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Rotationskörper von zwei Funktionen um die Y-Achse

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Rotationskörper

Tags: Rotationskörper, y-Achse

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17:14 Uhr, 09.04.2010

Hallo,

Wir wiederholen gerade für das Abtiur Rotationskörper.

Dazu habe ich folgende Aufgabe gefunden:

$f (x) = {(x - 5)}^{2} + 2;$

$g (x) = {- (x - 5)}^{2} + 4;$

Die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) schließen eine Fläche ein die um die Y-Achse rotiert wird. Wie groß ist das Volumen dieser Fläche?

Mein Lösungsansatz:

$h (x) = g (x) - f (x);$

$h (x) = {- 2 (x - 5)}^{2} + 2;$

Davon dann die Umkehrfunktion:

$u (x) = 5 + \sqrt{- 0, 5 x + 1;}$

Den unteren Teil habe ich durch optisch ergänzt:

$v (x) = 5 - \sqrt{- 0, 5 x + 1};$

Hier ist gleich die erste Frage: Wie finde ich diesen Teil rechnerisch?

Weiter habe ich das Integral dieser Fläche gebildet:

$π \cdot \int_{0}^{2} (u (x) - v (x)) ² d x = π \cdot \int_{0}^{2} - 2 x + 4 d x = 4 π;$

Ist dieses Ergebnis richtig?

Gibt es einen einfacheren Lösungsweg? (13.Klasse Mathematik LK bayerisches Gymnasium)

Vielen Dank schonmal im Voraus für eure Bemühungen! :)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ahmedhos aktiv_icon

17:35 Uhr, 09.04.2010

1. Bestimme die Schnittpunkte

x_{S_{1}}

und

x_{S_{2}}

V = π \cdot \int_{x_{S_{1}}}^{x_{S_{2}}} \frac{{(g (x) - f (x))}^{2}}{4} d x = \frac{16 π}{15}

Das wäre die Rotation des Körpers um seine Symmetrieachse, die zur x-Achse parallel ist.

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18:18 Uhr, 09.04.2010

Gesucht ist nicht die Rotation um seine Symetrieachse, sondern die Rotation um die Y-Achse.

ahmedhos aktiv_icon

18:33 Uhr, 09.04.2010

Falls doch, dann mach ich heute noch! :-)
Die Funktion

y_{1} = f (x) = {(x - 5)}^{2} + 2

("Orange") dreht sich um die y-Achse im intervall

y \in [3,4]

und durck die 360° Drehung hat man die Hälfte des gesuchten Volumens, denn wenn

y_{2} = g (x) = - {(x - 5)}^{2} + 4

("grün") sich um die y-Achse im Intevall

y \in [2,3]

dreht entsteht " aus Symmetriegründen" das identische Volumen.

Also das gesuchte Volumen ist:

V = 2 \cdot (π \cdot | \int_{2}^{3} x^{2} (y_{2}) {d y}_{2} |) = 2 \cdot (π \cdot | \int_{3}^{4} x^{2} (y_{1}) {d y}_{1} |) = π \cdot | \int_{3}^{4} x^{2} (y_{1}) {d y}_{1} | + π \cdot | \int_{2}^{3} x^{2} (y_{2}) {d y}_{2} |

Die Rechnerei schaut dann so aus:

x (y_{2}) = \pm (\sqrt{4 - y_{2}} + 5) \Rightarrow x^{2} (y_{2}) = - y_{2} + 10 \sqrt{4 - y_{2}} + 29

x (y_{1}) = \pm (\sqrt{y_{1} - 2} + 5) \Rightarrow x^{2} (y_{1}) = y_{1} + 10 \sqrt{y_{1} - 2} + 23

\Rightarrow

π \cdot | \int_{3}^{4} x^{2} (y_{1}) {d y}_{1} | = π \cdot | \int_{3}^{4} y_{1} + 10 \sqrt{y_{1} - 2} + 23 {d y}_{1} | = \frac{119 π}{6} + \frac{40 \sqrt{2} π}{3}

π \cdot | \int_{2}^{3} x^{2} (y_{2}) {d y}_{2} | = π \cdot | \int_{2}^{3} - y_{2} + 10 \sqrt{4 - y_{2}} + 29 {d y}_{2} | = \frac{119 π}{6} + \frac{40 \sqrt{2} π}{3}

schkaff aktiv_icon

19:34 Uhr, 09.04.2010

kurzer einwand: <<Wie groß ist das Volumen dieser Fläche?>> wüsste nicht wie das gehen sollte. du meinst wahrscheinlich das volumen des rotationskörpers oder?

zum rechnerischen teil:

y=-2(x-5)²+2

\frac{y - 2}{- 2} =

(x-5)²

\pm

wurzel

(- \frac{y}{2} + 1) = x - 5

nun

x

und

y

vertauschen liefert:

1. Gleichung:

5 +

wurzel

(- \frac{x}{2} + 1) = y

2. Gleichung:

5 -

wurzel

(- \frac{x}{2} + 1) = y

des drudels kern liegt in der lösung einer quadratischen gleichung

z . b

x²= 9 dann ist ja

x = \pm 3

das halt auf die aufgabe beziehen wie oben berechnet

hoffe das hilft,

zwischenfrage: kommt da nicht das selbe rotationsvolumen raus wie wenn du die funktion um die x-achse rotieren lässt?

gruß rainer

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