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Rotation um beliebige Achse

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Beliebige Achse, Linear Abbildung, Rotation

akaari aktiv_icon

12:56 Uhr, 29.06.2015

Hallo allerseits!

Mein Problem ist foglendes:
Zunächst hatte ich Flächen in Ebenen die ich um einen Punkt innerhalb der Flächen rotiert habe. Dazu habe ich die Formeln für die allgemeine Rotation verwendet und den Rotationspunkt eben zuerst in den Ursprung verschoben und dann wieder zurückverschoben.
Also so:

x^{ʹ} = (x - x_{p}) * \cos (α) - (y - y_{p}) * \sin (α)

y^{ʹ} = (x - x_{p}) * \sin (α) + (y - y_{p}) * \cos (α)

Das hat auch wunderbar funktioniert. Nun muss ich aber Punkte im Raum um eine beliebige Achse drehen, da dieselben Flächen von eben nun nicht mehr in einer Ebene liegen sondern jeweils gewölbt im Raum sind.
Zuerst dachte ich recht naiv ich könnte einfach die x und die y Koordinaten der Punkte in dieselbe Formel einsetzen und den Drehpunkt gleich lassen. Die Fläche dreht sich dann aber überhaupt nicht so wie ich es mir wünsche. Ich hänge mal zwei Bilder an die das verdeutlichen.

Meine Wunschrotation wäre aber entlang einer senkrechten Achse, nämlich so dass bsp. bei einer Rotation um 90° ein Bogen zu sehen wäre. Man also Seitlich auf diese Fläche kuckt.
Leider ,,fallen" meine Flächen mit meiner bisherigen Rotation einfach nur um. Das ist so natürlich nicht gewollt...

Ich habe mich umgesehen und habe dieses Dokument gefunden das mir eine sehr komplizierte Lösung anbietet, die ich ehrlich gesagt auch gar nicht verstehe.
[URL www-lehre.inf.uos.de~cg/2008/PDF/kap-13.pdf[/URL]

Gibt es da keine einfachere Möglichkeit? Die Punkte rotieren ja schon, ich will nur die Drehachse verändern, verzweifle aber schon seit gestern morgen an dem Problem...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

17:07 Uhr, 29.06.2015

Aloha :-)

Die Drehachse sei

\vec{n}

, sie sei normiert, also mit Länge

∣ \vec{n} ∣ = 1

. Um diese Achse soll ein Punkt

\vec{x}

um den Winkel

α

nach links gedreht werden. Das Ergebnis ist der Punkt

{\vec{x}}^{'}

.

Den Vektor

\vec{x}

kannst du in einen Anteil parralel und einen Anteil senkrecht zu

\vec{n}

zerlegen:

{\vec{x}}_{∥} = (\vec{n} \cdot \vec{x}) \cdot \vec{n}; {\vec{x}}_{⊥} = \vec{x} - {\vec{x}}_{∥}

Der parallele Anteil

{\vec{x}}_{∥}

bleibt bei der Drehung ungeändert. Der senkrechte Anteil

{\vec{x}}_{⊥}

verkürzt sich mit dem Faktor

\cos α

. Senkrecht zu

\vec{n}

und

{\vec{x}}_{⊥}

wächst dafür ein Anteil von

{\vec{x}}_{⊥}

mit dem Faktor

\sin α

heran.

{\vec{x}}^{'} = {\vec{x}}_{∥} + {\vec{x}}_{⊥} \cos α + (\vec{n} \times {\vec{x}}_{⊥}) \sin α

akaari aktiv_icon

17:48 Uhr, 29.06.2015

Hey Danke für die Antwort.
Ich werde mich jetzt daran machen das umzusetzen. Das sieht aber sehr umfangreich aus, ich habe riesige Tabellen in Excel und muss jetzt kucken wie ich das am besten umsetze.

Ich hatte gehofft dass es eine sehr simple Lösung gibt :-)

Grüße

akaari aktiv_icon

16:13 Uhr, 05.07.2015

Hey tausend Dank noch einmal. Die Erklärung war super präzise.
Hätte mir gewünscht dass ich es einfacher hinbekommen hätte, aber musste dann doch zig Formeln in Excel schreiben um diese Lösung zu implementieren. Hat aber super funktioniert, danke!

Grüße

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