Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Repräsentantensystem von Äquivalenzrelation

Repräsentantensystem von Äquivalenzrelation

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: Äquivalenzklassen, Äquivalenzrelation, Relation., Repräsentantensystem

andre103 aktiv_icon

17:37 Uhr, 11.04.2020

Hallo, ich stehe vor folgendem Problem:

Gegeben ist die folgende Äquivalenzrelation:

{((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) ∣ x_{1} = x_{2}} \subseteq ℝ

\times ℝ

^2

Gesucht ist ein Repräsentantensystem dieser Äquivalenzrelation welches wir wie folgt definiert haben:

Es sei

R \subseteq A \times A

eine Ä.R. Eine Menge

K \subseteq A

heißt Repräsentantensystem von R, falls:
1.

\forall k_{1}, k_{2} \in K

mit

k_{1} \neq k 2

gilt

(k_{1}, k_{2}) \notin R

A = ⋃_{k \in K}

[k]_{R}

Wie gehe ich am besten vor?

Bisheriger Ansatz:

Aus der Definition der Ä.R. ist ersichtlich, dass

x_{1} = x_{2}

gelten muss. Somit muss jedes

x \in ℝ

nach meinem Verständis eine eigene Äquivalenzklasse besitzen also folgt für das Repräsentantensystem schonmal

[ℝ \times ?]

Da das y soweit ich das beurteilen kann, in der Def. der Ä.R. kann keine Rolle spielt, und

y \in ℝ

müsste das oben genannte ebenfalls für y gelten.
Also:

[ℝ \times ℝ]

Ist dies korrekt oder habe ich etwas übersehen?

LG

André

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:22 Uhr, 11.04.2020

Hallo,

> Ist dies korrekt oder habe ich etwas übersehen?

Wenn man nicht wüsste, worauf die Sache hinausliefe, dann kann man aus deinem Geschreibsel nicht gut verstehen.
Also ist es falsch formalisiert. Also ist es nicht korrekt.

Da die Äquivalenzrelation ja für Punkte der Zeichenebene definiert wurde, kann man ja mal beispielhaft eine Zeichnung anfertigen.
Hast du das vielleicht aus Versehen schon gemacht?

Wenn nicht: Blatt Papier, nicht allzu kleines Koordinatensystem und darin äquivalente Punkte mit gleicher Farbe einzeichnen.

Übrigens kann man ganz verschiedene Repräsentantensysteme nehmen. Ohne viel nachdenken zu müssen komme ich auf ... überabzählbar viele.

Mfg Michael

andre103 aktiv_icon

19:32 Uhr, 11.04.2020

Hallo Michael, vielen Dank für deine Antwort.
Danke, eine Skizze habe ich bislang nicht angefertigt, es ist mir jetzt ersichtlich, dass das Repräsentantensystem der ganze

ℝ^{2}

ist.

Hast du vielleicht eine Idee wie ich das ohne Skizze besser begründen könnte?

LG
André

michaL aktiv_icon

19:36 Uhr, 11.04.2020

Hallo,

der ganze

ℝ^{2}

enthält ja unter anderem die Punke

(0 ∣ 0)

und

(0 ∣ 1)

, die ja beide äquivalent sind und daher nicht beide in einem Repräsentantensystem sein können.
Also nochmal nachdenken.

Mfg Michael

andre103 aktiv_icon

19:54 Uhr, 11.04.2020

Hallo Michael,

da

\forall y, z \in ℝ

(x, y) \equiv (x, z)

gilt, ist das Repräsentantensystem der Ä.R.

ℝ \times {y}

mit

y \in ℝ

bel.

Das müsste soweit stimmen oder?

LG
André

michaL aktiv_icon

20:47 Uhr, 11.04.2020

Hallo,

ja, für jedes

y \in ℝ

ist

R_{y} := {(x ∣ y) \in ℝ^{2} ∣ x \in ℝ

ein Repräsentantensystem.
Übrigens ist

D := {(x ∣ x) \in ℝ^{2} ∣ x \in ℝ}

auch eines.

Zudem ist für jede Funktion

f : ℝ \to ℝ

auch

R_{f} := {(x ∣ f (x)) \in ℝ^{2} ∣ x \in ℝ}

ebenfalls ein solches.

Der Kreativität sind da keine Grenzen gesetzt.

Wichtig ist, dass es für jedes Repräsentantensystem und jedes

x \in ℝ

genau ein

z = (x ∣ y) \in R

gibt, dass ich mit

P (x, R)

(wie Punkt) abkürzen möchte.

Und ist umgekehrt

R

ein Repräsentantensystem für "

\sim

", so definiert

f_{R} : {\begin{aligned} ℝ & \to & ℝ \\ x & \mapsto & P (x, R) \end{aligned}

eine reelle Funktion.

Soll heißen, dies sind auch alle möglichen Repräsentantensysteme speziell für "

\sim

".

Mfg Michael

andre103 aktiv_icon

21:05 Uhr, 11.04.2020

Danke für die ausführlichen Antworten,
jetzt wird mir einiges klarer.
Du hast mir sehr geholfen!

LG
André

1499019

1498998

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?