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Satz von Gauß, Parametrisierung unklar

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: divergenz, Gauss, Integration, parametrisierung

Psy01 aktiv_icon

23:34 Uhr, 29.08.2014

Hallo an alle,

Ich brauche mal wieder eure Hilfe ;-)

Befasse mich gerade mit dem Satz von Gauß.
Dazu habe ich eine Kurve parametrisiert:

B : (r, φ) \mapsto (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array}) = (\begin{array}{rcl} r c o s φ \\ r s i n φ \end{array})

Das Vektorfeld ist gegeben zu:

v (x, y) = (x^{2} + 2 x y^{2}, \frac{1}{3} y^{3})

Nun möchte ich gerne das folgende Integral aufstellen:

\int \int_{F} d i v (v) d F = \int_{0}^{1} \int_{0}^{π} d i v (v (r, φ)) ∣ d e t J_{B} (r, φ) ∣ d r d φ

Funktioniert soweit auch alles ganz ok, nur hänge ich an dem folgenden Punkt:

Wenn ich

V (r, φ)

aufgestellt habe und davon die Divergenz bilde, woher weiß ich dann nach was ich ableiten muss?
Also dass ich nach

r

bzw.

φ

abzuleiten habe ist klar, aber welche "Koordinate von

V (r, φ)

" muss nach was abgeleitet werden?
Ich hätte ja anstatt

B : (r, φ) \mapsto (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array})

genauso gut

B : (φ, r) \mapsto (\begin{array}{rcl} x \\ y \end{array})

schreiben können, und dann würde sich ja der Gradient verändern, weil ich die Koordinaten genau nach dem jeweils anderen Parameter ableite.

Hoffe sehr ihr könnt mir dabei helfen!

Besten Dank im Voraus an alle, die sich für mein Problem interessieren!

Viele Grüße,
Psy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

09:47 Uhr, 30.08.2014

Hallo,

ich bin mir nicht sicher, ob Du schon alles richtig erfasst hast. Du schreibst von einer Kurvenparametrisierung, hast aber 2 Parameter

(r

und

φ)

. Oft ist mit dem Satz von Gauß die 3-dimensionale Variante gemeint, die 2-dimensional wird als Satz von Green bezeichnet.

Egal, jedenfalls müsstest Du zunächst die Divergenz in kartesischen Koordinaten berechnen und dann erst das Integral auf die anderen Koordinaten transformieren. (Oder Du musst die Divergenz auf die anderen Koordinaten umrechnen, was hier wohl eher unangebracht ist).

Gruß pwm

Psy01 aktiv_icon

12:32 Uhr, 30.08.2014

Hallo pwm,

Vielen Dank für deine Antwort! Dieses Themengebiet will mir nicht so richtig in den Kopf wie es scheint :-/

Danke übrigens für den Tip mit "Satz von Gauß" und "Satz von Green"... Das war mir noch nicht so ganz klar.

In meinen Unterlagen unterscheidet sich der Satz von Gauß mit dem von Green durch die Vorzeichen der Einträge des Vektorfelds v.
Also wenn ich in Gauß

v = (\begin{array}{rcl} v_{1} \\ v_{2} \end{array})

als Vektorfeld habe, ist das beim Satz von Green

w = (\begin{array}{rcl} w_{1} \\ w_{2} \end{array})

mit

w_{1} =

v_{2}

und

w_{2} = + v_{1}

.
Kann ich mir das dann sparen, und einfach wie gewohnt Gauß in 2D rechnen?

Viele Grüße,
Psy

pwmeyer aktiv_icon

17:44 Uhr, 30.08.2014

Hallo,

natürlich kannst Du alles benutzen, was richtig ist - am besten orientierst Du Dich an Euren Übungen.

Gruß pwm

Psy01 aktiv_icon

17:52 Uhr, 30.08.2014

Ok vielen Dank.
Dann werde ich das in meiner Vorstellung lieber als "2D Gauß" abspeichern ;-)

Gruß Psy

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