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Satz von Vieta
Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 8. Klassenstufe
Tags: Gleichungen, Vieta
 
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Was muss ích einsetzen damit auf der linken Seite 0 herauskommt und die Gleichung stimmt?
(Mit dem Satz von Vieta) x² Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Der Satz von Vieta über quadratische Gleichungen lässt sich auf Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung des Satzes von Vieta ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen höheren Grades durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt: Jedes (normierte) Polynom n-ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von n Linearfaktoren darstellen: Es geht also darum den obigen Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen. Es gibt zwar einen Lösungsalgorithmus für Polynome 3.Grades - der ist aber so unhandlich in der Anwendung, dass Schulaufgaben mit P. 3.° so gestaltet sind (zumindest in 99,9% der Fälle), dass man eine der möglichen Nullstellen durch "probieren" relativ leicht entdecken kann. Durch Division des Gleichungspolynoms durch den dabei gewonnenen Linearfaktor lässt sich die Gleichung auf eine quadratische reduzieren, welche leicht lösbar ist. |
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"Durch Division des Gleichungspolynoms durch den dabei gewonnenen Linearfaktor lässt sich die Gleichung auf eine quadratische reduzieren, welche leicht lösbar ist." Oder eben unlösbar, wie in diesem Fall. Solange du nur ganzzahlige Lösungen durch Problieren suchst, reicht es die Teiler des Absolutgliedes durchzuprobieren, also in deinem Fall |
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---------------- ====== 0 Die verbleibende quadratische Gleichung hat keine reellen Nullstellen, ist aber deshalb trotzdem lösbar! |
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Danke Dir mal, ich wollte aber eigentlich wissen wie man auf die kommt
(Mit Vieta) |
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"Die verbleibende quadratische Gleichung hat keine reellen Nullstellen, ist aber deshalb trotzdem lösbar!" OK. Natürlich hast du recht. Ist eine Frage welche Grundmenge man angibt. |
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DER SATZ von Vieta ist nur bei quadratischen Gleichungen anwendbar. "...ich wollte aber eigentlich wissen wie man auf die kommt (Mit Vieta)" Gemäß der Verallgemeinerung des Vieta Satzes und dem Fundamentalsatz der Algebra sucht man durch Probieren (der Teiler des Absolutgliedes) eine (ganzzahlige) Nullstelle und spaltet einen Linearfaktor ab. |
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"ich wollte aber eigentlich wissen wie man auf die x=1 kommt" Wie bereits erwähnt, in schulischen Aufgabenstellungen testet man einige ganze Zahlen - meist genügt von -5 bis +5, um zumindest einen Nulldurchgang (Vorzeichenwechsel) zu lokalisieren, wenn nicht gleich schon der richtige Wert dabei ist. Der Tipp mit den Teilern des absoluten Gliedes ist übrigens sehr wertvoll und erspart die Zeit für Testrechnungen ohne Erkenntnisaussichten. In ganz seltenen Fällen kommt auch mal eine einfacher Bruch als Nullstelle vor - das ist dann sozusagen was für Fortgeschrittene ... Wenn Du ein algorithmisches Lösungsverfahren kennenlernen möchtest, schau im wikipedia unter "Cardanische Formeln". Schliesslich verwendet man im heutigen Zeitalter der digitalen Rechensklaven die numerische Methode - also der Computer testet in einigen Millisekunden einige Millionen Werte und gibt dann ein Ergebnis heraus, das der vorgegebenen Genauigkeitsanforderung hinreichend nahe kommt. Um den Prozessor dabei nicht verglühen zu lassen, wendet man das Newton-Verfahren (auch im wiki gucken was das ist) an, das wesentlich schneller zum Ergebnis führt, als würde man das Teil nur zufällig rumprobieren lassen. |
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