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Satz zu Normen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

SonyPB aktiv_icon

23:33 Uhr, 13.02.2025

Hallo!

Bei folgendem Zusammenhang benötige ich Euren Rat:

Sei

L : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

linear und seien

∣ ∣ • ∣ ∣

auf

ℝ^{n}

und

∣ ∣ ∣ • ∣ ∣ ∣

auf

ℝ^{m}

beliebige Normen.

Dann gilt:

\binom{s u p}{x \in ℝ^{n}, ∣ ∣ x ∣ ∣ \leq 1} ∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣ = \binom{s u p}{x \in ℝ^{n} \ {0}} \frac{∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣}{∣ ∣ x ∣ ∣}

Nun habe ich folgenden Beweisansatz versucht:

L

linear

\Rightarrow

L

lipschitzstetig

\Rightarrow

\exists C > 0 : ∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣ \leq C ∣ ∣ x ∣ ∣

\Rightarrow

\binom{s u p}{x \in ℝ^{n}, ∣ ∣ x ∣ ∣ \leq 1} ∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣ = C (\binom{s u p}{x \in ℝ^{n}, ∣ ∣ x ∣ ∣ \leq 1} ∣ ∣ x ∣ ∣)

(\binom{s u p}{x \in ℝ^{n}, ∣ ∣ x ∣ ∣ \leq 1} ∣ ∣ x ∣ ∣) = 1

\Rightarrow

\binom{s u p}{x \in ℝ^{n}, ∣ ∣ x ∣ ∣ \leq 1} ∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣ = C

\Rightarrow

\binom{s u p}{x \in ℝ^{n} \ {0}} ∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣ = C (\binom{s u p}{x \in ℝ^{n} \ {0}} ∣ ∣ x ∣ ∣)

\Rightarrow

\binom{s u p}{x \in ℝ^{n} \ {0}} \frac{∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣}{∣ ∣ x ∣ ∣} = C

Insgesamt würde dann die Behauptung folgen.

Das Ganze wirkt auf mich aber insbesondere in Teil 2. eher etwas 'zusammengebastelt' und formal nicht korrekt. Kann das trotzdem als Beweis gelten?

Für jede Hilfe, wertvolle Denkanstöße, Korrekturen und Hinweise bin ich natürlich sehr dankbar!

Beste Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Randolph Esser aktiv_icon

23:57 Uhr, 13.02.2025

L

linear ist, gilt

\frac{| | | L (x) | | |}{| | x | |} = | | | \frac{1}{| | x | |} L (x) | | | = | | | L (\frac{x}{| | x | |}) | | |

und weiter

{\frac{x}{| | x | |} : x \in R^{n} \ {0}} = {x \in R^{n} : | | x | | = 1}

.

Wiederum da

L

linear ist, nimmt die Funktion

f : M \to R, x \mapsto | | | L (x) | | |

mit

M := {x \in R^{n} : | | x | | \leq 1}

ihr Supremum auf dem Rand von

M

an. Es folgt

s u p_{x \in R^{n}, | | x | | \leq 1} | | | L (x) | | | = s u p_{x \in R^{n}, | | x | | = 1} | | | L (x) | | |

= s u p_{x \in R^{n} \ {0}} | | | L (\frac{x}{| | x | |}) | | | = s u p_{x \in R^{n} \ {0}} \frac{| | | L (x) | | |}{| | x | |}

SonyPB aktiv_icon

01:25 Uhr, 14.02.2025

Vielen Dank für Deine ausführliche Hilfe!

Prinzipiell würde mir wohl schon die erste Zeile reichen:

\frac{∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣}{∣ ∣ x ∣ ∣} = ∣ ∣ ∣ L (\frac{x}{∣ ∣ x ∣ ∣}) ∣ ∣ ∣ \forall x \in ℝ^{n} \ {0}

\Rightarrow

\frac{∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣}{∣ ∣ x ∣ ∣} = ∣ ∣ ∣ L (\frac{x}{∣ ∣ x ∣ ∣}) ∣ ∣ ∣ \leq C ∣ ∣ \frac{x}{∣ ∣ x ∣ ∣} ∣ ∣ \forall x \in ℝ^{n} \ {0}

∣ ∣ \frac{x}{∣ ∣ x ∣ ∣} ∣ ∣ = \frac{∣ ∣ x ∣ ∣}{∣ ∣ x ∣ ∣} = 1 \forall x \in ℝ^{n} \ {0}

\Rightarrow

\frac{∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣}{∣ ∣ x ∣ ∣} = ∣ ∣ ∣ L (\frac{x}{∣ ∣ x ∣ ∣}) ∣ ∣ ∣ \leq C \forall x \in ℝ^{n} \ {0}

\Rightarrow

\binom{s u p}{x \in ℝ^{n} \ {0}} \frac{∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣}{∣ ∣ x ∣ ∣} = C \forall x \in ℝ^{n} \ {0}

Damit wäre Teil 2. meines ursprünglichen Beweises 'repariert' ... oder?

Beste Grüße

Randolph Esser aktiv_icon

02:28 Uhr, 14.02.2025

Tut mir Leid, aber in Deinen beiden Beiträgen
verzapfst Du einfach nur jede Menge Dünnsinn.
Ich bin mir zu schade dafür, mich daran abzuarbeiten
und überlasse es anderen, das logisch zu sezieren.
Ich bin raus, Danke für diesen Ana2-Snack !

SonyPB aktiv_icon

04:29 Uhr, 14.02.2025

In Teil a) der Aufgabe soll für jede lineare Funktion

L : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

die Lipschitzstetigkeit gezeigt werden. In Aufgabenteil b) soll unter Verwendung der Ergebnisse aus a) oben genannter Zusammenhang gezeigt werden. Ich verstehe die Aufgabenstellung daher so, dass explizit die Bedingung

\forall L \in L (ℝ^{n}, ℝ^{m}) \exists C > 0 : ∣ ∣ ∣ L (x) ∣ ∣ ∣ \leq C ∣ ∣ x ∣ ∣ \forall x \in ℝ^{n}

in Aufgabenteil b) verwendet werden muss.

mathadvisor aktiv_icon

11:35 Uhr, 14.02.2025

Aha, jetzt rückst Du damit raus, wie die Aufgabe lautet. Warum nicht gleich? Das hätte eine Menge Verwirrung beim Leser gespart. Du willst also nun b) zeigen? Und a) setzt Du nun voraus?
Verwende Text im Beweis, nicht unnötige - und vor allem kaum lesbare - Notation.
Aus der Lipschitzstetigkeit kannst Du

sup_{∥ x ∥ \leq 1} ∥ ∣ L (x) ∥ ∣ \leq C

folgern, nicht

= C

.
Versuch ab da nochmal, bitte lesbar (LaTeX verwenden).

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