Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Riesz-Lemma, dim<inf, Beweisverständnis

Riesz-Lemma, dim<inf, Beweisverständnis

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, MATH, Mathematik, Riesz

anonymous

22:32 Uhr, 18.04.2021

Hallo!

Das Lemma von Riesz:

Sei

U

ein abgeschlossener echter Unterraum von einem normierten Raum X. Dann gibt es zu jedem

0 < δ < 1

ein

x \in X

mit

| | x | | = 1,

sodass

| | x - u | | \geq 1 - δ

für jedes

u \in U

.

Meine Behauptung: Fordert man zusätzlich noch, dass

dim (U) < \infty,

so lässt sich das Rieszsche-Lemma auch mit

δ = 0

erfüllen.

Meine Beweis-Idee:

dim (U) < \infty \Rightarrow B_{\leq 1}

(Einheitsball) ist kompakt in

U

.

Außerdem:

d (\cdot, U)

ist stetig

\Rightarrow d (B_{\leq 1}, U) \subset ℝ

ist kompakt und somit beschränkt und abgeschlossen.

Somit wird das Infimum:

d (x, U) := i n f {| | x - u | | : u \in U}

für

| | x | | = 1

angenommen.

Also gibt es ein

\bar{u} \in U,

sodass für

x \in X

mit

| | x | | = 1

gilt

| | x - \bar{u} | | = d (x, U)

.

Dann sei

y = \frac{x - \bar{u}}{| | x - \bar{u} | |}

und es stellt sich heraus, dass

| | y - u | | \geq 1

.

Abgesehen davon, dass ich noch nicht gezeigt habe, dass

d (\cdot, U)

stetig ist (wo ich aber denke ich einen Satz für habe), habe ich noch ein paar andere Probleme. Und zwar ist

B_{\leq 1}

eine Teilmenge von

U . .

. Wenn ich jetzt

d (B_{\leq 1}, U)

betrachte, dann ist doch

d (B_{\leq 1}, U) = {0}

oder nicht...? Muss ich

B_{\leq 1}

mit einer Translation

T

noch so verschieben, dass

T B_{\leq 1}

keine Teilmenge von

U

ist?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen den Beweis zu vervollständigen! Danke und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

23:05 Uhr, 18.04.2021

Wir hatten das doch schon. :-O

"Somit wird das Infimum: d(x,U):=inf{||x−u||:u∈U} für ||x||=1 angenommen."

Wie kommst du zu diesem Schluss? Der fällt vom Himmel. Und meines Erachtens stimmt er nicht mal.

anonymous

23:27 Uhr, 18.04.2021

Oh man ich dachte ich bin so nah dran... Also jemand hat gesagt:

Nutzen, dass die Einheitskugel in

U

kompakt ist und damit zeigen, dass das Infimum für

| | x | | = 1

angenommen wird und alle haben ihm zugestimmt

: (

und bei Wikipedia steht:

d (\cdot, U)

ist stetig und somit ist das Bild der Einheitskugel kompakt und das beweist die Behauptung...

In dem Beweis aus dem Link von Ihnen sind mir zu viele Stellen aufgekommen, die ich nicht so wirklich verstanden habe, weshalb ich mich letztendlich doch dazu entschieden habe, so weiter zu versuchen...

: (

Ich dachte wenn das Bild der Einheitskugel unter der Funktion

d (\cdot, U)

kompakt ist und somit abgeschlossen und beschränkt, hat es ja ein Minimum. Ich sehe aber leider jetzt erst, warum das nichts zur Sache tut hier...

anonymous

23:32 Uhr, 18.04.2021

Im Wikipedia Beitrag wird zwar gefordert, dass

dim (X) < \infty,

aber es kam mir trotzdem plausibel vor...

DrBoogie aktiv_icon

08:50 Uhr, 19.04.2021

Der vollständige Beweis kann so aussehen:
sie

Y \subset X

Y

abgeschlossen und

\dim (Y) < \infty

.
Sei

x_{1}

beliebig aus

X \ Y

. Dann

a := d (x_{1}, Y) = inf_{y \in Y} ∥ x_{1} - y ∥ > 0

, weil sonst

x_{1} \in Y

wegen Abgeschlossenheit wäre.
Nach der Definition von Infinum gibt's eine Folge

y_{n}

aus

Y

mit

∥ x_{1} - y_{n} ∥ < a + 1 / n

. Wegen

∥ y_{n} ∥ \leq ∥ x_{1} ∥ + ∥ x_{1} - y_{n} ∥ \leq ∥ x_{1} ∥ + a + 1 / n

ist

y_{n}

beschränkt. Da

Y

endlichdimensional ist, folgt, dass es eine konvergente Teilfolge

y_{n_{k}}

existiert. Sei

y_{0}

ihr Grentwert. Es folgt

a = d (x_{1}, Y) \leq ∥ x_{1} - y_{0} ∥ \leq ∥ x_{1} - y_{n_{k}} ∥ + ∥ y_{n_{k}} - y_{0} ∥ \leq a + 1 / n_{k} + ∥ y_{n_{k}} - y_{0} ∥ \to a

, also

∥ x_{1} - y_{0} ∥ = a

Sei jetzt

x := \frac{x_{1} - y_{0}}{a}

. Dann haben

∥ x ∥ = 1

und außerdem für jedes

y

aus

Y

gilt

∥ x - y ∥ = ∥ \frac{x_{1} - y_{0}}{a} - y ∥ = \frac{∥ x_{1} - y_{0} - a y ∥}{a} \geq \frac{d (x_{1}, Y)}{a} = a / a = 1

. Damit

d (x, Y) = inf_{y \in Y} ∥ x - y ∥ \geq 1

. Aber da

inf_{y \in Y} ∥ x - y ∥ \leq ∥ x ∥ = 1

gilt, haben

d (x, Y) = 1

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1533813

1533805

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?