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Satz von Rolle
Universität / Fachhochschule
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Tags: Satz von Rolle
 
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Hallo, Den Satz von Rolle habe ich verstanden, weiss aber nicht wie mir dieser in folgender Aufgabe weiterhelfen soll...
Zeige anhand des Satzes von Rolle, dass die Gleichung x^n+px+q=0 höchstens 2 reelle Lösungen besitzt, falls n gerade ist; und höchstens 3 reelle Lösungen, falls n ungerade ist.
Kann mir jemand weiterhelfen. Vielen Dank. |
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Hallo, Du sagst, den Satz von Rolle verstanden zu haben, also setze ich seine genaue Kenntnis hier voraus. Wenn ich bei einer die Voraussetzungen des Satzes erfüllenden Funktion n verschiedene Nullstellen habe, dann kann ich diese als Intervallgrenzen für den Satz von Rolle hernehmen und es gilt f(a)=f(b)=0 und es gibt dazwischen mndestens eine Stelle, deren erste Ableitung gleich Null ist. Dazwischen heißt aber, daß es für diese n Nullstellen mindestens n-1 Stellen mit erster Ableitung Null geben muß. Gibt es bei einer Funktion aber nur höchstens 1 Stelle, an der die erste Ableitung Null wird, dann kann diese höchstens 2 Nullstellen haben, denn hätte sie mehr, müßte es auch mehr Stellen mit erster Ableitung Null geben. Gibt es bei einer Funktion nur höchstens 2 Stellen mit erster Ableitung Null, dann kann es maximal 3 Nullstellen geben, denn hätte sie mehr Nullstellen, dann gäbe es mehr Stellen mit erster Ableitung gleich Null. Du mußt also untersuchen, wie viele Nullstellen die erste Ableitung Deiner Funktion für gerade und für ungerade n maximal hat. Die Anzahl der Nullstellen der Funktion ist maximal um eins höher als die Anzahl der Nullstellen der ersten Ableitung. |
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Danke für die Hilfe! |
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