Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe

Hey Leute,

habe eine Frage. Hier ist eine Aufgabe mit Lösung, aber ich versteh nicht, wie sie auf die Lösung gekommen ist, also hier die Aufgabe:

In einer Untersuchung soll festgestellt werden, ob Personen, die sich an Wahlen nicht beteiligt haben, dies auch zugeben. Die Wahbeteiligung bei der letzten Wahl betrug 86%. Es wird eine Stichprobe vom Umfang 1250 durchgeführt.

Mit welchem Stichprobenergebnis können wir rechnen? Wie viele Personen werden in der Stichprobe sein, die an der Wahl teilgenommen haben?

Hier nun die Lösung:

Wenn die Wahlbeteiligung 86% war, treffen wir einen Wähler mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p= 0,86 an. Für den Stichprobenumfang

n= 1250 ergibt sich:

${\displaystyle \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1075}$ und

${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\sqrt{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times \mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\times \mathrm{q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$${\displaystyle \approx 12,27}$

Die ${\displaystyle 1,64\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{m<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$umfasst die Ergebnisse 1055, 1056,..., 1094, 1095.

Die ${\displaystyle 1,96\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$- Umgebung umfasst die Ergebnisse 1051, 1052,..., 1098, 1099.

Die ${\displaystyle 2,58\mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$- Umgebung umfasst die Ergebnisse 1044, 1045,..., 1105, 1106.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 90% wird man mindestens 1055, höchstens 1095 Personen befragen, die tatsächlich zur Wahl gegangen sind.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 95% wird man mindestens 1051, höchstens 1099 Wahlgänger erfassen.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 90% wird man mindestens 1044, höchstens 1106 Wähler befragen.

Jetzt zu meiner Frage. Wie kommt man auf diese Ergebnisse? Wir haben doch für ${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$${\displaystyle \approx 12,27}$ ausgerechnet, also wie kommen die dann bitte auf irgendeine 1,64${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$- Umgebung?

Kann mir das vielleicht mal jemand bitte erklären? Ich blick da nicht durch :S

Hi,

diese sog. Sigma-Umgebungen sind bestimmte Umgebungen um den Erwartungswert. Hierbei interessiert man sich häufig für Umgebungen, die eine Sicherheit von 90% oder 95% oder 99% darstellen.

Für diese speziellen Umgebungen gibt es feste Faktoren, die mit der jeweiligen Standardabweichung multipliziert werden. Um also eine 90% Sicherheitswahrscheinlichkeit zu erzielen, ist folgendes zu rechnen:

${\displaystyle 1,64\cdot \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$; um die Intervalle zu erhalten rechnet man:

${\displaystyle \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1,64\cdot \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\le \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1,64\cdot \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, wobei ${\displaystyle \mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ der Erwartungswert ist.

pantau

Achso und das was ich dann raus habe, einfach nur vergleichen in der Tabelle und das dann als Satz als meine Lösung angeben??

Was meinst du mit "Tabelle"?

Wir haben so eine kleine Tabelle wo steht:

90% 1,64${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

95% 1,96${\displaystyle \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

usw.

Aber ich glaube, das geht eh nicht :D

Ich denke ich hab es soo halb wegs verstanden. Wenn ich nach der Art rechne wie du es mir gesagt hast, muss ich dann immer 90% bzw. 95% bzw. 99% nehmen, oder darf ich auch andere Werte nehmen?

Jetzt weiß ich was du meinst;

diese Faktoren bleiben immer gleich, es kommt nur darauf an, nach welcher Sicherheitswahrscheinlichkeit gefragt wird.

Es gibt kaum Aufgabenstellungen, die sich mit anderen Sicherheitswahrscheinlichkeiten als 90%, 95% und 99% befassen. Es gibt natürlich auch andere, die haben dann auch einen entsprechenden Faktor.

z.B. 68,3% entspricht ${\displaystyle 1\cdot \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

95,5% entspricht ${\displaystyle 2\cdot \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

99,7% entspricht ${\displaystyle 3\cdot \mathrm{\sigma <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

pantau

Und warum hat man dann in dieser Aufgabe 90% bzw. 95% bzw. 99% genommen?

Woran konntest du das z.B. ablesen??

Sry, stell mich ein bisschen blöd an, aber will es verstehen können :)

Hier hat man einfach alle drei mal bestimmt; vielleicht nur so aus Spaß:

In der Regel gibt es in den Aufgaben nur eine Sicherheitswahrscheinlichkeit, die gerade interessiert.

Wenn also mal keine Wahrscheinlichkeit vorgegeben ist, kann man sich theoretisch auch eine aussuchen.

pantau

Achsooo, danke schön, das wollte ich wissen :D

Hat mir seeehr geholfen :)