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Sattelpunkt, Berührpunkt
Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe
Tags:
 
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Hallo, kann mir bitte jemand den Unterschied und die Bedingungen für einen Sattelpunkt und die für den Berührpunkt nennen? Vielen Dank |
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Hallo, ein Berührpunkt ist ein Hoch- oder Tiefpunkt. Die erste Ableitung ist an der entsprechenden Stelle Null und der Wert in die 2. Ableitung eingesetzt ist entweder kleiner 0 (HP) oder größer 0 (TP). An einem Sattenpunkt ist die Steigung wohl =0 (f '(x)=0), aber es ist kein Extrempunkt an der Stelle vorhanden, der Wert in die 2 Ableitung eingesetzt ergibt ebenfalls 0. Bsp: f(x)=x² --> Berührpunkt bei (0/0) f(x)=x³ --> Sattelpunkt bei (0/0). Mir fällt nix mehr ein...falls jemand noch Ergänzungen hat^^ |
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Hallo, da sind einige korrigierende Worte zu dem Post von Mickey notwendig: "ein Berührpunkt ist ein Hoch- oder Tiefpunkt" - FALSCH, d.h. nicht allgemeingültig! "Die erste Ableitung ist an der entsprechenden Stelle Null und der Wert in die 2. Ableitung eingesetzt ist entweder kleiner 0 (HP) oder größer 0 (TP)." - Hinreichend, aber nicht notwendig! Ein (lokaler) Extrempunkt ist ein Hoch- oder Tiefpunkt! Alle drei Begriffe bezeichnen lokale Eigenschaften EINER Funktion. Diese Eigenschaften kann man näher bestimmen, indem man die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion bestimmt. Nullstelle der ersten Ableitung zu sein ist eine notwendige Bedingung für diese 3 Eigenschaften. Der Wert der zweiten Ableitung liefert zusammen mit der Nullstelleneigenschaft der ersten Ableitung eine hinreichende Bedingung, aber keine notwendige! D.h. ist die zweite Ableitung ungleich Null, dann ist es eine lokale Extremstelle. Wenn man dann ermittelt, ob die zweite Ableitung größer oder kleiner Null ist, dann kann man die Extremaleigenschaft näher bestimmen: Zweite Ableitung kleiner Null --> Hochpunkt; Zweite Ableitung größer Null --> Tiefpunkt. Aber wenn die zweite Ableitung gleich Null ist, dann muß man auf diese Eigenschaften etwas anders prüfen. Denn daß die zweite Ableitung ungleich Null sein muß, so wie man das aus der Antwort von Mickey entnehmen könnte, ist falsch! Klassisches Gegenbeispiel ist hier die Funktion f(x)=x^4. Diese hat bei x=0 einen Tiefpunkt obwohl die zweite Ableitung gleich Null ist! Daß es Funktionen mit erster und zweiter Ableitung gleich Null an einer Stelle gibt, die an dieser Stelle keinen Hoch- oder Tiefpunkt haben, ist am einfachsten an der Funktion f(x)=x^3 an der Stelle x=0 zu sehen. "An einem Sattenpunkt ist die Steigung wohl =0 (f '(x)=0), aber es ist kein Extrempunkt an der Stelle vorhanden, der Wert in die 2 Ableitung eingesetzt ergibt ebenfalls 0." - Notwendig, aber nicht hinreichend! Ja, an einem Sattelpunkt sind sowohl erste als auch zweite Ableitung Null, aber trotzdem hat die Funktion f(x)=x^4 an der Stelle x=0 keinen Sattelpunkt! Richtig ist allein, daß ein Sattelpunkt dort ist, wo die beiden Ableitungen Null sind und kein Extrempunkt vorliegt. Wie bereits vorhin erwähnt, muß man für die Extremaleigenschaft im Falle, daß beide Ableitungen gleich Null sind, andere Mittel und Wege finden, um die Extremaleigenschaft zu bestätigen oder abzulehnen. Im letzteren Fall handelt es sich um einen Sattelpunkt. Ein Beispiel dafür hatte ich ja bereits: f(x)=x^3 an der Stelle x=0. Nachdem wir die Extrem-, Hoch-, Tief- und Sattelpunkte als (lokale) Eigenschaft einer Funktion betrachtet haben, gibt es dazu Eigenschaften von zwei Funktionen, z.B. f und g genannt. Diese können Schnittpunkt oder Berührpunkt sein. Beides berechnet man durch Gleichsetzen der Funktionen (f(x) = g(x)), was aber nichts anderes als eine Betrachtung der Differenzfunktion (f(x) - g(x)) ist. Von dieser Differenzfunktion werden die Nullstellen (f(x) - g(x) = 0) ermittelt. Ist an der Nullstelle die erste Ableitung ungleich Null, dann ist es ein Schnittpunkt mit der x-Achse und damit ein Schnittpunkt der Funktionen f und g. Ist die erste Ableitung an der Nullstelle der Differenzfunktion gleich Null, dann kann die Differenzfunktion ein (lokales) Extremum (also einen Hoch- oder Tiefpunkt) haben (wie das ermittelt wird siehe oben!), dann wird die x-Achse berührt und die beiden Funktionen f und g berühren sich in einem Berührpunkt. Hat die Differenzfunktion aber an dieser Stelle einen Sattelpunkt (also kein lokales Extremum), dann schneiden sich die Funktionen f und g an dieser Stelle. Alles zusammengefaßt: "lokale" Eigenschaften einer Funktion f: f'(x) = 0 und f"(x) ungleich Null --> lokales Extremum f'(x) = 0 und f"(x) kleiner Null --> lokales Maximum f'(x) = 0 und f"(x) größer Null --> lokales Minimum f'(x) = 0 und f"(x) = 0 --> Untersuchung auf Extremum oder Sattelpunkt Eigenschaften zweier Funktionen f und g: f(x) - g(x) = 0 und (f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x) ungleich Null --> Schnittpunkt f(x) - g(x) = 0 und (f(x) - g(x))' = 0 --> wenn f(x) - g(x) lokales Extremum hat: Berührpunkt ; wenn f(x) - g(x) Sattelpunkt hat: Schnittpunkt Bleibt als einzige Frage: Was sind die anderen Mittel, um im Falle f'(x)=0 und f"(x)=0 herauszufinden, ob es ein lokales Extremum oder einen Sattelpunkt gibt. Das ist aber sehr abhängig von der speziellen Funktion. In der Regel versucht man zu zeigen, daß an der Nullstelle der ersten Ableitung ein Vorzeichenwechsel in der ersten Ableitung stattfindet (lokales Extremum: Wechsel von "-" auf "+" für einen Tiefpunkt und Wechsel von "+" auf "-" für einen Hochunkt) oder daß kein Vorzeichenwechsel stattfindet (Sattelpunkt: es findet kein Vorzeichenwechsel statt, also "gehen" die Werte von "-" auf "-" oder von "+" auf "+"). |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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