn jedes 2er - Tupel in dem Kreuzprodukt symmetrisch bzw. transitiv ist, dann erst nennt man die Relation symmetrisch oder transitiv. Oder reicht das schon, wenn ein 2er Tupel in dem Kreuzprodukt vorhanden ist,welches symmetrisch, reflexiv oder transitiv zur Relation ist, dass man die Relation dann symmetrisch und/oder transitiv und/oder reflexiv |
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Ja, ALLE müssen drin sein. Nehmen wir als Beispiel mal die Relation "=". Das auf die angewendet: Die Relation ist Teilmenge von kreuz . kreuz Die Relation ist Teilmenge davon, also Und da sind alle drin. Also ist "=" reflexiv. |
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Danke für die gute Hilfe. 3 von 4 Aufgaben kann ich jetzt lösen. Bei einer weiß ich nicht genau, wie sie funtioniert. Und zwar folgendes: R:={(x,y)€ZxZ|x+y=0} Ich nehme mal an, meine Menge stellt da die ganzen Zahlen dar (sowohl die negativen, als auch die positiven), also Z. Ein Bereich z.B für Z:={-3,-2,-1,0,1,2,3} ZxZ also: (-3,-3),(-3,-2),(-3-1) wobei x und y im Tupel als (x,y) stehen. es muss gelten x+y=0 nur wie "groß" ist hier die Relation eigentlich, da steht ja nur (x,y). Das verstehe ich nicht. |
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Naja, was muss den sein, damit ist? Dann muss doch sein. Also . das Tupel oder . Also gibt es unendlich viele Tupel, weil es ja unendlich viele Zahlen gibt. Also ist kreuz MfG |
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