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Schiefer Wurf mit stokes`scher Reibung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Schiefer Wurf, stokes´sche Reibung

seinettbitte7 aktiv_icon

11:27 Uhr, 12.12.2020

Hallo Freunde,

Im Titel könnt ihr bereits lesen, um was für eine Art Aufgabe es sich handelt.

Nun habe ich gegeben einen Ball Masse

0.45

kg.
Der Abschusswinkel ist α.
Die Stokes Reibungskraft definiert als

- k \cdot m \cdot v

mit konstantem

k > 0

.

Ich soll nun als erstes die Bewegungsgleichung aufstellen und nach

x (t)

und

y (t)

auflösen.

Ich bin mir ziemlich unsicher, wie ich vorgehen soll und hoffe, ihr könnt mich auf dem Weg etwas unterstützen.

Ich dachte im ersten Schritt zerlege ich die Geschwindigkeit in die

x

und

y

Komponente (Vx,Vy) um Sie anschließend in Abhängigkeit von der Zeit

t

anzugeben.

Wenn ich richtig verstanden habe, wirkt die Stokes Reibung sowohl in

x

als auch in

y

Richtung.Also dachte ich mir, ich nehme die Zerlegung wie beim schiefen Wurf und füge die Reibung in Vy und Vx ein.

Dann habe ich

Vx = V0*cosα*t*-k*m*Vx
und
Vy = V0*sinα*t*-1/2gt^2*-k*m*Vy

V 0

ist die Anfangsgeschwindigkeit. (Tut mir leid ich weiß nicht wie man hier Indizzahlen/Buchstaben angibt. Kann mir das vielleicht auch jemand nebenbei sagen ? :-) )

Ich denke die beiden Formeln stimmen so. Nun möchte ich aber nicht die Geschwindigkeit berechnen, sondern die Beschleunigung und somit die Kraft für die Bewegungsgleichung.
Also leite ich Vx und Vy ab. Falls mein Gedankengang stimmt, brauche ich spätestens hier Hilfe, da ich ne Niete im ableiten bin. WIe muss ich vorgehen ?

Leite ich jeweils in beiden Gleichungen die

V

Komponenten ab und lasse den Rest stehen ?

Also am Beispiel der

x

Komponente
ax= a0*cosα*t*-k*m*ax

oder Leite ich alles ab ?

ax= a0*-sinα*...aber da wüsste ich schon nicht mehr wie es aussieht

oder muss ich irgendeine andere Operation ausführen ? Ich habe etwas von Trennung der Variablen gelesen, aber erkenne nicht, ob das hier zum Einsatz kommt.

Würde mich über Hilfe sehr freuen.

DrBoogie aktiv_icon

13:28 Uhr, 12.12.2020

"Ich denke die beiden Formeln stimmen so."

Nein.

k m v

ist Kraft. Du kannst nicht eine Kraft mit der Geschwindigkeit addieren.
Außerdem wären auch auch ohne die Kraft die Gleichungen falsch, denn es ist nicht

V_{x} = V_{0} \cos (α) t

, sondern

S_{x} = V_{0} \cos (α) t

. Die Geschwindigkeit wächst doch nicht mit der Zeit.

Richtig wäre es so.
Zuerst mal die horisontale Bewegung.
Beschleunigung:

m a_{x} = - k V_{x} m

a_{x} = - k V_{x}

, denn sonst haben keine Kraft.
Beschleunigung ist Ableitung von der Geschwindigkeit, also muss

V_{x}

die DGL

V_{x}^{ʹ} = - k V_{x}

mit der Anfangsbedingung

V_{x} (0) = V_{0} \cos (α)

lösen.
Die Lösung ist

V_{x} (t) = V_{0} \cos (α) e^{- k t}

.
Weiter, Weg ist Integral der Geschwindigkeit, also

S_{x} (t) = \int_{0}^{t} V_{x} (s) d s = V_{0} \cos (α) \int_{0}^{t} e^{- k s} d s = V_{0} \cos (α) (1 - \frac{e^{- k t}}{k})

.

Bei der vertikalen Bewegung ist alles etwas komplizierter.

m a_{y} = - k V_{y} m + m g

a_{y} = g - k V_{y}

.
Daraus entsteht die DGL

V_{y}^{ʹ} = g - k V_{y}

, die dann durch

V_{y} (t) = \frac{g}{k} + (k V_{0} \sin (α) - g) \frac{e^{- k t}}{k}

gelöst wird (unter der Berücksichtung der Anfangsbedingung).
Und für

S_{y}

muss jetzt

\int_{0}^{t} V_{y} (s) d s

berechnet werden.

seinettbitte7 aktiv_icon

16:44 Uhr, 13.12.2020

Danke für die ausführliche Antwort Dr. Boogie

Im Grunde muss ich nun die Beschleunigungen mit einander addieren und bekomme dann :

Summe

F =

m(-kVx

+

g-kVy) als Bewegungsgleichung raus ?

Wenn ich nun die Ortsgleichungen

X (t)

und

Y (t)

rausbekommen soll, reicht es dazu aus einfach Vx(t) und Vy(t) aufzuleiten ?

Grüße seinettbitte7

DrBoogie aktiv_icon

16:47 Uhr, 13.12.2020

"Im Grunde muss ich nun die Beschleunigungen mit einander addieren und bekomme dann :
Summe F= m(-kVx + g-kVy) als Bewegungsgleichung raus ?"

Dann musst aber auch noch mit entsprechenden Vektoren multiplizieren. Die gesamte Bewegungsgleichung ist in Vektorform. Wobei ich nicht verstehe, wozu du die Vektorform brauchen kannst.

"Wenn ich nun die Ortsgleichungen X(t) und Y(t) rausbekommen soll, reicht es dazu aus einfach Vx(t) und Vy(t) aufzuleiten ?"

Die habe ich doch schon berechnet.

S_{x} (t)

ist

X (t)

und

S_{y} (t)

ist

Y (t)

seinettbitte7 aktiv_icon

16:52 Uhr, 13.12.2020

Ups okay habe ich so nicht erkannt.

Okay dann bedanke ich mich nochmal. Den Rest sollte ich schaffen. Ist ja dank dir nicht mehr all zu viel :-D)

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