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Rücksubstitution von komplexer Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

DeanGZB aktiv_icon

18:22 Uhr, 23.10.2019

Hallo, ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung:

3⋅z^6+(−6⋅i−6)⋅z^3+24⋅i+24=0

also habe ich

z^{3}

mit

w

abgekürzt und ausgerechnet, dort kam dann

w 1 = 2 - 2 \cdot i

und

w 2 = 4 i

raus.

Nun lautet die zweite Aufgabe aber:

Durch Rücksubstitution bekommt man die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung:
(Geben Sie alle Nullstellen explizit an, benutzen Sie die Exponentialdarstellung der Polarform)

Habe da Probleme einen Lösungsweg zu finden.

rundblick aktiv_icon

18:37 Uhr, 23.10.2019

.
vorweg:
sieht die zu lösende Gleichung so aus

\to 3 z^{6} - 6 (1 + i) \cdot z^{3} + 24 (1 + i) = 0

und mit

\to w = z^{3} \Rightarrow w^{2} - 2 (1 + i) \cdot w + 8 (1 + i) = 0 .

.

?
.

DeanGZB aktiv_icon

18:52 Uhr, 23.10.2019

w 1

und

w 2

habe ich ja schon mit der pq - Formel ausgerechnet, meine Frage bezieht sich eher auf die Rcksubstitution und als polarform darstellen

rundblick aktiv_icon

19:13 Uhr, 23.10.2019

3 z^{6} - 6 (1 + i) \cdot z^{3} + 24 (1 + i) = 0

......................................und mit

\to w = z^{3} \Rightarrow

w^{2} - 2 (1 + i) \cdot w + 8 (1 + i) = 0 ... ... ... \Rightarrow .

w_{1} = 4 i

..und..

w_{2} = 2 (1 - i)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

nun : Durch Rücksubstitution bekommst du diese beiden Glichungen, die dann eben zu lösen sind:

\to 1 .) z^{3} = 4 i

\to 2 .) z^{3} = 2 (1 - i)

jede dieser Gleichungen wird je drei Lösungen haben
(so bekommst du dann die 6 Lösungen deiner ursprünglichen Gleichung 6.-ten Grades)

um die Lösungen zu berechnen solltest du jeweils die rechte Seite in Polarform darstellen

Beispiel :
Gleichung

1 .) z^{3} = 4 i \Rightarrow

z^{3} = 4 \cdot e^{(\frac{π}{2} + 2 k \cdot π) \cdot i} . .

. mit

k \in ℤ

und schon hast du die ersten drei Lösungen

\to

z_{k} = \sqrt[3]{4} \cdot e^{(\frac{π}{6} + \frac{2 k}{3} \cdot π) \cdot i} . .

. für

k = 0, 1, 2

also:

z_{0} = \sqrt[3]{4} \cdot e^{\frac{π}{6} \cdot i} = \sqrt[3]{4} \cdot (cos

30°

+ i \cdot sin

30°

) = . .

z_{1} = \sqrt[3]{4} \cdot e^{\frac{5 π}{6} \cdot i} = \sqrt[3]{4} \cdot (cos

150°

+ i \cdot sin

150°

) = . .

z_{2} = \sqrt[3]{4} \cdot e^{\frac{3 π}{2} \cdot i} = \sqrt[3]{4} \cdot (cos

270°

+ i \cdot sin

270°

) = . .

.

mach nun die Überlegung für die drei Lösungen von Gleichung

2 .)

entsprechend selbst..

ok?

DeanGZB aktiv_icon

13:52 Uhr, 24.10.2019

das hilft mir schonmal weiter, aber muss bei der Gleichung

z^{3} =

4*e^(π/2+2k*π)*i... mit k∈ℤ das bei dem

e

nochmal durch n?

ledum aktiv_icon

15:56 Uhr, 24.10.2019

Ziemlich wirre Frage!
aus der 4 musst du die dritte Wurzel ziehen, den Exponenten für

k = 0,1,2

jeweils durch 3 teilen.
Gruß ledum

rundblick aktiv_icon

16:02 Uhr, 24.10.2019

.
"z^3= 4*e^(π/2+2k*π)*i... mit k∈ℤ das bei dem

e

nochmal durch n?"

nein, das was rechts steht ist die Polarform von

4 i . .

. also von der rechten Seite von

z^{3} = 4 i

durch

n .

. also in deinem Beispiel durch

3 .

. werden dann die Hochzahlen gerechnet,
wenn du

z = .

. haben willst..

ABER DAS IST DOCH OBEN AUSFÜHRLICH DURCHGEFÜHRT .. incl. der dann erhaltenen drei Lösungen für

z

du solltest halt schon sorgfältiger lesen

. .

. und insbesondere auch MITDENKEN

und:
wie sehen nun deine restlichen drei Lösungen aus, die du aus

2) z^{3} = 2 \cdot (1 - i)

bekommst?

a)

wie sieht die Polarformdarstellung von

2 \cdot (1 - i)

aus ?

\to .

b) \Rightarrow

\to z_{2_{0}} = ...

\to z_{2_{1}} = ...

\to z_{2_{2}} = ...

.

und noch etwas:
es ist nicht gerade erfreulich, wenn du sofort nach deiner Fragestellung wieder verschwindest;
so geht es ewig, bis die Angelegenheit vernünftig beendet werden kann..
aber vielleicht bist du ja an weiterer Hilfe ja gar nicht mehr interessiert? Dann würde es sich
gehören, dies mitzuteilen.
.

DeanGZB aktiv_icon

22:32 Uhr, 24.10.2019

@rundblick es tut mir sehr leid, dass ich nicht so aktiv bin, befinde mich gerade am Anfang meines Elektrotechnik Studiums und muss nebenbei noch Elektrotechnik, Experimentalphysik und Informatik machen und da ich für die Matheaufgabe eine Woche Zeit habe, lerne ich gerade quer ducheinander.

DeanGZB aktiv_icon

22:42 Uhr, 24.10.2019

Hab jetzt mal so eine ähnliche Aufgabe und genauso gerechnet wie vorgesehen, sehe leider meinen Fehler nicht, also

w 1

und

w 2

habe ich richtig ausgerechnet, aber der zweite Teil ist leider falsch. Findet jemand den Fehler?

2. Wurzel von 2 ist ja genauso wie einfach

\sqrt{2},

richtig?

rundblick aktiv_icon

12:27 Uhr, 25.10.2019

.
"2. Wurzel von 2 ist ja genauso wie einfach

\sqrt{2},

richtig?"

\to

NEIN , abgesehen davon, dass dieser Satz ja irgndwie genial (aber wohl nicht so gemeint) ist :-)
also: es ist nicht einfach so .. denn der

B e t r a g

von

2 \cdot (1 - i)

ist NICHT 2 (und nicht

\sqrt{2})

sondern es ist :

\to | 2 \cdot (1 - i) | = 2 \cdot | (1 - i) | = 2 \cdot \sqrt{2} .

. also

= 2^{\frac{3}{2}}

also

\to z^{3} = 2 \cdot (1 - i)

\Rightarrow z^{3} = 2^{\frac{3}{2}} \cdot e^{(\frac{7 π}{4} + 2 k π) \cdot i}

mach nun selbst weiter ..

- - - - - - - - - - - - - - -

kurz noch zu deinem neuen , "ähnlichen" Angebot:

w_{1} = i . .

. und

w_{2} = 1 - i .

. ist richtig

aber dann kommt die Katastrophe : der Betrag von

i

ist doch nicht

\sqrt{i} .

.

zeichne dir doch die Punkte

i = (0; 1)

und nachher noch

1 - i = (1; - 1)

in der GaussEbene ein
dann kannst du den jeweiligen Betrag als Abstand der Punkte vom Ursprung

(0; 0)

direkt sehen
und hoffentlich auch richtig berechnen ..
ok?

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