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Residuum = unendlich? Residuensatz?

Universität / Fachhochschule

Tags: Residuensatz, Residuum

Lardos aktiv_icon

11:59 Uhr, 30.05.2015

Hallo zusammen!
Ich habe große Schwierigkeiten mit dem bestimmen von Residuen und den berechnen von Integralen

m . H

. des Residuensatzes.
Meine erste Frage ist folgende:
Ich habe eine Funktion

f (x),

welche bei allen ganzen Zahlen

x = n

mit

n \in ℤ

eine Polstelle 1. Ordnung besitzt. Um jetzt das Residuum zu berechnen verwende ich die Gleichung:

R e s (f) = lim_{x \to n} (x - n) \cdot f (x)

Jetzt sieht man ja schon, dass das nicht gut gehen kann. Wenn ich

x

gegen

n

schicke, erhalte ich für

f

unendlich. Meine Frage ist deshalb, ob das Residuum jetzt unendlich ist?

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Meine zweite Frage bezieht sich auf die Berechnung von Integralen

m . H

. des Residuensatzes.
Beispiel: Ich soll zeigen, dass gilt

\int_{ℝ} \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{3}} d x = \frac{3}{8} \cdot π

Mein Ansatz wäre jetzt:
1. Polstellen bestimmen

(\pm i

dritter Ordnung)
2. Residuen berechnen
3. Residuensatz anwenden

Problem hierbei ist auch wieder die Bestimmung der Residuen:

R e s (f) = \frac{1}{2} \cdot lim_{x \to \pm i} \frac{d^{2}}{{d x}^{2}} (\frac{x - (\pm i)}{{(1 + x^{2})}^{3}})

Wenn ich das ganze 2 mal nach

x

Ableite erhalte ich im Nenner wieder den Ausdruck:

{(1 + x^{2})}^{5}

. Das bringt mich zum selben Problem wie oben, da für den Grenzwert die 2te Ableitung unendlich groß wird.

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Ich hoffe ich verlange nicht zu viel, bei den ganzen Fragen, aber ich hänge momentan wirklich fest. Es wäre nett, wenn ihr mir die Residuenberechnung noch etwas näher erläutern könntet.

Liebe Grüße
Luca

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

12:04 Uhr, 30.05.2015

"Wenn ich x gegen n schicke, erhalte ich für f unendlich."

Na und?
Beispiel:

f (x) = \frac{1}{x - n}

. Wenn

x \to n

, geht

f

tatsächlich gegen

\infty

.
Und doch ist klar, dass

R e s_{n} (f) = lim_{x \to n} (x - n) f (x) = lim_{x \to n} (x - n) \frac{1}{x - n} = 1

.
Es geht nicht um Verhalten von

f (x)

alleine.

Lardos aktiv_icon

12:09 Uhr, 30.05.2015

Ja das dachte ich mir schon, allerdings sieht meine Funktion dann wie folgt aus:

lim (x - n) \cdot \frac{π \cdot cos (π \cdot x)}{x^{2} \cdot sin (π \cdot x)}

Oder muss man in dem Fall L'Hospital anwenden?

DrBoogie aktiv_icon

12:12 Uhr, 30.05.2015

Ja, L'Hospital ist eine gute Idee.

Lardos aktiv_icon

12:33 Uhr, 30.05.2015

Gut, dann erhalte ich Schlussendlich

\frac{1}{n^{2}}

als Residuum! Ich versuche mich dann nochmal an den anderen Aufgaben mit der selben Vorgehensweise.
Aber eine Frage hätte ich noch:
Gibt es noch andere Möglichkeiten die Residuen einfach zu bestimmen? Ich finde nämlich oft Beispielaufgaben, in denen das Residuum ohne groß irgendwelche Ableitungen zu bilden oder L'Hopital anzuwenden in einer Zeile berechnet wird.
Beispielsweise hier: www.math.uni-hamburg.de/home/oberle/skripte/komplex/komplex-d-11.pdf

Auf der 2ten Seite unten im Beispiel steht:

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{6}} d x

R e s (f, k) = \frac{1}{6 \cdot z^{5}} |_{k} = - \frac{k}{6}

Wie konnte er das so schnell berechnen, ohne den obigen Satz zur Bestimmung von Residuen anzuwenden? Offensichtlich wurde ja irgendein Satz

10.5

angewendet, der leider nicht genauer beschrieben ist.

DrBoogie aktiv_icon

12:41 Uhr, 30.05.2015

"Offensichtlich wurde ja irgendein Satz 10.5 angewendet, der leider nicht genauer beschrieben ist."

Und offensichtlich steckt die ganze Berechnung in diesem Satz. :-)

Im allgemeinen Fall ist die Geschichte noch komplizierter, denn mit dem Grenzwert funktioniert es so nur für einen einfachen Pol.
Hier kannst sehen, wie man es in einzelnen Fällen einfacher machen kann:
www.mathi.uni-heidelberg.de~jschmid2/Aufgaben/!Formelsammlung.pdf

Lardos aktiv_icon

15:13 Uhr, 30.05.2015

Ah, verstehe!
Ok ich glaube so langsam komme ich hinter die Berechnung und Bestimmung von Residuen. Zumindest solange man nichts parametrisieren muss, damit habe ich nach wie vor meine Schwierigkeiten.

Aber schon mal vielen Dank für die Hilfe!

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