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Restklassen Gleichung lösen

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Tags: restklassen, Restklassenaddition

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22:30 Uhr, 21.01.2014

Liebe Online Mathe User,

ich bräuchte eure Hilfe. Momentan weiß ich nicht ob mein Lösungsweg zu dieser Aufgabe Akzeptabel ist und deswegen bräuchte ich eure Meinungen bzw. Tipps oder Verbesserungsvorschläge

Die Aufgabe habe ich wie folgt gelöst:
Habe die ersten Elemente der Restklassen genommen und damit berechnet und zu diesem Ergebnis gekommen

3 x = - 6 | : 3

x = - 2 | + 11

x = 9

Da 9 ein Element der Restklasse 9 ist, ist meine Lösungsmenge die Restklasse 9

Danke im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

SoNyu

22:36 Uhr, 21.01.2014

Du sollst also die Gleichung

3 x = - 6

ℤ / 9

lösen??

Was hat diese Gleichung denn mit der angehängten Aufgabe zu tun? Kannst du einmal die konkrete Aufgabenstellung posten.

nebis aktiv_icon

22:44 Uhr, 21.01.2014

Also ich habe laut Aufgabenstellung (als Anhang zu sehen ist) versucht die Gleichung zu lösen, in dem ich die ersten Elemente der Restklassen eingesetzt habe und danach habe ich dies umgestellt um

x

auszurechnen.

Restklasse

1 = {1,12,23 ...}

Restklasse

3 = {3,14,25 ...}

Restklasse

7 = {7, 18, 29 ...}

SoNyu

22:53 Uhr, 21.01.2014

Aber in der Angehängten Aufgabe sollst du die Gleichung doch Modulo 11 lösen.

Wo nimmst du nun auf einmal diese Mengen her?

Zu deinem Rechenweg (Modulo 11)

3x+7=1

3x=-6

Soweit richtig. Jetzt wird es falsch.

1. Ist -6 erstmal kein Element von Z/11 dies gilt es umzuwandeln. Wie sieht der Repräsentant von -6 in Z/11 aus?

2. Du dividierst mit 3. Das geht hier so einfach nicht. Z/11 ist zwar ein Körper aber auch hier kannst du nicht einfach durch 3 teilen. Du musst den Repräsentanten für 3 in Z/11 finden für den gilt:

3 \cdot (3)^{- 1} = 1

Als nächstes addierst du mit 11. Das ist ebenfalls nicht möglich den auch 11 ist kein Element von Z/11. Der Repräsentant wäre die Null.

nebis aktiv_icon

23:01 Uhr, 21.01.2014

vielen Dank für die Hilfe...

Also von neu

3 x + 7 = 1

3 x = - 6

3 x = 5

(Repräsentant für

- 6

mod 11)

3 \cdot {(3)}^{- 1} \cdot x = 5 \cdot {(3)}^{- 1}

x = \frac{5}{3}

Das Ergebnis ist denke ich mal falsch. Ich musste den Repräsentant für

{(3)}^{- 1}

finden oder? Wenn ja wie könnte ich dies leicht rausfinden?

el holgazán aktiv_icon

23:05 Uhr, 21.01.2014

ℤ / 11 ℤ

ist das nicht all zu schwer (ausprobieren):

Du musst also

a

finden, so dass

a \cdot 3 \equiv 1

. Da wirst du sicher schnell fündig.

Ansonsten kannst du im Allgemeinen auch den erweiterten Euklidschen Algorithmus verwenden:

de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus

Damit berechnest du gcd(3,11) und bekommst folgende Gleichung:

1 = g c d (3, 11) = a \cdot 3 + b \cdot 11

Also wenn du nun nach (mod 11) gehst:

1 \equiv a \cdot 3 + 0 \equiv a \cdot 3

(mod 11)

SoNyu

23:09 Uhr, 21.01.2014

Dein Ergebnis ist in der Tat falsch. Denn wieder die Frage ob 5/3 überhaupt ein Element von Z/11 ist.
Dies ist natürlich nicht der Fall, denn es können ohnehin nur ganzzahlige Werte sein.

Zu deiner Rechnung:

Richtig. 5 repräsentiert die -6 in Z/11

Um das inverse der 3 zu finden musst du lediglich eine Zahl finden die du mit der 3 mulitpliziert und dann wenn du sie durch 11 teilst den Rest 1 lässt. Das ist dir denke ich auch klar. Eine solche Zahl findet man recht schnell. Du kannst ja mal probieren

3*1=3 nein

3*2=6 nein

3*3=9 nein

3*4=12=1 Passt.

3^{- 1} = 4

Danke el holgazan fürs einmischen.

nebis aktiv_icon

23:15 Uhr, 21.01.2014

Vielen vielen Dank an euch beiden für die reichhaltige Infos.

Also von neu

3 x + 7 = 1

3 x = - 6

3 x = 5

(Repräsentant für

- 6

mod 11)

3 \cdot {(3)}^{- 1} \cdot x = 5 \cdot {(3)}^{- 1}

x = 5 \cdot 4

x = 20

x = 9

(Repräsentant für

20)

Also ist meine Lösungsmenge die Restklasse 9 oder? Wie könnte ich dies Formal besser ausdrücken?

anonymous

23:18 Uhr, 21.01.2014

@nebis:
Das Vorgehen am Anfang ist vollkommen richtig und elegant.

@SoNyu:
1. -6 ist sehr wohl in Z/11Z. ( Z/11Z,+) ist eine Gruppe, also existiert das Inverse zu 6 in der Gruppe. es gilt

- 6 \equiv 5 m o d 11

. Sowohl -6 als auch 5 sind Repräsentanten der selben Restklasse.
2. Z/11Z,+,*) ist ein Körper, also existiert das multiplikative Inverse zu 3 im Körper. Es ist

\frac{1}{3} = 3^{- 1} \equiv 4 m o d 11

SoNyu

23:19 Uhr, 21.01.2014

9 alleine ist ja keine Restklasse und wir befinden uns immer noch in der Restklasse 11. Daran wird sich auch nichts ändern.

Die Lösung ist einfach

x = \bar{9}

mit

\bar{9} \in ℤ / 11

Du kannst ja auch eine Lösungsmenge aufschreiben:

L = {\bar{9}}

@cromatie:

Da hast du natürlich recht. Ich hatte mich nur missverständlich ausgedrüctk, denn mit diesen Werten kann man halt nicht sonderlich gut rechnen, weshalb man es eben anderweitig hinschreiben sollte.

Edit: @cormatie nochmal:

Achso ich glaube du willst darauf hinaus, dass der Fragesteller schon am Anfang das richtige Ergebnis hatte.
Zu Anfang war ich bezüglich der Fragestellung unsicher was nun gemeint ist. Im weitern Verlauf scheine ich die Lösung des Fragestellers einfach vergessen zu haben. *schäm*

anonymous

23:26 Uhr, 21.01.2014

Naja, wenn man damit eine kürzere Rechnung als sonst hinkriegt zeigst das doch sehr wohl, dass man damit gut Rechnen kann.
In den meisten Fällen ist für ungerades n das Repräsentantensystem

{- \frac{n - 1}{2}, \dots, \frac{n - 1}{2}}

das geschickteste zum Rechnen, da es die verwendeten Zahlen klein hält.

SoNyu

23:28 Uhr, 21.01.2014

Ja, ich hatte deinen Einwand gerade nicht so ganz verstanden.
Siehe meinen letzten Edit. Ich hatte die Lösung des Fragestellers nicht mehr im Kopf und zu Anfang dachte ich auch, dass er die Aufgabe Modulo 9 gerechnet hatte...

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