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Schnittgerade zweier Ebenen Parameterform

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Parameterdarstellung

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19:03 Uhr, 14.08.2012

Hallo,

ich wollte euch fragen ob ich was beim gleichsetzen der zwei Ebenen in Parameterform falsch mache. Zur Info wir müssen es in 3 Gleichungen und 4 Unbekannten LGS lösen.

Die Ebenen sind folgendermaßen gegeben:

E 1 = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 5 \\ 3 \\ - 7 \end{matrix})

E 1 = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}) + u \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})

Jetzt gleichgesetzt

5 + 3 r - 5 t = 1 + 4 s - 1 u

3 - 2 r + 3 t = 1 + 11 s + 1 u

6 + 2 r - 7 t = 3 + 0 s + 3 u

Dann will ich es ins Format do bringen dass die Variablen alle links sind und die Zahlen rechts, dass ich die oder andere Variable weglassen kann weiss ich, ich habs jetz nur noch mal zur Verdeutlichung gemacht

5 + 3 r - 5 t = 1 + 4 s - 1 u / - 5 / - 4 s / + u

3 - 2 r + 3 t = 1 + 11 s + 1 u / - 3 / - 11 s / - u

6 + 2 r - 7 t = 3 + 0 s + 3 u / - 6 / - 0 s / - 3 u

Letztendlich sieht das dann so bei mir aus

3 r - 5 t - 4 s + u = - 4

- 2 r + 3 t - 11 s - u = - 2

2 r - 7 t - 0 s - 3 u = - 3

Und das dann in Lgs-Form

r

--t----s----u--Zahl

3 - 5 - 4 + 1 = - 4

- 2 + 3 - 11 - 1 = - 2

2 - 7 - 0 - 3 = - 3

So siehts dann bei mir zuletzt aus

(\begin{matrix} 3 & - 5 & - 4 & 1 & - 4 \\ 0 & \frac{11}{3} & \frac{451}{3} & \frac{11}{3} & \frac{154}{3} \\ 0 & 0 & - 153 & 0 & - 51 \end{matrix})

Las Schnittgerade soll

g : (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 3 \end{matrix})

Ganz wichtig: Was ich absolut gar nicht nachvollziehen kann ist, dass wenn ich das LGS gelöst habe und dann die Gerade berechnen will kommt nicht das raus was rauskommen sollte.. Aber das merkwürdige ist, dass wenn ich zuletzt meine

- 4

errechneten Unbekannte zur Kontrolle in die 1. Gleichung einsetzten kommt das raus was raus kommen soll nämlich 4. Hier sind meine Ergebnisse der Variablen

r = - \frac{1}{3} t = \frac{1}{3}

und

u = 0

.
und diese errechneten variablen zur Kontrolle in 1. Gleichung

3 r - 5 t - 4 s + u = - 4

3 \cdot - \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{1}{3} + 0 = - 4

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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00:11 Uhr, 15.08.2012

Ich verstehe nicht, warum Du mit dieser Aufgabe jetzt noch einen zweiten Thread öffnest!?
Warst Du mit den Antworten von michaL und mir unzufrieden?

Immerhin erklärst Du ja jetzt hier, weshalb Du Deine Rechnung für falsch hieltst. (Gestern war aber nichts falsch!)

Als Lösung des LGS gibst Du an:

r = - \frac{1}{3}

t = \frac{1}{3}

u = 0

s = \frac{1}{3} (s

hast Du vermutlich nur vergessen hinzuschreiben)

Dies ist EINE Lösung des LGS (wenn Du das kontrollieren willst, musst Du das in alle drei Gleichungen einsetzen; stimmt aber). Diese eine Lösung liefert Dir einen Punkt auf beiden Ebenen, also einen Punkt der Schnittgeraden.

Dein LGS

(3

Gleichungen, 4 Variablen) hat unendlich viele Lösungen, die zusammen die Schnittgerade ergeben.

Was hast Du denn gelernt, wie man diese Schnittgerade jetzt bestimmt?
Normalerweise bestimmt man alle Lösungen, zwei spezielle (eine hast Du schon) würden aber auch ausreichen.

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