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Richtungsableitung

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Richtungsableitung, Skalarprodukt, Vektor zeichnen

starger aktiv_icon

10:13 Uhr, 10.09.2013

Hallo in die Runde...
Ich habe ein paar Fragen zur Richtungsableitung. Die rechnerische Durchführung ist mir klar,
jedoch besteht etwas Verwirrung bzw. Unklarheit bezüglich einiger Bedeutungen:
Wenn ich die Richtungsableitung von

f (x, y) = (\begin{array}{rcl} x^{2} \\ y^{2} \end{array})

im Punkt

p = (\begin{array}{rcl} 2 \\ 2 \end{array})

in Richtung

\vec{a} = (\begin{array}{rcl} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array})

berechnen möchte,
dann berechne ich zunächst den Gradienten, setzte p in den Gradienten ein, normiere dann den Richtungsvektor und bilde dann das Skalarprodukt dieser.

Meine Fragen:
Sagt das bilden des Skalarproduktes in diesem im Prinzip nur aus, wievel auf meinen Richtungsvektor abfällt/projeziert wird?

Wenn ich den Gradienten in p und den Richtungsvektor korrekt zeichnen möchte, währe dann folgendes Vorgehen korrekt?
Der Gradient in p ist

(\begin{array}{rcl} 4 \\ 4 \end{array})

. Also zeichne ich den Vektor von

(\begin{array}{rcl} 2 \\ 2 \end{array})

nach

(\begin{array}{rcl} 6 \\ 6 \end{array})

\vec{a}

ist

(\begin{array}{rcl} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array})

, also zeichne ich einen Vektor von p nach

(\begin{array}{rcl} 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 2 + \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array})

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Apfelkonsument aktiv_icon

11:46 Uhr, 10.09.2013

Der Gradient ist eigentlich nur für Skalarfelder, nicht für Vektorfelder definiert.

Das, was du hingeschrieben hast, ist der Gradient von

f : ℝ^{2} \to ℝ, (x, y) \mapsto x^{2} + y^{2}

.

Alles andere, was du geschrieben hast, stimmt aber nach meiner Einschätzung (wenn man sich überall statt deiner Funktion die meinige denkt).

Sina86

11:46 Uhr, 10.09.2013

Hi,

deine Antworten sind teils teils korrekt. Wenn

f (x, y)

eine Funktion von

ℝ^{2} \to ℝ

wäre, würde das was du sagst stimmen. Denn dann ist die erste Ableitung von

f

auch ein Gradient. Dieser zeigt immer in Richtung des stärksten Anstieges. Mit dem Skalarprodukt wird dann die Länge der orthogonalen Projektion dieses Vektors auf die durch den Richtungsvektor aufgespannte Gerade berechnet (hierbei ist es wichtig, dass der Richtungsvektor normiert wird, ansonsten wird das Ergebnis verfälscht, sprich die Projektion ist nicht mehr orthogonal. Dasselbe Prinzip findet sich im Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren).

In deinem Fall ist

f (x, y)

aber eine Funktion der Form

ℝ^{2} \to ℝ^{2}

und die erste Ableitung ist somit kein Gradient mehr, sondern die Jacobi-Matrix. Hier ist eine geometrische Interpretation nicht mehr ganz so einfach...

Wenn dann

D_{f} (2, 2)

die Jacobi-Matrix von

f

im Punkt

(2, 2)^{T}

ist, dann musst du

D_{f} (2, 2) \cdot a

berechnen. In der Jacobi-Matrix steht in der ersten Zeile der Gradient der ersten Komponentenfunktion, in der zweiten Zeile der Gradient der zweiten Komponentenfunktion. Führst du nun

D_{f} (2, 2) \cdot a

aus, so steht im oberen Eintrag des Ergebnisvektors das Skalarprodukt vom oberen Gradienten mit

a

und im unteren Eintrag das Skalarprodukt vom unteren Gradienten mit

a

. Dementsprechend wäre dann die Interpretation, dass man im oberen Eintrag die Länge der orthogonalen Projektion des Gradienten der ersten Komponentenfunktion auf die Richtungsgerade ablesen kann und im unteren Eintrag entsprechend das ganze für die zweite Komponentenfunktion.

Mit deiner Frage zur Zeichnung hast du wieder recht, wenn du eine Funktion von

ℝ^{2} \to ℝ

hast. In deinem Beispiel für

f (x, y)

jedoch, geht das nicht so einfach, da es für eine Matrix erst einmal keine wirkliche grafische Darstellung gibt. Hier kannst du höchstens wieder damit arbeiten, dass in den beiden Zeilen die beiden Gradienten der Komponentenfunktionen stehen. Dann könnte man theoretisch zwei Gradienten einzeichnen, einen für die erste Komponentenfunktion und einen für die zweite Komponentenfunktion. Aber ehrlich gesagt habe ich soetwas noch nie gesehen.

Viele Grüße
Sina

Sina86

11:59 Uhr, 10.09.2013

Nachtrag:

Naja, was ich gerade über die Länge der orthogonalen Projektion geschrieben hab, stimmt so natürlich nicht. Denn das Skalarprodukt kann natürlich negative Werte annehmen, eine Länge (Norm) natürlich nicht.

Was herauskommt ist, genau gesagt, die quadratische Länge der orthogonalen Projektion des Gradienten auf die Richtungsgerade mit einem Vorzeichen versehen. Dabei ist das Vorzeichen eine "Orientierung", d.h. positiv, wenn die orthogonale Projektion in dieselbe Richtung wie der Richtungsvektor zeigt und negativ, wenn die beiden Vektoren entgegengesetzt ist.

Wie dem auch sei, wichtig ist, dass das Skalarprodukt eine Interpretation zulässt. Ist das Skalarprodukt von Richtungsvektor und Gradient sehr groß, dann wächst die Funktion (bzw. Komponentenfunktion) in diese Richtung stark an, ist sie sehr klein, fällt sie sehr stark ab. Diese Werte kann man dann mit anderen Richtungsvektoren (in anderen Punkten) vergleichen und hat somit eine Vergleichsmöglichkeit in der Interpretation.

LG
Sina

starger aktiv_icon

13:23 Uhr, 10.09.2013

Vielen Dank, das hat hat mir sehr geholfen.

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