Riemann-Integrierbarkeit / Dirichlet-Funktion

Hallo,

ich hab hier folgende Aufgabenstellung die Ähnlichkeiten mit der Dirichlet-Funktion hat. Folgende Aufgabe ist gegeben:

"Man betrachte folgende funktion auf dem Intervall [0,1]:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\left\{\begin{array}{c}1,\text{falls }\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \left\{\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\}\\ \begin{array}{c}2,\text{falls}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\backslash \left\{\frac{1}{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right|\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\}\\ \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\backslash \mathrm{Q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\end{array}\end{array}\right\}}$

Überprüfen Sie, ob das Supremum über alle Untersummen gleich oder echt kleiner dem Infimum aller Obersummen ist, d.h. überprüfen Sie, ob folgendes gilt:

${\displaystyle \mathrm{sup<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left\{\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right|\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}[0,1]\}=\mathrm{inf<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})|\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}[0,1]\}}$

Hier hab ich ja eine Ähnlichkeit zur Dirichlet-Funktion. D.h. es gibt für jede Zerlegung im Teilintervall rationale und irrationale Zahlen vorkommen.

Daher ist ${\displaystyle \mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Und ${\displaystyle \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=1}$ da "n" Anfangs sehr klein ist und damit die Untersumme über das Teilintervall 1 ist.

Also: ${\displaystyle \mathrm{sup<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left\{\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\}=1<\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{inf<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\}}$

Stimmt das soweit und reicht das als Antwort für die Aufgabe oder muss man diese Annahmen (vorrausgesetzt sie sind richtig) auch noch irgendwie beweisen?