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Schnittgerade einer Ebene mit der xy-Ebene

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Analytische Geometrie, Sonstiges

rubiktubik aktiv_icon

17:31 Uhr, 23.11.2012

Hallo Leute,

ich habe folgende Aufgabe die ich nicht lösen kann:

Ich habe den Punkt

(1,2,3)

gegeben und einen normalen Vektor

n = (5,2,1)

a)

Ich soll also aus diesen Angaben eine Ebenengleichung aufstellen.

b)

Ich soll die Schnittgerade der oben genannten Ebene mit der

x

,y-Ebene berechnen.

Frage:

Ich kann einen Schnittgerade berechenen wenn ich zwei Ebenen in Parameterform oder Koordinatenform habe.

Wie bekomme ich bei Punkt

a)

die Ebenengleichung raus?

Und was ist die Gleichung der xy-Ebene?(Das einzige was mir einfällt ist das man die z-Koordinate weglässt aber was dann?)

Gruß
rubiktubik

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Capricorn-01 aktiv_icon

18:15 Uhr, 23.11.2012

Wenn Du eine Ebenengleichung in der Form ax

+

+

+ d = 0

hast, dann steht der Vektor

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

senkrecht zur Ebene. Hilft Dir das bei

a)

weiter?

die xy-Ebene hat die Gleichung

z = 0

rubiktubik aktiv_icon

18:23 Uhr, 23.11.2012

Bei

a)

ist jetzt klar.
Aber bei der xy-Ebene wenn ich das

z = 0

setze bleibt

x + y =

?
Für die komplette Gleichung fehlt da ja noch was?

rubiktubik

anonymous

19:09 Uhr, 23.11.2012

Die Ebene geht durch

P (1,2,3)

und hat den Normalvektor

n = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

ε : X \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

ε : 5 \cdot x + 2 \cdot y + z = 12

xy-Ebene:

z = 0

Der Schnitt der Ebene

ε

mit der xy-Ebene ist eine Gerade ( Spur ).
Eine Gerade im Raum läßt sich auf zwei Arten darstellen:

a)

ZWEI lineare Gleichungen in jeweils zwei Variablen ( streng genommen sind es zwei projizierende Ebenen, deren Schnittgerade unsere Gerade darstellt. )
Hier also:

5 \cdot x + 2 \cdot y = 12 \land z = 0

5 \cdot x + 2 \cdot y = 12

ist für sich betrachtet eine Gerade in der xy-Ebene.

b)

Parameterdarstellung

g : X = (\begin{matrix} - \frac{2}{5} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})

rubiktubik aktiv_icon

19:52 Uhr, 23.11.2012

Danke für die Antwort das schau ich mir genauer an.

Femat aktiv_icon

20:49 Uhr, 23.11.2012

Hi
Zu erwähnen wäre noch, dass der Richtungsvektor der gesuchten Schnittgerade mit dem Kreuzprodukt der Normalenvektoren der beiden Ebenen gefunden werden kann.In diesem Fall schneidet die Gerade die

x -

und die y-Achse.Ich nähme den Schnittpunkt mit der y-Achse. Gibt hier einen schöneren Wert. Also in der Gleichung für

x

und

z

Null einsetzen gibt

y = 6

damit ist

g : (0; 6; 0) + t \cdot (2; - 5; 0)

Oder die andere Variante: für

y

und

z

Null einsetzen. Gibt

x = 2,4

Womit die Gleichung heisst

g : (2.4; 0; 0) + t \cdot (2; - 5; 0)

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