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Rotationsmatrix

Universität / Fachhochschule

Tags: Matrix, Rotation

Cultured aktiv_icon

15:09 Uhr, 05.11.2017

Hallo :-)

Im Anhang finden sich die Formeln für Rotationsmatrizen im 3D-Raum.
Hat jemand eine intuitive Erklärung dafür, wann wo Kosinus und wann wo Sinus steht? Beziehungsweise die negative Version davon?

Vielen Dank und viele Grüße
Cultured

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

DerDepp aktiv_icon

12:01 Uhr, 06.11.2017

Hossa :-)

Wenn du die Rotationsmatrix mit den Einheitsvektoren multiplizierst, wird das klar:

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & - \sin α \\ 0 & \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & - \sin α \\ 0 & \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ \cos α \\ \sin α \end{array})

(\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & - \sin α \\ 0 & \sin α & \cos α \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ - \sin α \\ \cos α \end{array})

Die

i

-te Spalte der Rotatitionsmatrix ist also der transformierte Einheitsvektor

{\vec{e}}_{i}

.

Für die Rotationsmatrix hier bleibt

{\vec{e}}_{1}

ungeändert, die Drehung passiert also um die

x

-Achse. Der Vektor

{\vec{e}}_{2}

wird um

α

nach links gedreht. (Bei kleinem

α

verkürzt sich seine y-Komponente (

1 \to \cos α

) etwas, und seine

z

-Komponente wächst (

0 \to \sin α

) etwas.) Der Vektor

{\vec{e}}_{3}

wid ebenfalls um den Winkel

α

nach links gedreht. (Bei kleinem

α

verkürzt sich seine

z

-Komponente (

1 \to \cos α

) etwas und seine

y

-Komponente wächst (

0 \to - \sin α

) etwas, aber in Richtung der negativen

y

-Achse. Stell dir vor, das folgende Koordinatensystem (die

x

-Achse zeigt auf dich zu, aus dem Bildschirm heraus) wird etwas nach links gedreht.

|z
|
|
|
|_________y

Dann wird dir klar, wie sich die Komponenten ändern und wie das Vorzeichen sein müssen. Bei den Rotationen um die anderen Achsen gilt das Gleiche.

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