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Runge-Kutta-Verfahren-4-Ordnung

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Ordnung, Runge-Kutta

Chica-Rabiosa aktiv_icon

09:11 Uhr, 28.05.2017

Guten Morgen Onlinemathe-User,

ich bräuchte Eure Hilfe, weil ich an einer Stelle nicht weiterkomme. Ich habe die Aufgabe im Anhang beigefügt.

Also Aufgabenteil habe ich gelöst:

y = y_{1}

y' = y_{2}

y'' = y_{3}

y''' = y_{3}'

Somit ergibt sich die Gleichung

y''' + 10 y' - 5 y = f (t) \Leftrightarrow y''' = f (t) + 5 y - 10 y'

mit der Überführung in ein AWP erster Ordnung bekomme ich dann

y_{3}' = f (t) + 5 y_{1} - 10 y_{2}

Soweit sollte es stimmen? Ich habe jetzt die Definition des Runge-Kutta-Verfahrens 4. Ordnung im Anhang nochmal hochgeladen, weil es doch ein wenig anders von der Wikipedia-Version in der Schrittweite

h

unterscheidet.

Jetzt fängt mein Problem an. Ich bekomme die Lösung durch die DGL:

w_{i + 1} = w_{i} + \frac{1}{6} [k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}]

Für

i = 0 \Rightarrow w_{1} = w_{0} + \frac{1}{6} [k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}]

soweit klar.

Jetzt muss ich aber erst die Koeffizienten

k_{1}

bis

k_{4}

berechnen.

Für

k_{1}

wäre es

k_{1} = 0.5 \cdot f (t_{0}, w_{0})

Jetzt blicke ich nicht anhand der Anfangsbedingungen durch wie ich das

f (t_{0}, w_{0})

ausrechnen soll. Der weitere Vorgehen ist eigentlich klar, aber an der Stelle blicke ich nicht durch.

Vielen Dank im Voraus!

Chica-Rabiosa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

12:03 Uhr, 28.05.2017

Hallo
anscheinend ist dir nicht klar dass du es mit einem System zu tun hast,

y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix})

Und dann

(\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix})' = A \cdot (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) + B; A

Matrix
schon dass du

y_{2} = y'

hinschreibst statt

y_{2} = y_{1}'

usw ist schlecht.
dein

f (t, y)

ist eine Matrix*y
also schreib das erst mal richtig auf.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:14 Uhr, 28.05.2017

Hallo ledum,

danke erstmal für dein Feedback. So haben wir es im Tutorium gemacht und es wurde als richtig angenommen.

Das mit der Matrixschreibweise ist mir jetzt nicht geläufig muss ich ehrlich zugeben. Vor allem was du mit den Koeffizienten A und

B

meinst?

Also ich habe ein System

y = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix})

soweit komme ich mit.

Dann wenn man es einmal differenziert bekommt man:

y' = (\begin{matrix} y_{1}' \\ y_{2}' \\ y_{3}' \end{matrix})

?

Aber das

A \cdot (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{matrix}) + B

verstehe ich jetzt nicht. Jedoch ist mir jetzt nicht ersichtlich wie ich das auf die Gleichung

y''' + 10 y' - 5 y = f (t)

anwenden soll?

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

15:57 Uhr, 28.05.2017

Hallo
du hast einen Vektor

\vec{y}

als DG Ldamit ist auch

f (t, y)

ein Vektor, denn man als Matrix*y ausdrücken kann. das müsstet ihr gehabt haben. sonst sieh mal im Netz nach System von Differentialgleichungen,

z . B

. hier www.math.psu.edu/tseng/class/Math251/Notes-LinearSystems.pdf
das alles hinzuschreiben ist mir bei der Hitze zu mühsam
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

07:35 Uhr, 29.05.2017

Guten Morgen,

nein wir hatten es wirklich nicht, da wir es in der Variante immer machen wie ich sie zu Anfang gepostet habe und ich weiß nicht ob sie schlecht und falsch oder richtig aber schlecht ist?

Mir ist klar, dass man Systeme höherer Ordnung in Systeme 1. Ordnung umwandeln kann. Eigentlich war es mir auch klar wie, aber mit in dem Link erkenne ich irgendwie nicht die Äquivalenz der Umformungen. (Seite

D - 1 - 5)

Ich habe mir jetzt paar Videos angeschaut und bin mit der Matrixschreibweise zu folgendem Ergebnis für meine DGL:

y''' + 10 y' - 5 y = f (t)

(\begin{matrix} y \\ y' \\ y'' \end{matrix})' = (\begin{matrix} y' \\ y'' \\ - 10 y' + 5 y - f (t) \end{matrix})

Da das ja als unschön gilt habe ich jetzt umbenannt:

(\begin{matrix} y_{0} \\ y_{1}' \\ y_{2}'' \end{matrix})' = (\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ - 10 y_{1} + 5 y_{0} - f (t) \end{matrix})

Hier sehe ich jetzt explizit was und wie ersetzt wurde und implizit verwirrt es mich oftmals. So und jetzt fängt meine Problematik an mit der Auswertung der Formel. Wie werte ich jetzt die Koeffizienten

k_{1}

bis

k_{4}

aus?

Also konkret weiß ich jetzt nicht wie ich das

f (t_{0}, w_{0})

für

i = 0

auswerten soll. Anhand welcher Funktion?

Danke ledum,

Grüße

Chica-Rabiosa

pwmeyer aktiv_icon

09:27 Uhr, 29.05.2017

Hallo,

Deine Aufgabenstellung hat eine Funktion

f

und die Runge-Kutta-Formeln haben ein

f,

dei müssen unterschieden werden. Bezeichnen wir die Funktion in der Runge-Kutta-Formel mit

F,

dann ist - unter Verwendung Deines letzten posts:

F (t, w) = F (t, (\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})) = (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ - 10 \cdot w_{1} + 5 \cdot w_{0} - f (t) \end{matrix})

Gruß pwm

Chica-Rabiosa aktiv_icon

16:13 Uhr, 29.05.2017

Hallo,

okay damit kann man dann die zwei Funktionen unterscheiden. Danke für den Hinweis. Es fehlt jedoch ein

\frac{d}{d t}

den äquivalent sind ja die letzten zwei Gleichheitszeichen dann nicht. Bzw. man müsste irgendwie kenntlich machen wieso es gilt.

Zu meiner anderen Frage, weiß ich jetzt seit Tagen nicht wie ich das

F (t_{0}, w_{0})

auswerten soll für das

k = 1

bei

i = 0

.

Welches

t_{0}

und

w_{0}

nehmen wir jetzt unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen an?

F (t_{0}, w_{0}) = F (t_{0}, (\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix}))' = F (t_{0}, (\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})) \frac{d}{d t} = (\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \\ - 10 w_{1} + 5 w_{0} - f (t) \end{matrix}) =

?

Wie

f (t)

definiert ist, steht ja, aber ich komme einfach nicht dahinter wie ich jetzt die Auswertung durchführen soll?

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

18:09 Uhr, 29.05.2017

Hallo
nein

F

wird nicht abgeleitet
es ist

(\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})' = F (t, ((w_{0}), (w_{1}),

(w_2))und

w_{0} (0) = y (0), w_{1} (0) = y' (0); w_{2} (0) = y'' (0)

in deiner Formel steht

w

für

\vec{w} = (\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})

Gruss ledum

ledum aktiv_icon

18:09 Uhr, 29.05.2017

Hallo
sorry, doppelt.

Chica-Rabiosa aktiv_icon

19:31 Uhr, 29.05.2017

Hallo,

immer wenn ich denke ich bin ein Schritt weiter, verliere ich immer mehr den Faden und es ist falscher als vorher.

(\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})' = F (t, (\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix}))

Z . B

. verstehe ich diesen Zusammenhang nicht. Der Vektor links differenziert ergibt doch nicht

F (t, (\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix}))

?

Da wir doch genau annehmen, dass

w_{0}' = w_{1}

w_{1}' = w_{2}

. .

.

Wir substituieren es doch genau so, dann kann doch rechts nicht das gleiche stehen?

Ich habe mich nämlich an dem Video: www.youtube.com/watch?v=taaLPDN9-kE&t=313s orientiert.

Ab Minute 5 sieht man es dann. Das hatte ich in meinem Post um

07 : 35

Uhr, vom

29.05.2017

angewendet. Ich fand es ziemlich anschaulich, weil ich da genau gesehen und verstanden habe wie das System höherer Ordnung in ein System erster Ordnung übergeht.

Und nun stehe ich da, dass ich einmal eine Lösung aus dem Tutorium habe bei der ich nicht weiß ob sie stimmt? Die Variante aus dem Video und jetzt Eure Variante und irgendwie bin ich jetzt total durcheinander.

Ich habe es jetzt in der Variante ausgewertet:

F (t_{0}, (\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 + 5 + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

Dann wäre mein

k_{1} = h \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

?

Sorry für meine vielleicht blöden Fragen, manchmal denke ich mir nur ich je mehr ich es verstehen möchte, desto mehr geht dann schief.

Danke Euch.

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

00:37 Uhr, 30.05.2017

Hallo
ja,

k : 1

ist so richtig .
in deinem Beitrag von

7.35

hattest du das ja auch schon nur hast du da statt

(w_{0}, w_{1}, w_{2})

ungeschickt

(y, y', y'')

verwendet. (ungeschickt weil es ja um ein Dgl. System erster Ordnung geht und der Strich für Ableitung steht.)
irgendwie hast du noch nicht ganz verstanden, dass man aus einer Dgl dritter Ordnung für eine Funktion

y (t)

eine Diel-System für den Vektor, oder anders gesagt die 3 Funktionen

w_{1} (t), w_{2} (t), w_{3} (t)

gemacht hat.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

00:42 Uhr, 30.05.2017

Hallo
ja,

k_{1}

ist so richtig .
in deinem Beitrag von

7.35

hattest du das ja auch schon nur hast du da statt

(w_{0}, w_{1}, w_{2})

ungeschickt

(y, y', y'')

y (t)

eine Diel-System für den Vektor, oder anders gesagt die 3 Funktionen

w_{1} (t), w_{2} (t), w_{3} (t)

gemacht hat.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

00:43 Uhr, 30.05.2017

Hallo
ja,

k_{1}

ist so richtig .
in deinem Beitrag von

7.35

hattest du das ja auch schon nur hast du da statt

(w_{0}, w_{1}, w_{2})

ungeschickt

(y, y', y'')

y (t)

eine Diel-System für den Vektor, oder anders gesagt die 3 Funktionen

w_{1} (t), w_{2} (t), w_{3} (t)

gemacht hat.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

10:03 Uhr, 30.05.2017

Guten Morgen,

zum einen ist es neu für mich, aber das soll jetzt keine Rechtfertigung sein. Ich tue mich halt allgemein schwerer als die/der Durchschnittliche und bei einer Vielzahl von Notationen erkenne ich dann nicht die Gleichheit.

Na gut wenn mein

k_{1}

stimmt, dann ist es schon mal positiv.

Mein

k_{2} = \frac{1}{2} \cdot f (t_{0} + \frac{h}{2}, w_{0} + \frac{k_{1}}{2})

Da muss ich doch

k_{2} = \frac{1}{2} \cdot f (t_{0} + \frac{1}{4}, w_{0} + (\begin{matrix} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1,5 \end{matrix}))

Jetzt muss ich erstmal nachdenken, bevor ich was falsches schreibe.

Wie sieht denn am Ende die Lösung aus wenn ich die ganzen Koeffizienten bestimme, das unterscheidet sich schon immens von der Lösung aus dem Tutorium.

Danke und Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

11:32 Uhr, 30.05.2017

Hallo
was hast du denn für ne Lösung aus dem Tutorium? ohne die zu kennen kann ich nichts dazu sagen, also poste die mal.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

17:11 Uhr, 30.05.2017

Hallo,

die Lösung aus dem Tutorium habe ich jetzt beigefügt, damit die Nachricht nicht so lang wird. Unter

a)

würde ich mich noch unterschreiben, aber Teil

b)

wird ja einfach ausgewertet indem alles addiert wird. Und das ist doch nicht

f (t_{0}, w_{0})

(der Buchstabe

f

wurde gar nicht angegeben) es stand so wie in dem beigefügten Anhang.

Und das stimmt nicht.

Ich habe jetzt weitergemacht aber ich verstehe einfach nicht wie ich das auswerten soll.

Es ist wie schon erwähnt:

k_{2} = h \cdot f (t_{0} + \frac{h}{2}, w_{0} + \frac{k_{1}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot f (t_{0} + \frac{1}{4}, w_{0} + (\begin{matrix} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1,5 \end{matrix}))

Aber wie soll das geschehen? Wir kennen doch nicht den Wert an der eine Zeile darüber erwähnten Stelle.

Wir haben die Anfangsbedingungen und die können wir doch nicht verändern? Daher ist es mir einfach nicht ersichtlich das auszuwerten, weil wir sogesehen ja doch eine Änderung der Anfangsbedingung damit hätten? Bzw. wie soll ich denn eine Funktion Funktion auswerten, bei der ich die

Anfangsbedingunen

w_{0} (0) = - 1; w_{1} (0) = 0

und

w_{2} (0) = 0

habe und in der Funktion jetzt selbst eine Änderung treffe bei der ich ja selbst Funktionen habe, die nur Anfangsbedingungen in Form von fixen Werten besitzen?

Addiere ich dann echt die Verschiebung um die Schrittweite

h

und den Koeffizienten hinzu?

f (t_{0}, w_{0}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

k_{2} = \frac{1}{2} \cdot f ((\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) + \frac{1}{4}, (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 6 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1,5 \end{matrix}))

und das geht meiner Meinung doch nicht?

Grüße

Chica-Rabiosa

pwmeyer aktiv_icon

17:29 Uhr, 30.05.2017

Hallo,

ehrlich gesagt: Ich verstehe die Lösung überhaupt nicht. Wenn das die Lösung sein soll, dann haben wir - was meine Beiträge betrifft - die ganze Zeit aneinander vorbeigeredet.

Die "Lösung" ist sicher formal falsch, weil die

k_{i}

als Paare notiert sind, aber dann als Zahlen ausgerechnet werden. Wahrscheinlich fehlt ein

f

oder ein

F

oder?

Also ich halte das für hochgradig unverständlich.

Gruß pwm

Chica-Rabiosa aktiv_icon

17:38 Uhr, 30.05.2017

Hallo,

ja in der Tat ist das hochgradig falsch weil es nicht aus der Funktion

f (t, w)

bzw.

F (t, w)

ausgewertet wurde. Und wenn man sowas von einer Tutorin beigebracht bekommt bei der man extra zu Abendstudenden länger bleibt und versucht was wirklich zu lernen, naja dann verwirrt es mehr als das man da was lernt. Es ist vielleicht auch nicht Ihre Schuld, wenn es keine Interessenten gibt, dann werden Leute halt dazu befördert die es eventuell einfach nicht verstehen.

Daher wollte ich Euch fragen, wie das jetzt aussieht. Ich weiß einfach nicht mehr wie ich näher mein Problem bezüglich der Auswertung von

k_{2}

erläutern soll. In meinen Augen geht es nicht. Was meint Ihr?

Gruß und danke,

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

15:53 Uhr, 31.05.2017

Hallo
erst mal solltest du das Verfahren verstehen.
es wird die Steigung an 4Stellen ausgerechnet, und dann ein gerichtetes Mittel daraus bestimmt.
das ist die summe der

k_{i}

wenn du jeweils den Faktor

h

weglässt sind die

\frac{k_{i}}{h}

Steigungen an Zwischenstellen zwischen 0 und

h

1. die Ableitung bei

t = 0

(bzw.

t = t_{0}))

kennt man aus den Anfangsbedingungen.

k_{1}

geht jetzt mit dieser Steigung den Schritt

h

weiter. würde man hier aufhören hatte man

w (h) = w (0) + k 1

das Runge Jutta verfahren erster Ordnung auch Eulerverfahren genannt.
nun geht man aber nur

\frac{1}{2}

Schritt mit dieser Steigung weiter, errechnet an der Stelle die neue Steigung, usw. kommt man zu dem 3. Punkt und schließlich mit

k 4

zum letzten. deshalb 4 der Ordnung. diese 4 Steigungen werden jetzt getitelt, die mittleren mit Gewicht 2 die äußeren mit Gewicht

1,

deshalb insgesamt durch 6 geteilt.
anschaulicher ist es wenn man nur die

\frac{k}{h}

also die Steigungen nimmt und am Schluß die gemittelten Steigungen mit

h

multiplizier.
beim Schreiben unterscheide bitte dein

f (t)

in der Dgl . und

F (t, w)

der Wert der Ableitung an der Stelle

((t, w (t))

k_{1}

ist leider noch ein Fehler

w' = F (t, w (t)) = (\begin{matrix} w_{1} (t) \\ w_{2} (t) \\ - 5 w_{0} (t) + 10 w_{1} (t) + f (t) \end{matrix})

damit

F (0, w (0)) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 5 + 0 + 1 \end{matrix})

das mit

h = 0.5

multipliziert gibt

k_{1}

jetzt auf dieselbe Weise die anderen

k

ausrechnen, aber dran denken, es sind immer Vektoren, bzw Zahlentupel.
Deine Tutorin solltest du korrigieren, wenn du mutig bist auch mit dem Schrieb zum Prof oder falls es nen Vorlesungsassistenten gibt, zu dem gehen.!
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

18:19 Uhr, 01.06.2017

Hallo,

also danke erstmal für die Erklärung, jetzt ist es mir durchaus verständlicher als Ganzes wenn ich das Verfahren angucke. Also woher was kommt.

Aber an einer Stelle bräuchte ich noch eine Erklärung.

w' = F (t, w (t))

? Wieso gilt das? Also:

\vec{w} = (\begin{matrix} w_{0} \\ w_{1} \\ w_{2} \end{matrix})

differenziert, ergibt die Funktion

F

an der Stelle

F (t, w (t))

? Ich kann das nicht nachvollziehen.

Wie kann die Ableitung des Vektors gleich einer Funktion an dieser bestimmten Stelle sein? Ich meine wir führen das DGL-System dritter Ordnung, in eins erster Ordnung über indem wir nacheinander differenzierte Funktionen erster Ordnung definieren und diese setzen wir für die Ausgangsfunktionen entsprechend ein, aber diese sind doch nicht differenziert, gleich der ausgewerteten Funktion, an der oben genannten Stelle?

Ich meine die Definition aus dem Startbeitrag ist ja

y' = f (t, y),

also eine Ableitung gleich einer Funktion, diese Funktion ist

f (t, y)

jedoch beliebig. Sprich für mich kann irgendwie

w' = F (t, w (t))

nicht ganz stimmen bzw. ich verstehe es nicht.

Zudem kollidiert doch das

w_{0}, w_{1}

usw. mit der Approximation der DGL durch

w_{i + 1}

. Irgendwie ist das ein Teufelskreis

: (

Grüße

Chica Rabiosa

ledum aktiv_icon

19:25 Uhr, 01.06.2017

Hallo
die Funktion

F (t, w (t)

ist doch auch eine Vektorfunktion, bzw die hat 3 Komponente

w_{0} (t)' = w 1 (t)

w_{1} (t)' = w_{2} (t)

w_{2} (t)' = 5 \cdot w_{0} > (t) - 10 \cdot w_{1} (t) + f (t)

die

w

fasst man als einen "Vektor" ,it 3 Komponenten aus. eben so die rechte Seite

F = (F_{0}, F_{1}, F_{2})

so sind die Formeln für das RK Verfahren gemeint, sie gelten, ob

y

bzw

w

reine einfache Funktion ist, aus 2 oder 3 oder noch mehr Komponenten besteht. entsprechend viele Komponenten hat dann F.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

20:04 Uhr, 01.06.2017

Hallo,

ja die Funktion

F (t, w)

ist eine Vektorfunktion, aber

w'

will in meinem Kopf nicht äquivalent angesehen werden zu

F (t, w (t))

Wenn

w' = F (t, w (t))

ist, haben wir

w_{0}' = w_{1}

w_{1}' = w_{2}

w_{2}' = 5 w_{0} - 10 w_{1} + f (t)

(Da war ein

>

Zeichen das war wohl ausversehen?)

Wenn diese 3 Gleichungen so definiert sind, kann ich nicht begreifen wieso das eben gleich

w' = F (t, w)

ist. Es will einfach nicht in meinem Kopf klarwerden

- . -

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

12:10 Uhr, 02.06.2017

Hallo
ob man das einen Vektor nennt, oder ein 3 Tupel ist eigentlich bedeutungslos.
die 3 Gleichungen für die

w_{i}

siehst du ein.
Die kannst du immer als 3 Gleichungen sehen, allerdings hängen sie zusammen, so dass man sie nicht einzeln lösen kann,
die 3 Anteile oder Komponenten von

F (w,, t)

fasst man als eine Funktion auf, die man in Komponenten schreibt. das ist alles.
das Aufschreiben der Formeln wird einfacher, wenn man nicht immer von

F_{1}, F_{2}, F_{3}

reden will, aber du kannst natürlich alles auch komponentenweise aufschreiben,
da aber die Lösung von

w_{0}' = w_{1}

und

w_{2}' = F_{2} (w_{0},, w_{1}, w_{2}, t)

zusammenhängen, musst du immer alle 3 auf einmal behandeln, warum dann nicht eben in der Vektorschreibweise als 3 Tupel.
wirklich anschaulich das einzusehen musst du ja nicht.
Wenn ich eine Lineare Gleichung

A,

Matrix

A \cdot x = b

löse muss ja

x

oder

b

nicht ein "anschaulicher! Vektor sein

x

könnte aus Preisen bestehen

b

aus Mengen von Produkten.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

17:17 Uhr, 02.06.2017

Hallo,

für

i = 0

also

k_{1} = h \cdot F (t_{0}, w_{0}) = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \cdot (- 1) + 0 + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})

Das ist klar. Aber jetzt weiß ich wieder nicht weiter.

k_{2} = h \cdot F (t_{0} + \frac{h}{2}, w_{0} + \frac{k_{1}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot F (0 + \frac{1}{4}, - 1 + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \\ - 4 - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \\ - 5 \end{matrix})

?

Ich habe die Auswertung immer noch nicht begriffen

: (

Vor allem addiere ich eine Zahl auf einen Vektor

Also alles baut ja auf:

F (t_{0}, w_{0}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 4 \end{matrix})

auf. Wie addiere ich jetzt was zur Verschiebung an

t_{0}

bzw.

w_{0}

hinzu, bzw. wie ändert sich das

F (t, w)

?

Grüße

Chica-Rabiosa

Chica-Rabiosa aktiv_icon

17:18 Uhr, 02.06.2017

Hallo,

für

i = 0

also

k_{1} = h \cdot F (t_{0}, w_{0}) = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 5 \cdot (- 1) + 0 + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})

Das ist klar. Aber jetzt weiß ich wieder nicht weiter.

k_{2} = h \cdot F (t_{0} + \frac{h}{2}, w_{0} + \frac{k_{1}}{2}) = \frac{1}{2} \cdot F (0 + \frac{1}{4}, - 1 + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \\ - 4 - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} \\ - 5 \end{matrix})

?

Ich habe die Auswertung immer noch nicht begriffen

: (

Vor allem addiere ich eine Zahl auf einen Vektor

Also alles baut ja auf:

F (t_{0}, w_{0}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 4 \end{matrix})

auf. Wie addiere ich jetzt was zur Verschiebung an

t_{0}

bzw.

w_{0}

hinzu, bzw. wie ändert sich das

F (t, w)

?

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

22:14 Uhr, 02.06.2017

Hallo

f (0) = f (\frac{h}{2}) = 1

bleibt ja,
irgendwie gibts bei dir

w_{o}

als erste Komponente und als

w (0)

bezeichne sie verschieden.
zum Vektor, den du in

k_{1}

hattest also

(0,0, - 5)

musst du also nur

(0,0, - 1)

addieren und

f (t) = 1

nicht vergessen.
was du geschrieben hast versteht ich nicht.

F (t . w) = (0,0, f (t) + (w_{1}, w 2, - 5 w_{0} + 10 w_{1})

damit du deutlicher die Teile, die von

w

abhängen und die von

t

siehst.
vielleicht kommst du besser mit der Matrixschreibweise zurecht

\vec{w}' = A \cdot \vec{w} + \vec{B} (t)

mit

A = (\begin{matrix} 0; 1; 0 \\ 0; 0; 1 \\ - 5; 10; 0 \end{matrix})

und

B (t) = (0,0, f (t))

das ist die übliche Schreibweise

F (t, w) = A \cdot w + B

Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

06:48 Uhr, 03.06.2017

Guten Morgen,

vielleicht wurde es mir jetzt an der Matrixschreibweise deutlicher, aber irgendwie sind mir anscheinend die Abhängigkeiten wohl unklar.

Vorweg ein Fehler es ist doch:

y''' + 10 y' - 5 y = f (t) \Rightarrow y''' = - 10 y' + 5 y + f (t)

Ausgehend davon haben wir doch die Matrix

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 5 & - 10 & 0 \end{matrix})

Da scheinen sich Vorzeichendreher eingeschlichen zu haben.

k_{1} = \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix})

das sollte definitiv so korrekt sein.

f (t)

hängt nur von

t

ab.

w

hängt doch aber auch von

t

ab? Wir schreiben ja

w (t)

.

Im Grunde genommen ist das

k_{2}

doch gleich mit dem

k_{1}

bis auf die Tatsache, dass wir zu

t_{0}

entsprechend

\frac{1}{4}

addieren und zu

w_{0}

den Vektor

k_{1} \cdot \frac{1}{2}

.

Aber wie machen wir das? Könnte ich das bei

k_{2}

einmal exemplarisch sehen?

Den Rest würde ich selber machen, ich komme aber nicht dahinter wie das zu verstehen ist. Wo genau addieren wir die Verschiebung von

\frac{1}{4}

bei

t_{0}

hinzu? Und wo addieren wir zum

w_{0}

den Vektor

k_{1} \cdot \frac{1}{2}

hinzu? Wo und wie geschieht das?

Grüße und danke,

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

17:48 Uhr, 03.06.2017

Hallo
das

t_{0} + \frac{1}{4}

muss man in

f (t)

einsetzen weil deine Funktion

f (t)

gar nicht von

t

abhängt, ist

f (0) = f (\frac{1}{4}) = f (\frac{1}{2}) = 1

WENN

f (t) z

B sin (t)

wäre müsstest du eben

sin (0 + \frac{1}{4}) = sin (\frac{1}{4})

einsetzen, so kannst du für alle

t

einfach

f (t) = 1

einsetzen.
zu vec(w)wird

\frac{k_{1}}{2}

addiert. damit ist

F (0 + \frac{1}{4}), \vec{w (0)} + \frac{k_{1}}{2}) = (0,0,1) + (0 + 0, - (5 + (- 1))

und damit

k_{2} = h \cdot (0,0, - 3)

Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

07:38 Uhr, 04.06.2017

Guten Morgen,

ich glaube jetzt habe ich es verstanden, aber mit deinem Ergebnis bin ich nicht einverstanden, bzw. da gibt es noch eine Unklarheit.

Also:

k_{2} = h \cdot F (t_{0} + \frac{1}{4}, w_{0} + \frac{k_{1}}{2})

mit

\frac{k_{1}}{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

k_{2} = h \cdot [(\begin{matrix} w_{1} (0) = 0 \\ \begin{matrix} w_{2} (0) = 0 \\ - 10 w_{1} (0) + 5 w_{0} (0) - 1 + f (\frac{1}{4}) \end{matrix} \end{matrix})]

Mit

- 10 \cdot w_{1} (0) = 0

und

5 w_{0} (0) = - 5

und

f (\frac{1}{4}) = 1

und die

- 1

ist das

\frac{k_{1}}{2}

das zu

w_{0}

addiert wird, bzw. durch das Vorzeichen ja subtrahiert wird.

\Rightarrow k_{2} = h \cdot [\begin{matrix} 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ 0 - 5 - 1 + 1 \end{matrix} \end{matrix}] = h \cdot [\begin{matrix} 0 \\ \begin{matrix} 0 \\ - 5 \end{matrix} \end{matrix}]

Dein Vorzeichen war da ja anders, weil du

- (5 - 1)

gerechnet hast, daher kommst du auf

- 3,

aber das

k_{1}

wird doch linear hinzuaddiert und ist doch nicht von der Randbedingung

w_{0} (0) = - 1

abhängig? Also ist nicht von dem Minuszeichen abhängig?

Ansonsten danke nochmal für's beistehen und die Hilfe, wenn die letzte Unklarheit beseitigt ist, rechne ich es exemplarisch ganz durch,

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

13:24 Uhr, 04.06.2017

Hallo
mich stört noch immer dein

w_{0}

für 2 verschiedene Dinge.
aber mit meinem Rechenfehler hast du recht.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

14:14 Uhr, 04.06.2017

Hallo,

mein

w_{0}

für 2 Dinge? Aber an sich stimmt es doch jetzt?

Edit 2: Ich habe jetzt mal weitergemacht. Ist es korrekt? Wäre cool wenn wir das abhaken könnten.

k_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{5}{2} \end{matrix})

k_{3} = h \cdot F (t_{0} + \frac{h}{2}, w_{0} + \frac{k_{2}}{2}) = h \cdot [(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 - 5 + 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{5}{4} \end{matrix})] = h \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 5,25 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2,625 \end{matrix})

k_{4} = h \cdot F (t_{0} + h, w_{0} + k_{3}) = h \cdot [(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 - 5 + 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2,625 \end{matrix})] = h \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 6,625 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 3,3125 \end{matrix})

w_{1} = w_{0} + \frac{1}{6} [k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}] = w_{0} + \frac{1}{6} [(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - \frac{5}{2} \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 2,625 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 3,3125 \end{matrix})] = w_{0} + \frac{1}{6} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 15,5625 \end{matrix})

Und

{\vec{w}}_{0} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

richtig?

Also hätte ich

w_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - \frac{15,5625}{6} \end{matrix})

? Wie sieht das jetzt mit weiteren Schritten aus, oder reicht dieser?

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

19:05 Uhr, 15.06.2017

Nur ein Schritt war gefragt, du bist fertig.
Gru ledum

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