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Roulettespiel Stochastikaufgabe

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Bernoulli, Binomialverteilung, Stochastik

naibaf77 aktiv_icon

17:36 Uhr, 10.03.2010

Bei folgender Aufgabe, komme ich nicht so wirklich voran:

Schätzung der Anzahl der Stufen
Beim Roulettespiel bleibt die Kugel auf einem der

37

Felder (mit den Nummern

0, 1, 2, ..., 36)

stehen.

a)

"war einfach, konnte ich soweit"

b)

Nach

n

Runden stellt man fest, dass die Kugel auf

10

der

37

Felder noch nicht liegen gelbieben ist. Schätzen Sie, wie oft das Spiel durchgeführt wurde.

Mein erster Ansatz wäre eine Zufallsgröße, die mir angibt wie groß die Wahrscheinlichkeit ist das bei

n

Versuchen, die Kugel ein bestimmtes Feld nicht trifft.
Das wäre in etwa so:

X :

Anzahl Kugeln auf einem bestimmten Feld

x

ist binomialverteilt mit

n = y

und

P = (\frac{1}{37})

P (x = 0) ... =

Aber hier hakt es schon, da ich nicht weiß wie lang die Bernoullikette ist und ich so nicht meine 2. Binomialverteilung aufstellen kann, wie mir angibt, wie viele der

37

Felder mit welcher Wahrscheinlichkeit leer bleiben (zwar unter geringer Abweichung, weil es streng genommen die Bernoulli-Bedingungen nicht erfüllt, aber durften wir im Unterricht trotzdem anwenden, da die Abweichung verschwindend gering waren)

Doch ohne das

n,

komme ich ab der ersten

B

nicht weiter. Ich brauche eure Hilfe :-D)

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente
Bernoulli-Kette

vulpi aktiv_icon

18:09 Uhr, 10.03.2010

Hi, bei

b)

kann man auf alle Fälle schon mal nach unten abschätzten.

n \geq 27

Denn in

27

Runden können auch nur maximal

27

verschiedene Zahlen getroffen werden.
Also sind nach

27

Runden (mindestens)

10

offene Zahlen

100 %

sicher gegeben.
Das macht den Ansatz mit der Verfehlwahrscheinlichkeit von

\frac{27}{37}

auch schwierig,
es wird ja nicht vorher festgelegt, WELCHE

10

Zahlen unberührt bleiben.
also ist die W.keit bei

n = 27

eben nicht

{(\frac{27}{37})}^{27},

sondern aus

o

g

. Gründen

= 1,

dass man

10

unberührte Zahlen findet.

Wie man jetzt noch weiter schätzen sollte, bliebe zu überlegen, aber

n = 27 + x

ist doch schon mal irgendwas, oder?

mfg

naibaf77 aktiv_icon

21:26 Uhr, 10.03.2010

Ja stimmt, dass ist schonmal eine Idee ;-) Hab ich gar nicht drüber nachgedacht hmm aber jetzt wird das ganze schon etwas komplizierter

\frac{:}{}

Habe auch schon überlegt ob man was mit dem Erwartungswert oder Sigmaradien machen kann

\frac{:}{}

aber ich bräuchte erstmal eine gescheite binomialverteilung oder einen rechenansatz

. .

.

mfg

naibaf77 aktiv_icon

22:14 Uhr, 10.03.2010

Habe mir folgendes überlegt, was aber leider irgendwie nicht stimmen kann. Aber vielleicht hilft es euch ja auf die Sprünge.

Erwartungswert für leere Felder (Werte weichen von der Realität ab, da ich die winzige Veränderung der Wahrscheinlichkeit im Verlauf der Kugelwürfe nicht berücksichtige) in Bezug auf

n :

Die Wahrscheinlichkeit, dass auf einem bestimmten Feld bei

n

Versuchen nie eine Kugel landet ist ja bei

{(\frac{36}{37})}^{n}

Wenn man dies jetzt mit

n

multipliziert erhält man den Erwartungswert, also die Menge an leeren Feldern, die man im Durchschnitt erwartet.

Für

n = 27

klingt das noch logisch:

{(\frac{36}{37})}^{n} \cdot n = 12,8844

Wenn ich mir daraus jetzt eine Funktion mache:

f (x) = x \cdot {(\frac{36}{37})}^{x}, x \geq 27

Fangen die Werte aber an zu steigen, normal müsste der zu erwartende Wert an leeren Feldern mit steigendem

x

27

sinken.

Worin besteht mein Denkfehler?

MfG

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