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Scheinwiderstand mit komplexen Zahlen berechnen

Schüler Berufsfachschulen, 12. Klassenstufe

Tags: Komplexe Zahlen

Jenny1988 aktiv_icon

17:05 Uhr, 23.06.2011

Die Abbildung skizziert ein elektrisches Netzwerk mit den ohmschen Widerständen

R_{1} = 100 Ω, R_{2} = 50 Ω, R_{3} = 100 Ω,

den Kapazitäten

C_{1} = 20 μ F, C_{3} = 10 μ

und der Induktivität

L_{2} = 0,1 H

. Berechnen Sie den komplexen Scheinwiderstand und dessen Betrag.

Ich habe bisher mit komplexen Zahlen nur bei "Volumen-Aufgaben" gerechnet. Da hab ich ja immer eine Haupt- und Nebenbedingung. Woraus ich dann die komplexe Gleichung bilde.
Ich kann das aber nicht auf diese Aufgabe übertragen. Wie muss ich denn hier vorgehen?

DK2ZA aktiv_icon

17:46 Uhr, 23.06.2011

Ein ohmscher Widerstand hat den reellen Widerstandwert R.

Eine Spule der Induktivität

L

hat den Blindwiderstand

Z_{L} = i \cdot ω \cdot L = i \cdot 2 \cdot π \cdot f \cdot L

Ein Kondensator der Kapazität

C

hat den Blindwiderstand

Z_{C} = - \frac{i}{ω \cdot C} = - \frac{i}{2 \cdot π \cdot f \cdot C}

Mit diesen Widerständen kann man ganz normal rechnen. Das Ergebnis ist gewöhnlich ein komplexer Widerstand (Impedanz).

Die Serienschaltung von

R_{2}

und

L_{2}

ergibt also

Z_{a} = 50 Ω + i \cdot 2 \cdot π \cdot f \cdot 0,1 H

Die Serienschaltung von

R_{3}

und

C_{3}

ergibt also

Z_{b} = 100 Ω - \frac{i}{2 \cdot π \cdot f \cdot 10 μ F}

Nun liegen die beiden Zweige parallel und wie bei der Parallelschaltung von ohmschen Widerständen gilt auch hier

Z_{a b} = \frac{Z_{a} \cdot Z_{b}}{Z_{a} + Z_{b}}

. Also hat hier die Parallelschaltung die Impedanz

Z_{a b} = \frac{(50 Ω + i \cdot 2 \cdot π \cdot f \cdot 0,1 H) \cdot (100 Ω - \frac{i}{2 \cdot π \cdot f \cdot 10 μ F})}{50 Ω + i \cdot 2 \cdot π \cdot f \cdot 0,1 H + 100 Ω - \frac{i}{2 \cdot π \cdot f \cdot 10 μ F}}

Dazu liegen noch

R_{1}

und

C_{1}

in Serie. Ihre Impedanzen sind also zu addieren. So ergibt sich die Gesamtimpedanz

Z_{g e s} = 100 Ω - \frac{i}{2 \cdot π \cdot f \cdot 20 μ F} + \frac{(50 Ω + i \cdot 2 \cdot π \cdot f \cdot 0,1 H) \cdot (100 Ω - \frac{i}{2 \cdot π \cdot f \cdot 10 μ F})}{50 Ω + i \cdot 2 \cdot π \cdot f \cdot 0,1 H + 100 Ω - \frac{i}{2 \cdot π \cdot f \cdot 10 μ F}}

Das Ergebnis ist eine von der Frequenz

f

abhängige Impedanz

Z_{g e s}

. Man braucht jetzt also nur noch die Vorgabe einer Frequenz und einen Taschenrechner, der komplexe Zahlen verarbeiten kann.

GRUSS, DK2ZA

Jenny1988 aktiv_icon

18:59 Uhr, 23.06.2011

danke schonmal für den ausführlichen lösungsansatz. das problem ist jetzt nur noch, das ich weder einen taschenrechner habe der komplexe zahlen beherrscht noch dass ich die angabe einer frequenz habe... wie lässt sich die aufgabe dann lösen?

DK2ZA aktiv_icon

07:44 Uhr, 24.06.2011

Die Gesamtimpedanz ist nun mal von

f

abhängig, daran kann man nichts ändern. Wenn

f

nicht gegeben ist, kann man den Ausdruck für

Z_{g e s}

höchstens noch verschönern, indem man ihn in Real- und Imaginärteil aufspaltet. Dazu muss man den Bruch mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitern.

Ist diese Aufgabe vielleicht nur Teil einer größeren Aufgabe?
Kannst du eine Kopie hochladen?

Ich muss jetzt leider weg. Vielleicht heute abend wieder!

GRUSS, DK2ZA

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