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Richtungsableitungen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

icefox01 aktiv_icon

10:41 Uhr, 06.05.2019

Hallo Leute, ich hänge etwas bei einer Aufgabe. Vielleicht kann mir jemand helfen. :-D)

Aufgabe: Wir betrachten die beiden Funktionen

f, g : ℝ^{2} \to ℝ

mit

f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0,0), 0

sonst

f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}}

für

(x, y) \neq (0,0), 0

sonst

Zeigen Sie:

(a)

Für jedes

v \in ℝ^{2}

mit

{| | v | |}_{2} = 1

existieren die Richtungsableitungen

\partial_{v} f (0,0)

und

\partial_{v} g (0,0)

(b)

f

und

g

sind in

(0,0)

nicht differenzierbar
(c)

f

ist stetig in

(0,0), g

ist nicht stetig in

(0,0)

Aufgabe

(c)

habe ich zeigen können.
Somit kann ich für die

(b)

folgern dass

g

nicht differenzierbar ist.
Für

f

wäre damit die totale Ableitung gemeint oder? Wie kann ich zeigen dass diese nicht existiert?

Und

(a)

verstehe ich leider gar nicht. Vor allem das mit dem

v

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

korbinian aktiv_icon

16:03 Uhr, 07.05.2019

Hallo,
ich vermute die 2. Funktion ist g.
zu a) hier musst du nur die Definition der Richtungsableitung nachschlagen und einsetzen.
zu b) welches Kriterium für totale Differenzierbarkeit kennst du denn? Vielleicht eines, das die partiellen Ableitungen verwendet?

gruß
korbinian

DerDepp aktiv_icon

18:02 Uhr, 07.05.2019

Hossa :-)

zu a)
Am Beispiel von

f

vorgeführt:

lim_{h \to 0} \frac{f (\vec{0} + h \vec{v}) - f (\vec{0})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (h v_{x}, h v_{y}) - f (0, 0)}{h} = lim_{h \to 0} [\frac{1}{h} \cdot f (h v_{x}, h v_{y})]

,weil

f (0, 0) = 0

Jetzt kannst du die Funktionsgleichung nutzen:

lim_{h \to 0} [\frac{1}{h} \cdot f (h v_{x}, h v_{y})] = lim_{h \to 0} [\frac{1}{h} \cdot \frac{(h v_{x})^{2} h v_{y}}{(h v_{x})^{2} + (h v_{y})^{2}}] = lim_{h \to 0} [\frac{1}{h} \cdot \frac{h^{3} v_{x}^{2} v_{y}}{h^{2} (v_{x}^{2} + v_{y}^{2})}] = v_{x}^{2} v_{y}

, weil

v_{x}^{2} + v_{y}^{2} = 1

Im Punkt

(0, 0)

existieren also alle Richtungsableitungen mit

∣ v ∣^{2} = 1

.

zu b)
Zur Prüfung, ob eine Funktion

f

(total) differenzierbar ist, kannst du wie folgt vorgehen:

(i) Ist

f

stetig? Nein => nicht differenzierbar.

(ii) Ist

f

partiell differenzierbar? Nein => nicht differenzierbar.

(iii) Sind alle(!) partiellen Ableitungen von

f

stetig? Ja => differenzierbar.

(iv) War bei (iii) mindestens eine partielle Ableitung unstetig, prüfe folgende Bedingung:

lim_{\vec{h} \to \vec{0}} \frac{f (\vec{x} + \vec{h}) - f (\vec{x}) - grad f (\vec{x}) \cdot \vec{h}}{∣ \vec{h} ∣} = 0

<=>

f

ist an der Stelle

\vec{x}

differenzierbar.

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