Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Satz von Gauß - Zylinder

Satz von Gauß - Zylinder

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Satz von Gauss, Zylinderkoordinaten

mcjens aktiv_icon

11:00 Uhr, 01.07.2015

Hallo zusammen!
Ich brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe:
Die Oberfläche von

M := {(x, y, z) \in ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} \leq 1, 0 \leq z \leq 1}

wird mit

\partial M

bezeichnet und es sei

F (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) := (\begin{matrix} x^{3} \\ x^{2} y \\ x^{2} z \end{matrix})

.

Berechnen Sie

\int_{\partial M} 〈 F, \vec{n} 〉 d S (x, y, z),

wobei

\vec{n}

der Normaleneinheitsvektor ist, der ins Äußere des Zylinders

M

weist, auf zwei verschiedene
Arten:

1. mittels der Definition des Oberflächenintegrals;
2. unter Verwendung des Gaußschen Integralsatzes.
Hinweis: Man zerlege

\partial M

in seine glatten Komponenten und integriere über diese separat bei Teilaufgabe 1.
Die Zylinderkoordinaten sind durch die Abbildung

(0, \infty) \times (0, 2 π) \times ℝ \to ℝ^{3}, (r, ψ, z) \mapsto (\begin{matrix} r cos ψ \\ r sin ψ \\ z \end{matrix})

gegeben.

So, das bedeutet, dass ich dieses Integral auf beide Arten berechnen soll. Also brauche ich die Divergenz des Vektorfeldes, die weniger kompliziert zu berechnen sein sollte. Nun ist mir das mit

\partial M

noch nicht ganz klar. Bildlich kann ich mir das vorstellen, doch ich weiß nicht genau, wie ich das formuliere und vor allem das Zerlegen in glatte Komponenten wirft bei mir Fragen auf. Und soll ich den Normaleneinheitsvektor berechnen oder lässt dieser sich einfach "ablesen"/erkennen?

Würde mich über jede Hilfe freuen, danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

11:06 Uhr, 01.07.2015

Hallo,

der Rand von

M

besteht einfach aus den 3 Teilen: Deckel

(z = 1),

Boden

(z = 0)

und Mantel

(r = 1)

.

Den Normaleneinheitsvektor kann man hier direckt erkennen, aber wenn Du Zweifel hast, berechen ihn doch einfach.

Gruß pwm

mcjens aktiv_icon

10:14 Uhr, 02.07.2015

Das mit der Oberfläche verstehe ich! Würde ich dann für

z

von 0 bis

1,

für

r

von 0 bis 1 und für

ψ

von 0 bis

2 π

integrieren?

Normalerweise kenne ich die Berechnung des Normalenvektors mittels des Kreuzproduktes zweier partieller Ableitungen, aber hier sind es bei der Parametrisierung ja 3 Komponenten. Ist

r,

also der Radius, dabei zu vernachlässigen? Ich definiere die Parametrisierung mal durch

Φ

. Würde ich das Kreuzprodukt von

\frac{\partial Φ}{\partial ψ}

und

\frac{\partial Φ}{\partial z}

bilden, dann hätte ich

\vec{n} = (\begin{matrix} cos \\ sin \\ 0 \end{matrix})

und dieser hätte ja schon die Länge 1. Aber mir ist nicht ganz klar, dass dies der Normalenvektor sein soll. Ist es weil, er einmal Richtung z-Achse ins Äußere des Zylinders zeigt und einmal entlang der x-Achse? Oder wie kann ich mir das vorstellen?

DerDepp aktiv_icon

11:02 Uhr, 02.07.2015

Aloha :-)

Du möchtest ja die Oberfläche des Zylinders mit dem Vekor

\vec{r}

abtasten. Für die Mantelfläche in Zylinderkoordinaten ist daher der Wert für den Betrag des Vektors

\vec{r}

konstant. Deine Variablen sind der Winkel und die Höhe.

mcjens aktiv_icon

14:11 Uhr, 02.07.2015

Stimmt der Normaleneinheitsvektor also?

Ich habe für div

F = 5 x^{2}

berechnet.

Dann würde ich bei Aufgabe

b)

folgendes berechnen:

\int_{5} x^{2}

= 5

int_0^(2pi)

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} r^{3} {cos}^{2} ψ = \frac{5}{4} π

Bei

a)

würde ich zunächst

〈 F, \vec{n} 〉 = x^{3} cos ψ + x^{2} y sin ψ = r^{3} {cos}^{4} ψ + r^{3} {sin}^{2} ψ {cos}^{2} ψ

bestimmen. Allerdings würde dies dann mit den gleichen Grenzen nicht zu

\frac{5}{4} π

führen. Welche Grenzen muss ich verwenden und warum? Oder ist ein Rechenschritt falsch?

DerDepp aktiv_icon

16:07 Uhr, 02.07.2015

Aloha :-)
Gegeben ist das Vektorfeld

\vec{F} (x, y, z) = (\begin{array}{c} x^{3} \\ x^{2} y \\ x^{2} z \end{array})

und das Volumen

V = {(x, y, z) \in ℜ^{3} : x^{2} + y^{2} \leq 1; 0 \leq z \leq 1}

.

Gesucht ist der Fluss

Φ

des Vektorfeldes

\vec{F}

aus dem Volumen

V

heraus, also:

Φ = \int_{\partial M} \vec{F} d \vec{f}

.

In Zylinderkoordinaten kann man die Menge

M

mit folgendem Vektor

\vec{r}

abtasten:

\vec{r} = (\begin{array}{c} r \cdot \cos ϕ \\ r \cdot \sin ϕ \\ z \end{array}); r \in [0; 1], ϕ \in [0; 2 π], z \in [0; 1]

Zur direkten Berechnung des Flusses

Φ

benötigt man die Oberfläche

\partial M

dieses Zylinders. Diese teilt sich auf in Deckel, Boden und Mantel:

Deckel:

\vec{r} = (\begin{array}{c} r \cdot \cos ϕ \\ r \cdot \sin ϕ \\ 1 \end{array}); r \in [0; 1], ϕ \in [0; 2 π] \Rightarrow d \vec{f} = \pm \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial ϕ} = \pm (\begin{array}{c} \cos ϕ \\ \sin ϕ \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - r \cdot \sin ϕ \\ r \cdot \cos ϕ \\ 0 \end{array}) = \pm (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ r \end{array})

Boden:

\vec{r} = (\begin{array}{c} r \cdot \cos ϕ \\ r \cdot \sin ϕ \\ 0 \end{array}); r \in [0; 1], ϕ \in [0; 2 π] \Rightarrow d \vec{f} = \pm \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial ϕ} = \pm (\begin{array}{c} \cos ϕ \\ \sin ϕ \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} - r \cdot \sin ϕ \\ r \cdot \cos ϕ \\ 0 \end{array}) = \pm (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ r \end{array})

Mantel:

\vec{r} = (\begin{array}{c} 1 \cdot \cos ϕ \\ 1 \cdot \sin ϕ \\ z \end{array}); ϕ \in [0; 2 π], z \in [0; 1] \Rightarrow d \vec{f} = \pm \frac{\partial \vec{r}}{\partial ϕ} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial z} = \pm (\begin{array}{c} - \sin ϕ \\ \cos ϕ \\ 0 \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = \pm (\begin{array}{c} \cos ϕ \\ \sin ϕ \\ 0 \end{array})

Das Vorzeichen ist jeweils so zu wählen, dass

d \vec{f}

nach außen zeigt:

Φ_{Deckel} = \int_{0}^{1} d r \int_{0}^{2 π} d ϕ (\begin{array}{c} r^{3} \cos^{3} ϕ \\ r^{3} \cos^{2} ϕ \sin ϕ \\ r^{2} \cos^{2} ϕ \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ r \end{array}) = \int_{0}^{1} d r \int_{0}^{2 π} d ϕ r^{3} \cos^{2} ϕ = \frac{1}{4} \underset{= π}{\underset{⎵}{\int_{0}^{2 π} \cos^{2} ϕ d ϕ}} = \frac{π}{4}

Φ_{Boden} = \int_{0}^{1} d r \int_{0}^{2 π} d ϕ (\begin{array}{c} r^{3} \cos^{3} ϕ \\ r^{3} \cos^{2} ϕ \sin ϕ \\ 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - r \end{array}) = \int_{0}^{1} d r \int_{0}^{2 π} d ϕ 0 = 0

Φ_{Mantel} = \int_{0}^{1} d z \int_{0}^{2 π} d ϕ (\begin{array}{c} \cos^{3} ϕ \\ \cos^{2} ϕ \sin ϕ \\ z \cos^{2} ϕ \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} \cos ϕ \\ \sin ϕ \\ 0 \end{array}) = \int_{0}^{1} d z \int_{0}^{2 π} d ϕ (\underset{= \cos^{2} ϕ (\cos^{2} ϕ + \sin^{2} ϕ)}{\underset{⎵}{\cos^{4} ϕ + \cos^{2} ϕ \sin^{2} ϕ}}) = \underset{= π}{\underset{⎵}{\int_{0}^{2 π} \cos^{2} ϕ d ϕ}} = π

Der Gesamtfluss ist also:

Φ = Φ_{Deckel} + Φ_{Boden} + Φ_{Mantel} = \frac{5}{4} π

Den Fluss mit Hilfe des Gaußschen Satzes hast du ja bereits selbst ausgerechnet und kommst zum gleichen Ergebnis, nur mit erheblich weniger Schreibarbeit als ich ;-)

mcjens aktiv_icon

09:04 Uhr, 03.07.2015

Perfekt, verstanden!
Vielen Dank und schönes Wochenende :-)

1244636

1244415

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?