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Rentenrechnung

Schüler

Tags: Restrate

stinlein aktiv_icon

17:45 Uhr, 21.02.2025

Stehe bei dieser Aufgabe an. Komme zu keinem Ansatz. Bitte um Unterstützung. Danke!
Aufgabe:
Katharina legt heute 20 000,-- € auf ein Sparkonto. Sie will dafür eine in 3 Jahren beginnende vorschüssig zahlbare Semesterrente von € 4 000. i = 3 %
a) Berechnen Sie wie oft sie die vollen Raten beziehen kann.
b) Ermitteln Sie die Höhe der RESTRATE, die zugleich mit der letzten Rate fällig ist. Berechnen Sie die Höhe der Restrate, die zugleich mit der dritten Rate fällig ist.
Danke für eure Hilfe!
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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18:17 Uhr, 21.02.2025

Hallo,

in drei Jahren sind die 20000 gleich

20000 \cdot 1, 0 3^{3}

wert. Wir sind jetzt in

t_{3} .

Für diesen Zeitpunkt kann man den Term für den Barwert der

vorschüssigen

Zahlungen nach

n

Semester hinschreiben. Der (relative) Semesterzinssatz ist

i_{2} = \frac{i}{2} = \frac{0, 03}{2} = 0, 015

. Also ist die Gleichung

20000 \cdot 1, 0 3^{3} = 4000 \cdot 1, 015 \cdot \frac{1, 01 5^{n} - 1}{0, 015 \cdot 1, 01 5^{n}}

Soweit klar?

Gruß
pivot

stinlein aktiv_icon

18:23 Uhr, 21.02.2025

Vielen lieben Dank für deine Hilfe. Ich werde jetzt gleich rechnen. Den Ansatz habe ich verstanden. Danke.
Also:
21854,54 = 4060*1,015^n-1/(0,015*1.015^n)
0,8074337=1,015^n - 1/1,015^n

Da stecke ich jetzt fest. Ich haabe vermutlich schon einen Fehler gemacht.
stinlein

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18:36 Uhr, 21.02.2025

OK. Die Anzahl der vollen Raten unterscheiden sich nicht viel (wenn überhaupt) von der Rechnung

\frac{20000}{4000} = 5

.
3 Jahre Ansparzeit und ein Zinssatz von 3% machen den Kohl nicht fett.

stinlein aktiv_icon

18:48 Uhr, 21.02.2025

Danke vielmals für deine Geduld. Ich verstehe es selber nicht, warum ich jetzt plötzlich hängen bleibe.
stinlein

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19:05 Uhr, 21.02.2025

OK du hast:

0.8074337 = \frac{1.01 5^{n} - 1}{1.01 5^{n}}

Gleichung mit

1.01 5^{n}

multiplizieren.

Jetzt hast du eine Null unter den Tisch fallen lassen. Schau mal genau hin.

0.08074337 \cdot 1.01 5^{n} = 1.01 5^{n} - 1

Plus

1

und minus

0.08074337 \cdot 1.01 5^{n}

1 = 1.01 5^{n} - 0.08074337 \cdot 1.01 5^{n}

1.01 5^{n}

ausklammern.

1 = 1.01 5^{n} \cdot (1 - 0.08074337)

Du kannst jetzt erst

1.01 5^{n}

alleine auf der rechten Seite stehen lassen. Dann beide Seiten logarithmieren.

stinlein aktiv_icon

19:15 Uhr, 21.02.2025

Danke, jetzt sehe ich es - die Null vergessen anzuschreiben. Ich rechne sofort weiter. Bin jetzt ein wenig erleichtert. Vielen Dank für deine große Mühe und Geduld.
stinlein

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19:24 Uhr, 21.02.2025

Bin gespannt ...

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19:27 Uhr, 21.02.2025

Ich auch. Leider bekomme ich da immer Minuswerte. Aber ich gebe nicht auf.
1 = 1,015^n * (1 - 0,08074337)
0,09192566=1,1015^n
log 0,091925663 = n* log 1,015
Ich hoffe, das das bis jetzt richtig ist.
Danke!
stinlein

stinlein

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19:30 Uhr, 21.02.2025

OK. Ich mach mal zur Kontrolle den nächsten Schritt.

\frac{1}{1 - 0.08074337} = 1.01 5^{n}

Oder im Taschenrechner

1 / (1 - 0.08074337) = 1.01 5^{n}

Wenn man jetzt beide Seiten logarithmiert, muss jeweils der ganze Ausdruck nochmal in Klammern gesetzt werden.

stinlein aktiv_icon

19:37 Uhr, 21.02.2025

Oh Gott! Endlich komme ich auf 5,65. Ich hoffe, das stimmt.
Vielen lieben Danke!
stinlein

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19:39 Uhr, 21.02.2025

Es ist

1 / (1 - 0.08074337) = 1.0878355

Die Klammern müssen richtig gesetzt werden.

Dann ist die Gleichung.

1.0878355 = 1.01 5^{n}

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19:40 Uhr, 21.02.2025

Genau. Das rechnerische Ergebnis ist richtig. Wie viele vollen Raten sind es dann?

stinlein aktiv_icon

19:44 Uhr, 21.02.2025

Es sind also 5 volle Raten. Das war Schwerstarbeit. Jetzt gilt es, die Höhe der Restrate zu berechnen, die mit der letzten Rate fällig ist.

stinlein

pivot aktiv_icon

19:53 Uhr, 21.02.2025

Genau.
Wenn du eine Idee zur Restrate hast kannst du sie gerne posten.

stinlein aktiv_icon

19:57 Uhr, 21.02.2025

Ich werde mich bemühen. Vielen lieben Dank inzwischen. Oma hat gerade gerufen, es gibt eine kleine Jause.
Herzlichen Dank, pivot!
stinlein

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20:00 Uhr, 21.02.2025

Oma ist die Beste.

stinlein aktiv_icon

21:00 Uhr, 21.02.2025

Ja, da hast du recht. Was muss ich bei der Restrate berücksichtigen. Wurde aus dem Internet nicht schlau. Da habe ich nichts gefunden, wie man die Restrate berechnet.
Danke - vielleicht kannst du mir heute noch einen Tipp geben. Ich mache dann morgen gerne weiter. Ich glaube, ich saß heute zu viel vor dem Bildschirm, sodass mir nichts mehr Gescheites einfällt.
Inzwischen dir alle Gutes und nochmals ein Dankeschön
stinlein

KL700 aktiv_icon

08:15 Uhr, 22.02.2025

Meine Lösungsweg mit Substitution:

20000 \cdot 1 . 03^{3} \cdot 1 . 015^{n} = 4000 \cdot 1.015 \cdot \frac{1 . 015^{n} - 1}{0} . 015

z = 1 . 015^{n}

20000 \cdot 1 . 03^{3} \cdot z \cdot 0.015 = 4000 \cdot 1.015 \cdot (z - 1)

z = 1.08784

1 . 015^{n} = z

n =

lnz

\frac{z}{ln 1 . 015} = 5,65

Halbjahre

Restsumme nach 3 Raten:

20000 \cdot 1 . 03^{3} \cdot 1 . 015^{3} - 4000 \cdot \frac{1 . 015^{3} - 1}{0.015} = 10671.92

Enano

08:23 Uhr, 22.02.2025

Hallo stinlein,

hast du vielleicht bei der Angabe des Zinssatzes, wie auch schon in deiner Aufgabe zuvor, etwas weggelassen, dass einen Hinweis auf die Zinsperiode geben könnte?

Steht im Original-Aufgabentext tatsächlich nur

i = 3 %

ohne irgend ein Zusatz? Sieh noch einmal genau hin.

Gruß
Enano

stinlein aktiv_icon

09:16 Uhr, 22.02.2025

Zuerst einmal allerliebsten Dank KL700 für deine tolle Hifestellung.
Ich werde mir das jetzt durch den Kopf gehen lassen, ob ich das nachvollziehen kann. Es gibt da leider noch die Aufgabe c) Berechnen Sie die Höhe der Restrate, die zugleich mit der dritten Raste fällig ist. Kannst du mir da noch helfen. DANKE!
stinlein

stinlein aktiv_icon

09:17 Uhr, 22.02.2025

Lieber enano!
Danke für den Hinweis. Ich könnte ja leicht etwas übersehen haben. Aber es steht einfach am Ende der Angabe i =3%
stinlein

KL700 aktiv_icon

10:03 Uhr, 22.02.2025

Die Restrate ist der Restbetrag

s . o

. wenn alles nach 3 Raten zurückgezahlt sein soll.
So lese ich diese Aufgabe.

stinlein aktiv_icon

10:25 Uhr, 22.02.2025

Ja, danke vielmals. Verstehe allerdings die Aufgbe c) - die ich übersehen habe - nicht. Da heißt es: Berechnen Sie die Höhe der Restrate, die zugleich mit der dritten Rate fällig ist.
b) Wie hoch wäre also die Höhe der Restrate, die zugleich mit der letzten Rate fällig ist. Die Restsumme nach 3 Jahren hast du berechnet mit Euro 10671,92.
Entschuldige, dass ich so lästig bin und alles hinterfrage.
PS: Ja, lieber Enano, ich sehe eben, dass bei beiden Aufgaben nicht i steht, sondern i_2 =3% steht.
stinlein

KL700 aktiv_icon

11:44 Uhr, 22.02.2025

"Wie hoch wäre also die Höhe der Restrate, die zugleich mit der letzten Rate fällig ist"

20000 \cdot 1 . 03^{5} - 4000 \cdot 1.015 \cdot \frac{1 . 015^{5} - 1}{0,015} = 2625.342

PS:
Ich hatte bei der letzten Antwort nach

4000

die

1,015

vergessen. (vorschüssig)

Bitte korrigiere das Ergebnis.

Enano

11:45 Uhr, 22.02.2025

> . .

. sondern

i_{2} = 3 %

steht.

Ich hatte mich schon gewundert, dass es bei einer Aufgabe aus der Finanzmathematik keinen einzigen Hinweis zur Verzinsungsperiode gibt. Ich nehme an, dass bei der anderen Aufgabe dann

i_{2} = 4 %

steht. Der Ausdruck "Semesterrente" ist wohl in Österreich verbreiteter, als in Deutschland. Und die Zinsperioden pro Jahr werden bei euch wohl häufig mit einem Index hinter dem

i

angegeben,

z . B

i_{1}

für eine Zinsperiode pro Jahr

(= p . a .), i_{2}

für zwei Zinsperioden pro Jahr, usw.. Aber das solltest du besser wissen.

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