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"Rückwärts-Substitution"

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

campinp aktiv_icon

18:54 Uhr, 08.06.2015

Guten Tag,

kann mir jemand in Worten oder anhand eines Beispieles erklären, wie man ein Integral durch "Rückwärtssubstituieren" löst?

Wie es durch Substitution funktioniert ist mir klar, aber rückwärts??

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

19:06 Uhr, 08.06.2015

Hallo,

ich glaube, dass ist ein nicht allgemein verbreiteter Begriff im Zusammenhang mit der Integration. Vielleicht kannst Du etwas genauer fragen oder erklären, wo Du diesem Wort begegnet bist.

Vielleicht handelt es sich nur darum, dass die Substitutionsregel ja ein Gleichung beinhaltet und manche Leute eine Richtung der Verwendung als "Vorwärts" deklarieren

Gruß pwm

campinp aktiv_icon

19:20 Uhr, 08.06.2015

Also ich habe hier eine Beispielaufgabe:

Man soll das Integral lösen.

Integral (von a bis

b)

über

\frac{e^{3} x}{e^{2 x} - 1}

.

Zunächst soll es durch "Rückwärtssubstitution" vereinfacht werden.
Daraufhin soll man die rationale Funktion durch Polynomdivision/Partialbruchzerlegung lösen.

Edit: Der Prof. hat "geraten", dass

x = log

(t)ist //t=ursprüngliche variable?

Bondeus aktiv_icon

20:46 Uhr, 09.06.2015

\int_{a}^{b} \frac{e^{3 x}}{e^{2 x} - 1} d x = \int_{ln (e^{a})}^{ln (e^{b})} \frac{e^{3 t}}{e^{2 t} - 1} d t

mit t=lnx

= \int_{e^{a}}^{e^{b}} \frac{x^{3}}{x^{2} - 1} \cdot (\frac{1}{x}) d x

So?

campinp aktiv_icon

21:31 Uhr, 09.06.2015

Die Lösung vor der Polynomdivision lautet

Integral von

e^{a}

bis

e^{b}

über

(\frac{t^{2}}{t^{2} - 1})

Bondeus aktiv_icon

21:37 Uhr, 09.06.2015

Was für eine Polynomdivision ?
Was ich hingeschrieben habe ist glaube ich die Rückwärtssubstitution. ;-)

Roman-22

22:06 Uhr, 09.06.2015

Also auch mir sagt der Begriff "Rückwärtssubstitution" im Zusammenhang mit Integralen nichts, aber die Aufgabe ist ja relativ leicht durch "normale" Substitution zu erschlagen:

\int_{a}^{b} \frac{e^{3 x}}{e^{2 x} - 1} d x = (⋆)

────────────────────────────────────
Substitution:

e^{x} = t \Rightarrow e^{x} \cdot d x = d t \to d x = \frac{d t}{e^{x}} = \frac{d t}{t}

────────────────────────────────────

(⋆) = \int_{e^{a}}^{e^{b}} \frac{t^{3}}{t^{2} - 1} \frac{d t}{t} = \int_{e^{a}}^{e^{b}} \frac{t^{2}}{t^{2} - 1} d t = \int_{e^{a}}^{e^{b}} (1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t - 1}) d t = {[t - \frac{1}{2} ln | t + 1 | + \frac{1}{2} ln | t - 1 |]}_{e^{a}}^{e^{b}} = \dots

\dots = e^{b} - e^{a} + ln \sqrt{| \frac{(e^{a} + 1) (e^{b} - 1)}{(e^{a} - 1) (e^{b} + 1)} |}

Das bestimmte Integral ist nur für

a > 0

und

b > 0

definiert.

Vielleicht wird eine Substitution, bei der man nicht x=<Term_von_t>, sondern, so wie hier, t=<Term_von_x> substituiert, von manchen "Rückwärtssubstitution" getauft?

Bondeus aktiv_icon

22:31 Uhr, 09.06.2015

\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (t) d t

ist glaube ich die Substitutionregel. Von links nach rechts die Substitution und von rechts nach links die Rückwärtssubstitution vermute ich.

Roman-22

10:06 Uhr, 10.06.2015

Ein Link, wo der Begriff "Rückwärtssubstitution" im Zusammenhang mit Integreation definiert wird, wäre hilfreich. Aber vielleicht zeigt der Fragesteller wieder einmal Interesse und klärt den Begriff.

Der Fall, bei dem im Integranden eine verkettete Funktion steht und zufälligerweise auch die Ableitung der inneren Funktion als Faktor auftritt, liegt hier ja nicht direkt vor.
Und für diesen Spezialfall benötigte man ja idR keine Substitution, da man ja wohl vom Differenzieren her weiß, was rauskommt:

\int_{a}^{b} f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = F (g (x)) |_{a}^{b} = F (g (b)) - F (g (a)),

wobei

F (x)

eine Stammfunktion von

f (x)

bezeichnen soll.

campinp aktiv_icon

10:46 Uhr, 17.06.2015

Also der Professor nannte es "rückwärtssubstitution". auf wikipedia gibt es ein weiteres bsp., das uns auch in der vorlesung gezeigt wurde.
Dort wird es nur "substitution" genannt.

3.3

de.wikipedia.wiki/Integration_durch_Substitution#Logarithmische_Integration

statt den ausdruch unter der wurzel zu substitutieren, setzt der rechner für

x

den sinus(t) ein, damit er nachher den trigonometrischen phythagoras anwenden kann. zudem sagt er, dass die momentanen grenzen eine funktion des sinus(t) sein müssen, somit kommt man an die "alten" grenzen , indem man nach

t

umformt . also arcsin(momentane grenze).

Roman-22

15:41 Uhr, 17.06.2015

Mit anderen Worten - euer Prof nennt gewisse Arten von Substitutionen "Rückwärtssubstitutionen". Der Begriff scheint in der Fachliteratur nicht aufzuscheinen und ebenso ist unklar, wie genau euer Prof diese Substitutionen von anderen "gewöhnlichen" abgrenzt.

In jedem Fall scheint aber geklärt, dass "Rückwärtssubstitution" keine neue Integrationsmethode ist, sondern eine ganz gewöhnliche Substitution und damit sollte deine Frage auch geklärt sein, da du ja schreibst " Wie es durch Substitution funktioniert ist mir klar, aber rückwärts?? "

R

campinp aktiv_icon

22:03 Uhr, 17.06.2015

de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution#Beispiel_2

bsp.3.3

Naja, Integration durch Substitution folgt,soweit ich weiß, der Regel:

\int_{a}^{b} f (g (x)) \cdot g' (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (t) d t

Wenn ich diese Regel jetzt auf das oben genannte Bsp. anwende, dann mache ich es falsch.

Hier ist es anscheinend so, als würde ich mein

x

"raten", um rückschlüsse ("Rücksubstitution"??!!) auf meine grenzen zu bekommen und somit das Integral zu vereinfachen.

Wann macht man das so und woher weiß man ,was zu raten ist?
Es scheint wohl nicht nach Schema-F zu laufen. Sprich: Der Formel.

Roman-22

22:19 Uhr, 17.06.2015

>

Wenn ich diese Regel jetzt auf das oben genannte Bsp. anwende, dann mache ich es falsch.

Meinst du deinen Versuch vom

9.6

20 : 46

?
Der Integrand dort hat doch nicht direkt den Typ

f (g (x)) \cdot g' (x),

warum sollte sich die Regel dann direkt anwenden lassen, wenn deren Voraussetzungen nicht erfüllt sind?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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