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Rotationsmatrix aus dem Start- und Endvektor

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Vektorräume

Tags: Vektorraum

knappenboy aktiv_icon

14:37 Uhr, 02.06.2016

Guten Tag,

ich möchte einen Vektor

(x, y, z)

mit seinem Endvektor

(x', y', z')

berechnen, damit ich die Rotationsmatrix heraus bekomme. Ist dieses vorgehen überhaupt möglich?

zur besseren Erklärung:

v 1 = (1; 2; 7)

v 2 = v 1' = (4; 9; 3)

Rotationsmatrix

R (3 x 3) =

gesucht?

R \cdot v 1 = v 2

(3,3) \cdot (3,1) = (3,1)

normal würde ich einfach durch

v 1

teilen. Dies ist aber bei Vektoren anders, ich glaube mit der Inverse, also:

R = v 1^{- 1} \cdot v 2

. Ist das richtig?

Bitte um Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

15:53 Uhr, 02.06.2016

Hallo
was soll wohl das Inverse zu einem Vektor seIn?? du bist in einem VR nicht in einem Körper!
2. dine 2 Vektoren sind verschieden lang, also kannst du sie nicht durch eine Drehung aufeinander abbilden. Oder suchst du eine Drehstreckung?
wenn du die Vektoren gleich lang machst,

z . B

. Einheitsvektoren, dann ist die Drehung eine Spiegelung an der Winkelhalbierenden zwischen den beiden. die Winkelhalbierende findest du, indem du die gleichlangen

v 1 + v 2

addierst
also

w = \frac{v_{1}}{| v_{1} |} + \frac{v_{2}}{| v_{2} |}

dann ist

v' = - v + 2 \cdot < w, v > \cdot \frac{w}{| w |}

Gruß ledum

knappenboy aktiv_icon

11:41 Uhr, 03.06.2016

Mir geht es darum, dass ich nur nach der Rotationsmatrix

R

auflöse. Das die Vektoren gleich lang sein müssen, wusste ich bis jetzt nicht, vielen Dank für die Information.

Mit der von dir angegebenen Formel, kann ich nun nach

R

auflösen, oder wie darf ich das verstehen?

R \cdot v 1 = v 2

und nun löse ich nach

R

auf. Mit deiner Formel, komme ich da nicht weiter. Tut mir leid, da fehlt es mir an Wissen.

Ich möchte nur nach

R (3 x 3)

auflösen.

ledum aktiv_icon

13:06 Uhr, 03.06.2016

Hallo
ich hatte gesagt erst die Vektoren gleich lang machen, das ist mir mit deinen zu viel Schreibarbeit, also nehm ich
mal einfache

v_{1} = (1,1,0)

wird nach

v_{2} = (0,1,1)

gedreht. Wh

w = (1,2,1)

jetzt willst du den Vektor

(x, y, z)

genau so drehen wie

v_{1}

nach

v_{2}

dann hast du

(x, y, z)

geht nach

- (x, y, z) + 2 \cdot < (x, y, z) \cdot (1,2,1) > \frac{1,2,1}{6} = - (x, y, z) + 2 \frac{x + 2 y + z}{6} \cdot (1.2.1)

alles brav ausrechnen und daraus

R

ablesen
denn

R \cdot (x, y, z) = - (x, y, z) + 2 \cdot < (x, y, z) \cdot (1,2,1) > \frac{1,2,1}{6} = - (x, y, z) + 2 \frac{x + 2 y + z}{6} \cdot (1.2.1)

(alle Vektoren waagrecht statt senkrecht geschrieben)
aber warum brauchst du

R

ist es für ein Programm oder eine HA
Gruß ledum

knappenboy aktiv_icon

10:31 Uhr, 04.06.2016

Was ist denn in dem Fall der Vektor(x,y,z)?

ledum aktiv_icon

11:32 Uhr, 04.06.2016

Hallo
ein beliebiger Vektor, der mit

R

genau so gedreht wird wie

v 1

nach

v 2

. das suchst du doch.
Deine aufgabe war doch:

v 1

wird nach

v 2

gedreht, find die matrix, die einen beliebigen Vektor genau so dreht?
Gruß ledum

knappenboy aktiv_icon

11:41 Uhr, 04.06.2016

Ich möchte die Matrix finden und nicht ein beliebigen Vektor. Daher die Frage, ob es überhaupt geht

DerDepp aktiv_icon

14:59 Uhr, 04.06.2016

Hossa :-)

Der Vektor

{\vec{v}}_{1}^{'}

kann nicht durch eine Drehung aus dem Vektor

{\vec{v}}_{1}

hervor gegangen sein, weil die Längen der beiden Vektoren unterschiedlich sind. Daher wird für diesen Fall keine Drehmatrix exisitieren.

Allgemein hat eine Drehmatrix 3 Freiheitsgerade (Drehung

α

um die x-Achse, Drehung

β

um die y-Achse und Drehung

γ

um die z-Achse). Kann also z.B. so zusammengesetzt werden:

D = (\begin{array}{c} \cos γ & - \sin γ & 0 \\ \sin γ & \cos γ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} \cos β & 0 & - \sin β \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin β & 0 & \cos β \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos α & - \sin α \\ 0 & \sin α & \cos α \end{array})

Mit Start- und Endvektor bekommst du 3 Gleichungen:

{\vec{v}}_{1}^{'} = D \cdot {\vec{v}}_{1}

Damit lassen sich

α

β

und

γ

zumindest theoretisch bestimmen. Das ist in der Praxis aber oft viel Fummelei, weswegen man das meistens numerisch löst.

knappenboy aktiv_icon

09:51 Uhr, 05.06.2016

Die Vektoren habe ich mir nur ausgedacht. Waren anscheinend falsch gewählt.Wie würde ich denn die 3 Winkel heraus bekommen?

ledum aktiv_icon

20:36 Uhr, 06.06.2016

Hallo
was ich dir beschrieben habe ist genau der Weg, auf die Matrix zu kommen!
in der Praxis löst man das nicht numerisch wie DerD schreibt, sondern wie ich es gesagt habe. Brauchst du das als Aufgabe oder für praktische Zwecke

(z, B,

zum Programmieren?
wen du die Matrix suchst willst du doch dass die jeden beliebigen Vektor so dreht wie

v 1

nach

v 2

gedreht wird.

v 2

willst du ja nicht mehr bestimemn, den hast du ja schon.
Gruß ledum

knappenboy aktiv_icon

23:54 Uhr, 06.06.2016

Hallo,

genau. Ich benötige die Matrix zum programmieren. Start- und Endvektor sind beliebig und bekannt. Ich möchte die Rotation des Unterarms bestimmen. Habe dazu einige Quellen gefunden, nur sind diese statisch und nicht dynamisch.
Ich werde mittels Kinect

2.0

versuchen die Unterarm-Rotation(Pronation,Supination) zu bestimmen. Ich hatte mit dir (Ihnen, falls das du nicht erlaubt ist.) bereits in einem anderen Thread geschrieben. Habe mich jetzt durch das englisch sprachigen Raum geschlagen und fand bei der internationale Gesellschaft für Biomechanik (ISB) den Standard der Berechnung (statisch).

books.google.de/books?id=uBtpCgAAQBAJ&pg=PA63&lpg=PA63&dq=Berechnung+der+Rotation+des+Unterarm&source=bl&ots=VaziC81HaC&sig=B0FIcPTMdDNbHxv5KT8l7pLkGeQ&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjOlZeGr-PMAhWBCSwKHdM5AZYQ6AEIKTAC#v=onepage&q=Berechnung%20der%20Rotation%20des%20Unterarm&f=false

Wollte nun diesen ummünzen und ausprobieren, ob es dynamisch klappt. Nur bin ich der Vektor/Matrix-Rechnung nicht mächtig.

Ich dachte, dass ich durch umstellen der obigen Formel, auf die Rotationsmatrix komme und diese einzelnen Elemente der Matrix nutze, um die Winkel zu bestimmen.

Ich kann leider mit deiner Formel nichts anfangen, weil ich durch eintippen nicht auf eine Matrix komme.

pwmeyer aktiv_icon

08:22 Uhr, 07.06.2016

Hallo,

hat eigentlich schon jemand geklärt, ob es nur eine Drehmatrix mit dieser Eigenschaft gibt??

Gruß pwm

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