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Schnittkreisgleichung bestimmen

Schüler

Tags: Analytische Geometrie

Sabine2 aktiv_icon

19:15 Uhr, 29.09.2012

Hallo,
wenn ich eine Ebene und eine Kugel gegeben habe und diese sich Schneiden, kann ich ja den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises angeben.

Kann ich aber auch eine Gleichung des Schnittkreises angeben?

Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Atlantik aktiv_icon

19:24 Uhr, 29.09.2012

Nimm mal an, dass die Kugel den Radius

r_{K} = 5

hat, dann lautet die Kreisgleichung

x^{2} + y^{2} = 25

mfG

Atlantik

maxsymca

20:55 Uhr, 29.09.2012

Wir befinden uns im

R^{3}

und eine Ebene schneidet eine Kugel nicht zwangsläufig im Kugelmittelpunkt. Was Atlantik angibt beschreibt im Raum einen Zylinder...
Kreis:

\vec{x} = M + r \cdot \vec{u} \cdot cos (t) + r \cdot \vec{v} \cdot sin (t)

M(Mittelpunkt) r(Radius)

u, v

zueinander orthogonale Vektoren mit der Länge 1 aus der Ebene in der der Kreis liegt.

Sabine2 aktiv_icon

21:39 Uhr, 29.09.2012

Ja genau, über die Version von Atlantik habe ich auch schon nachgedacht, das wäre aber nur möglich, wenn der Schnittkreis in einer der Koordinatenebenen liegt, oder? Wie würde ich denn sehen, ob der Schnittkreis dies erfüllt?
Wieso beschreibt

x^{2} + y^{2} = 25

ℝ^{3}

einen Zylinder?
Zu deiner Antwort maxsymca:
Wie bitte kommt man da drauf?

Sabine2 aktiv_icon

23:29 Uhr, 29.09.2012

Ich hab hier noch folgendes gesehen: www.onlinemathe.de/forum/Kreis-im-dreidimensionalem-Raum

Wie kommt der Antworter in seinem letzten Beitrag darauf, dass

z

immer 3 sein muss?

prodomo aktiv_icon

10:02 Uhr, 30.09.2012

Zur Antwort von Maxsymca: du musst die Gleichungen als Bedingungen für Punktmengen lesen. Da über

z

nicht gesagt ist, kann das beliebig sein, der Kreis also in jeder Höhe liegen. So bilden alle Punkte einen Zylinder(-mantel).

Sabine2 aktiv_icon

10:13 Uhr, 30.09.2012

Okay, aber wenn der Schnittkreis in einer der Koordinatenebenen liegt, dann kann man seine Gleichung doch in der Form

{(\vec{x} - \vec{m})}^{2} = r^{2}

angeben, oder? Wie aber bemerke ich, ob der Schnittkreis in einer der 3 Koordinatenebenen liegt?

Zu der Gleichung: Also

\vec{x}

ist ein Punkt auf dem Schnittkreis? und

t \in ℝ

ist sowas wie der Parameter einer gewöhnlichen Geradengleichung?
Wie erhalte ich mit dem Wissen denn aber nun diese Kreisgleichung für einen Kreis in

ℝ^{3}

maxsymca

11:40 Uhr, 30.09.2012

Grundsätzlich:
Eine Koordinatengleichung, also sowas wie

K 1 : {(\vec{x} - \vec{m})}^{2} = r^{2},

beschreibt eine Fläche im

R^{3} -

hier eine Kugel - oder eine Ebene,

z . B

E 1 : \vec{n} . (\vec{x} - \vec{p}) = 0

.
Wenn DU für Flächen eine Parameterdarstellung angibst brauchst Du 2 Freiheitsgrade, Parameter, sind also 2-dimensionale Teilmengen des

R^{3}

.
Schneidet man zwei Flächen erhält man ggf. eine 1-dimensionale Teilmenge,

z . B

. eine Gerade oder einen Kreis(linie) oder

...

.

Ein Kreis liegt dann in einer Koordinatenebene, wenn eine Kugel eine Koordinatenebene schneidet. Um in Koordinatengleichungen zu sprechen kannst Du eine Kugel eine Ebene schneiden lassen - diese 2 (Koordinaten)Bedingungen beschreiben einen Kreis. Oder Du gehst über zu Parametergleichungen - da genügt eine Vektorgleichung, die hab ich Dir in meinen letzten Post für den Kreis genannt.

Konstruktionsprinzip eines Schnittkreises Ebene/Kugel
Kreismittelpunkt = Lot von Kugelmittelpunkt auf die Schnittebene
Radius Kreis über Pythagoras
Kreisradius = sqrt(Kugelradius^2 - streckeLaenge(kugelMittelpunkt,KreisMittelpunkt))
Zu einem Richtungsvektor der Ebene konstruiere einen senkrechten Vektor der Ebene
Normieren der Kreisvektoren

Sabine2 aktiv_icon

12:22 Uhr, 30.09.2012

Ja, das ist mir alles eigentlich klar. Mich interessiert, wie du auf die genannte Parameterdarstellung kommst.

prodomo aktiv_icon

13:23 Uhr, 30.09.2012

Ich mache es mal an einem Beispiel. In der Ebene

E : (\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot \vec{x} - 9 = 0

liegt der Punkt

M (1 | 3 | 3)

. Um ihn soll ein Kreis mit dem Radius 3 gezogen werden, dessen Parametergleichung gesucht ist.
Wir suchen in der Ebene zwei Vektoren der Länge

3,

die zueinander senkrecht sind. Beim ersten ist die Richtung noch egal. Gut passt

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}),

der hat auch gleich die richtige Länge. Den zweiten bekommen wir jetzt leicht mit dem Kreuzprodukt aus dem ersten und dem Normalenvektor.

(\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 10 \\ 7 \end{matrix})

. Der ist noch etwas zu lang, wir kürzen ihn auf 3 LE, indem wir ihn durch

\sqrt{17}

teilen. Jetzt lassen wir einen Pfeil der Länge 3 um

M

auf dem Kreis entlang laufen. Dieser Radiusvektor lässt sich immer durch

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \cdot cos (t) + \frac{1}{\sqrt{17}} \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ - 10 \\ 7 \end{matrix}) \cdot sin (t)

darstellen.
Den ersten Vektor habe ich hier durch Probieren gefunden allgemein geht es aber immer über die Parameterform der Ebene mit bden Richtungsvektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

mit der Gleichung

(s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0

. Daraus bekommst du

t = t (s)

und damit die richtige Richtung. Die Länge wird dann gekürzt.

Sabine2 aktiv_icon

14:13 Uhr, 30.09.2012

Okay, dazu einige Fragen:

1)

Die Ebene ist in der Normalenform gegeben, wie erhalte ich hierraus die Parameterform?

2)

Wenn ich dieses

t (s)

habe, was fange ich dann mit diesem an?

3)

Wieso liegt der Vektor

(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

in der Ebene? Wenn ich diesen einsetze komme ich auf

- 9 = 0

4)

Die orthogonal zueinander stehenden Vektoren der Ebene kann man sich doch anschaulich als gebasteltes Koordinatensystem vorstellen, oder? Wie kommt man aber nun auf die Beziehung mit dem sin und dem cos?

Sabine2 aktiv_icon

19:42 Uhr, 30.09.2012

Eine weitere Frage:

5)

Wie ist der Parameter

t

zu verstehen. Es ist bestimmt ein Winkel. Gilt aber

0 \leq t \leq 2 \cdot π

oder

0 \leq t \leq 360

? Und wieso?

Frage

3)

hat sich erledigt. Aber dein anderer Vektor, den durch duch das Kreuzprodukt gefunden hast, ist ja nicht senkrecht zum Normalenvektor der Ebene. Muss er dies aber nicht sein?

prodomo aktiv_icon

20:07 Uhr, 30.09.2012

Doch, er ist senkrecht zu

\vec{n}

. Das ist ja gerade der Trick. Und deine Idee mit dem "gebastelten" KS ist richtig.
Für die Parameterform musst du 3 Punkte aus der Normalenform suchen, die nicht auf einer Geraden liegen.

Sabine2 aktiv_icon

20:12 Uhr, 30.09.2012

Aber

(\begin{matrix} - 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 10 \\ 7 \end{matrix}) = 6 + 20 + 14 \neq 0

.
Wieso ist der denn senkrecht?

prodomo aktiv_icon

20:22 Uhr, 30.09.2012

(\begin{matrix} - 2 \\ - 10 \\ 7 \end{matrix})

prodomo aktiv_icon

20:24 Uhr, 30.09.2012

Sehe gerade, ich hatte einen Tippfehler, aber danach ist es dann richtig.

Sabine2 aktiv_icon

20:27 Uhr, 30.09.2012

okay, so macht das Sinn. :-)
Folgendes: Ich verstehe das grade eigentlich überhaupt nicht. Es ist aber auch nicht notwendig, dass ich das verstehe, aber aus Interesse würde ich es schon nachvollziehen können. Also wenn du Lust hast, würde ich gleich mal alles schreiben was ich zur Lagebeziehung zwischen Ebene und Kugel verstanden habe. Darauf können wir dann aufbauen. Wenn du aber sagst du hast da keine Lust drauf, dann verstehe ich das und wir lassen es ;-)

prodomo aktiv_icon

08:30 Uhr, 01.10.2012

Sorry, gestern lief THW gegen Madrid, danach ging nicht wirklich mehr viel. Schreibe ruhig, wo Haken sind, jetzt kommen hier 2 bewegliche Ferientage und dann die Herbstferien. Meine Klausuren sind korrigiert (Puh!), aber Handwerker stehen ins Haus, nach dem 6. geht also erstmal nichts mehr.

Sabine2 aktiv_icon

15:06 Uhr, 01.10.2012

haha okay, verständlich :-D)
Also ich fange dann mal an:
1. Ebene schneidet bzw. berührt Kugel nicht.
2. Ebene ist Tangentialebene zur Kugel.
3. Ebene schneidet Kugel im Schnittkreis.

Bei 1. gibt es nichts weiter zu berechnen.
Bei 2. kann man den Berührpunkt berechnen.

Soweit alles klar, auch das Prinzip, wie man es ausführt.
Mein Problem liegt bei

3 . :

Am besten, wir nehmen uns ein Beispiel:

E : 5 x_{1} + 6 x_{2} - 3 x_{3} = 11

K : {(x_{1} - 3)}^{2} + x_{2}^{2} + {(x_{3} + 1)}^{2} = 9

Ich habe also indirekt den Mittelpunkt der Kugel

M (3 | 0 | - 1)

und den Radius

r = 3

gegeben.
Für den Abstand der Ebene zum Kugelmittelpunkt

M

benötige ich die Hessesche Normalenform der Ebene:

E : \frac{1}{\sqrt{70}} \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot \vec{x} - \frac{11}{\sqrt{70}} = 0

Der Abstand

d

beträgt dann

d = | \frac{1}{\sqrt{70}} \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) - \frac{11}{\sqrt{70}} | = \frac{7}{\sqrt{70}}

d < r,

schneidet die Ebene die Kugel in einem Kreis.
Um den Mittelpunkt

M_{S}

des Schnittkreises zu erhalten, bilde ich eine Gerade wie folgt:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + λ \cdot \frac{1}{\sqrt{70}} \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix})

Für

λ = d

erhalte ich

\vec{m_{s}} :

\vec{m_{s}} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + \frac{1}{10} \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3,5 \\ 0,6 \\ - 1,3 \end{matrix})

Für den Radius des Schnittkreises gilt nach Pythagoras:

r_{s} = \sqrt{r^{2} - d^{2}} = \sqrt{9 - \frac{70}{100}} = \frac{\sqrt{830}}{10}

So, soweit war das ja nicht weiter schwer. Mein Ziel ist es nun, einen Schnittkreis zu bestimmen, bzw. deren Gleichung. Dazu würde ich gerne mal drei Fälle durchgehen:

I. Der Schnittkreis liegt in einer Koordinatenebene. Also in der Ebene

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})) = 0 (x_{1}, x_{2}

-Ebene),

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})) = 0 (x_{1}, x_{3}

-Ebene),

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\vec{x} - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})) = 0 (x_{2}, x_{3}

-Ebene).
(Stimmen die Ebenengleichungen?)
Wenn das der Fall ist, wie kann ich die Schnittkreisgleichung dann angeben?

II. Die Ebene, in der der Schnittkreis liegt, ist parallel zu der Koordinatenebene.Erste Frage, wie weise ich die Parallelität nach?: Der Normalenvektor muss identisch sein, bzw. sie müssen Vielfache voneinander sein. Dies könnte aber immer noch bedeuten, dass die Ebenen zueinander identisch sind. Also muss zudem noch gelten, das der Punkt

P

auf der Ebene, die Parallel zur Koordinatenebene sein soll, nicht identisch mit dem Punkt auf der Koordinatenebene ist. Er darf auch kein Vielfaches des anderen Punktes sein.
Wie gebe ich in diesem Fall eine Kreisgleichung an?

III. Die Schnittkreisebene liegt gänzlich schief im Raum. Wie gebe ich in diesem Fall eine Kreisgleichung an?

Am besten wir beginnen mit I. und II. und mit meinem Beispiel.

Auf jeden Fall schonmal tausend Dank! :-)

maxsymca

21:42 Uhr, 01.10.2012

Gut, dann misch ich mich nochmal ein.
Ich hab mal ein Bild von Deinen Berechnungen gemacht:

A = [\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}]

Kugelmittelpunkt und

B : [\begin{matrix} \frac{7}{2} \\ \frac{3}{5} \\ - \frac{13}{10} \end{matrix}]

ist der von Dir berechnete Mittelpunkt

M_{s}

des Schnittkreises

Überlege mal, was schiefgelaufen ist?

Sabine2 aktiv_icon

22:04 Uhr, 01.10.2012

Huch, da ist ein Fehler drinnen? Das wundert mich nun aber doch, weil wir die Aufgabe heute im Unterricht besprochen hatten und genau das raus hatten.
Naja der einzige Fehler, der hätte passieren können, ist, dass der Normalenvektor in die andere Richtung zeigt und es in meiner Geradengleichung - und nicht

+

heißen muss, oder?

Mal ne andere Frage: Mit welchem Programm lässt du dir das zeichnen?

maxsymca

22:20 Uhr, 01.10.2012

Ja, das ist es...
Der Schnittkreis liegt auf der anderen Seite - gut erkannt. Deswegen hab ich auch gesagt Fälle das Lot auf die Ebene!

Ich hab mir zu einem CAS (wxMaxima) die nötigen Routinen geschrieben - findest Du unter www.lemitec.de/maxima.html
das sag ich einfach

E1:5*x+6*y-3*z-11$
K2:lageUntersuchungEbeneKugel(E1,

[

3,0,-1],3);
"Ebene schneidet die Kugel im Kreis"
"Mittelpunkt Km: "

[

5/2,-3/5,-7/10]" Radius Kr: "sqrt(83)/sqrt(10)

[\frac{15 \cdot \sqrt{83} \cdot sin (t)}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2135}} - \frac{6 \cdot \sqrt{83} \cdot cos (t)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{61}} + \frac{5}{2}, \frac{9 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{83} \cdot sin (t)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2135}} + \frac{5 \cdot \sqrt{83} \cdot cos (t)}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{61}} - \frac{3}{5}, \frac{61 \cdot \sqrt{83} \cdot sin (t)}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2135}} - \frac{7}{10}

Sabine2 aktiv_icon

06:55 Uhr, 02.10.2012

Okay, also muss ich auch immer noch gucken, ob mein Normalenvektor der Ebene zum Mittelpunkt

M

hinzeigt, oder wegzeigt. An und für sich wäre es besser, wenn er vom Punkt wegzeigt. Tut er dies nicht, multipliziere ich ihn mit

- 1

.
Aber wie bekomme ich raus, in welche Richtung er zeigt?

prodomo aktiv_icon

10:19 Uhr, 02.10.2012

Die Richtung ist nur dann wichtig, wenn du direkt gleich

d

setzt. Sicherer (weil von der Richtung unabhängig) ist es, den Durchstoßpunkt mit

E

zu berechnen. Dabei wird ggf.

λ

negativ, falls

\vec{n}

andersherum liegt.

Sabine2 aktiv_icon

16:59 Uhr, 02.10.2012

Okay, ich verstehe was du mienst. Das ist dann aber natürlich aufwendiger. Anderer Vorschlag von meiner Seite aus: Ich berechne ja in jedem Fall den Abstand. Dafür setze ich ja in die Hesseform der Ebene ein und erhalte einen Wert. Dieser kann positiv oder negativ sein. Für den Abstand ist er auf jeden Fall positiv, weil ich ja den betrag nehme, kann ich in meine Geradengleichung aber nicht einfach den Wert für

λ

einsetzen, den ich für

d

erhalte OHNE den Betrag genommen zu haben?

Falls dem so ist, hätte ich gerne eine kleine Begründung, wieso ich das darf. Schließlich muss man in Klausuren ja auch alles Begründen..

Sabine2 aktiv_icon

17:38 Uhr, 02.10.2012

Kann man jemand nochmal genau erklären, wie ich mit dem Programm wxMaxima zeichnen (Kugeln und Ebene) kann? Ich kenne mit mit sowas überhaupt nicht aus. In der Anleitung die ich hier gefundne habe steht immer was von load(angeom), wenn ich das aber eingebe, meint er, dass er das nicht finden kann.

Sabine2 aktiv_icon

20:35 Uhr, 02.10.2012

Das was ich meinte passt garnicht.. Ich hatte ja quasi keinen negativen Abstand raus..

: (

maxsymca

20:45 Uhr, 02.10.2012

Ein positiver Abstand sagt aus, dass der Normalenvektor der Ebene auf den Punkt deutet - Normalenvektor und Punkt auf der gleichen Seite der Ebene liegen. Und wen Du den Normalenvektor an den Punkt dran hängst, dann führt das noch weiter von der Ebene weg...

Bezüglich CAS steht alles auf meiner Website, mit Videobeispiel, 3 Musteraufgaben und mehrere Dutzend Beispielaufgaben im angeom-Paket - Wenn DU konkrete Fragen hast darfst Du mich gerne anmailen. Oder mach einen eigenen Thread dazu auf...

Sabine2 aktiv_icon

20:51 Uhr, 02.10.2012

Haha, daher der Name und dein Profilbild habe ich auch eben erst wahrgenommen :-D)
Ich war aber auch auf deiner Seite, bzw habe mir da das Handbuch gedownloadet. Da stand dann irgendwann was von load(angeom) als ich das aber eingab, wollte er nicht.
Okay ich fasse dann mal zusammen: Wenn der Abstand positiv ist, muss ich den negativen Abstand einsetzen. Wenn der Abstand

d

negativ ist, ist es für mich optimal und ich muss einfach nur

d

einsetzen.

Mal was anderes, ich wollte eben einige Aufgabe mit Prodomos Weg nachhrechnen, habe da aber ein kleines Problem:

E : (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot \vec{x} - 11 = 0

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix})

Ich muss

g

E

einsetzen.

(\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix}) - 11 = 0

Und hier ist mein Problem. Müssen da Klammern rum? Also:

(\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ - 3 \end{matrix})) - 11 = 0

? Und wenn dem so ist, darf ich dann das Distributivgesetz anwenden? Ich weiß nicht inieweit es sowas bei der Skalarmultiplikation gibt.

maxsymca

21:21 Uhr, 02.10.2012

Du bist ja ein schneller Merker :-)...
In den Beispielen sieht Du nach dem load auch die Pfadangabe wo angeom.mac liegen muss um in dieser Kurzform geladen werden zu können - ansonsten musst Du den Pfad zur Bibliothek auch vollständig angeben (Seite Sieben in Handbuch).

Nachdem die Gerade an die Stelle des

\vec{x}

gesetzt wird müssen da wohl Klammern rum. Das mit dem Distributivgesetz kannst Du dir selber überlegen - Du musst nur das Skalarprodukt mal berechnen...
Du darfst übrigens die Gerade auch gerne so

g : \vec{x} = [\begin{matrix} 3 + 5 \cdot s \\ 6 \cdot s \\ - 1 - 3 \cdot s \end{matrix}]

aufschreiben - vielleicht erübrigt sich dann die Frage?

Sabine2 aktiv_icon

22:09 Uhr, 02.10.2012

Okay, ich nehme also an, dass das Destributivgesetz gilt. Richtig?

Sabine2 aktiv_icon

22:20 Uhr, 02.10.2012

Wo bekomme ich denn den Pfad her? Ich habe wirklich keine Ahnung

: (

Worin liegt eigtl der Unterschied zwischen XMaxima und wxMaxima?

maxsymca

12:34 Uhr, 03.10.2012

Ich stelle Dir eine Datei (angeom.mac) zur Verfügung, die Prozeduren zur Lösung der gängigen Fragen der analytischen Geometrie enthält. Du hast ein CAS wxMaxima das hat keine Ahnung von analytischer Geometrie. wxMaxima muss meine Datei verarbeiten um Dir diese angeom-Prozeduren zur Verfügung zustellen. Also musst DU diese Datei angeom.mac auch laden um wxMaxima mit den darin enthaltenen Prozeduren bekannt zu machen:
Das kannst Du machen via Datei | Paket laden oder du speicherst die Datei dort, wo wxMaxima alle seine Bibliotheken ablegt, dann genügt ein load(angeom)im Programmtext.

XMaxima ist ein GUI (mit Wurzeln bei Unix/Linux) und nicht wirklich komfortabel - muss man nicht haben. wxMaxima ist ein GUI für Win/Linux/Unix/Mac und einigermaßen komfortabel und hat grafische Schnittstellen für GNUPLOT/VTK.
Alles klar?

Sabine2 aktiv_icon

13:15 Uhr, 03.10.2012

Okay, alles klar. Aber wo bekomme ich die Datei angeom.mac her?

Zurück zu meinem eigentlichen Problem:
Also in meinem Beispiel ist der Schnittpunkt falsch berechnet, das weiß ich nun. Ich muss

- d

einsetzen und nicht

+ d

. Aber wir können ja trotzdem mit dem Wert weiterrechnen.
Es wäre super, wenn wir nun auf meinen Beitrag vom

1.10

. 15:06Uhr eingehen könnten :-)

maxsymca

13:57 Uhr, 03.10.2012

Also lesen ist nicht Deine stärke ;-)...
Wenn ich eine ganze Website zu dem Thema analytische Geometrie mit wxMaxima voll schreibe, dann wird vielleicht auch ein Download zu dem Thema dabei sein?

Gleiches zu Deiner anderen Frage das hat

prodomo

13 : 23

Uhr,

30.09.2012

schonmal sauber erklärt. Nur würd ich das Problem in soweit vereinfachen, dass ich aus den Richtungsvektoren, sagen wir

\vec{u}

und

\vec{v},

der Ebene ein paar zueinander senkrechte Vektoren konstruieren würde, indem in einen behalte und einen dazu senkrechten raussuche. Was dann zu

\vec{u}

(\vec{u} + t \cdot \vec{v}) = 0

führt - normieren nicht vergessen.

Sabine2 aktiv_icon

14:53 Uhr, 03.10.2012

Mh, ich habe auf der Website nur einen Link zum Download von wxMaxima gefunden, das habe ich mir dann runtergeladen. Angeom.mac war aber nicht dabei.

Können wir die drei Fälle (Schnittkreis liegt in Koordinatenebene, SK liegt parallel zur KE und SK liegt schief im Raum) nicht alle nach und nach durchgehen?
Ich konnte mit der Antwort nichts anfangen (sonst hätte ich die Frage danach ja auch nicht gestellt), weil ich garnicht weiß wozu ich das machen soll, warum ich das machen soll,...

Fangen wir einfach mal mit dem ersten Fall an.
Ich habe nun einen ermittelten Radius und Mittelpunkt des Schnittkreises.
Liegt der Schnittkreis in der

x_{1}, x_{2}

-Ebene, so ist doch die Schnittkreisgleichung

{((\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ 0 \end{matrix}) - \vec{m_{s}})}^{2} = r^{2}

. Wobei das irgendwie keinen Sinn ergiebt, weil es eine Kugelgleichung ist.

maxsymca

15:20 Uhr, 03.10.2012

Nein, das Paket angeom ist nicht bei Maxima dabei, Du musst es von meiner Website downloaden - wo angeom draufsteht ist auch angeom drin ;-)...

Na dann...
Du hast behauptet verstanden zu haben, dass Koordinatengleichungen Flächen darstellen?
Wie so wundert Dich jetzt, dass Du eine Kugel mit Deiner Gleichung erhälst?
Eine Kreis(linie) gehorcht der Vektorgleichung mit den hoffentlich bekannten Bedingungen bezüglich

r_{o}, \vec{u}, \vec{v}

K : \vec{x} = M + r_{o} \cdot \vec{v} \cdot sin (t) + r_{o} \cdot \vec{u} \cdot cos (t);

Nehmen wir

K_{x y} : M + r_{o} \cdot [1,0,0] \cdot sin (t) +

ro*

[

0,1,0]*cos(t);

Was hammer jetzt?

Sabine2 aktiv_icon

16:25 Uhr, 03.10.2012

Kannst du mir bitte einen Link schicken, ich weiß nicht, wo ich es auf deiner Seite finde.

Ich wunder mich, weil ein Kreis ja nicht das selbe ich wie eine Kugel, ich aber einen Kreis als Ergebnis bekommen müsste.

Die Gleichung verstehe ich nicht. Und ich will nicht etwas benutzen, was ich nicht verstehe. Wie kommt der

cos

da rein, wie der sin? Wie kann man sich diese Gleichung veranschaulichen?
Kann man die ersten zwei Fälle nicht irgendwie so erklären, ohne dieses Monster zu benutzen?

Zu deiner Frage: Wir haben einen Kreis in der

x - y

Ebene mit dem Mittelpunkt

M

und dem Radius

r_{0}

maxsymca

16:36 Uhr, 03.10.2012

In Deinen Antworten schwingt die Aussage mit: Wasch mich, aber mach mich nicht nass...
Welches Monster?
Wenn Du einen Kreis verstehen willst, dann musst Du einen aufmalen. Am besten einen mit

r = 1

. Dann zeichnest Du ein paar Punkte auf den Kreis und betrachtest die Koordinaten durch das dabei entstehende rechtwinklige Dreieck - dabei hast Du die Definition von

\frac{sin}{cos}

im Hinterkopf wenn Du die Koordinaten der Punkte aufschreiben willst - hast Du?
Dann

z . B

. hier www.frustfrei-lernen.de/mathematik/einheitskreis.html

Sabine2 aktiv_icon

16:44 Uhr, 03.10.2012

Wäre das so, dann würde ich diese Kreisgleichung (das meine ich übrigens mit Monster) einfach so hinnehmen und nicht so einen Aufstand davon machen, sie irgendwie verstehen zu wollen.
In Bezug auf angeom.mac mag es so rüberkommen, aber ich finde es auf der Seite www.lemitec.de/load.php?name=News&file=article&sid=79 nicht! Natürlich suche ich zunächst selbst und frage dann. Aber auf der Seite unter "Downloads" finde ich nur Materialien.
Soviel erstmal dazu, jetzt male ich erstmal Kreise... :-P)

maxsymca

17:40 Uhr, 03.10.2012

Hm,

besser ist es in Mathematik einen Sachverhalt zu verstehen. Aber grundsätzlich wendet man das Blackbox-Prinzip gerne und oft an. Alles eine Frage des Zeitmanagement und der Geduld. Ich weiß jetzt nicht wie wichtig das Thema für Dich ist? Fürs Abitur könntest Du es vielleicht dabei belassen, dass Du weisst, wo Du die Gleichung für einen Kreis im Raum wiederfinden kannst - wenn davon gebrauch gemacht werden soll?

Ach noch was, das Bild sagt eigentlich alles:
http//www.frustfrei-lernen.de/images/mathematik/einheitskreis-sin-cos.jpg

Website:
<ausschnitt für Download-Link>
Inhalt ANGEOM Lisp-Mac-Bibliothek (Download)

ev(Ausdruck, Argument=Wert); auswerten

... ... ... . 2

solve(Gleichung, Argument); lösen

... ... ... ... ... 3

Terme vereinfachen faktorisieren ausmultiplizieren..4
Analytische Geometrie mit Maxima/angeom.mac

... ... . . 5

</ausschnitt>

Sabine2 aktiv_icon

17:59 Uhr, 03.10.2012

Nein, fürs Abitur ist das nicht von Bedeutung. Eher so für die persönliche Zufriedenstellung ;-)
Also ich bin auch ehrlich gesagt nicht weiter.. Ich habe nur, was ich aber schon wusste, herausgefunden das

x = cos (α)

und

y = sin (α)

im Einheitskreis ist. Aber was hat doch nicht wirklich viel mit meinem Problem zu tun, oder? Also dass ich

\vec{u}

und

\vec{v}

mit de Radius multiplizieren muss, erscheint mir logisch. Auch die Verknüpfung mit

+

macht sinn. Aber wieso

cos

und sin?..

Ja, die zip datei hatte ich schon geladen gehabt, wusste aber damit nichts anzufangen. In dem Ordner ist ja keine exe datei oder so, die ich irgendwie instellieren kann. Ich bin im übrigen immernoch weiblich, also erwarte keine technischen Meisterleistungen von mir :-P)

Sabine2 aktiv_icon

19:33 Uhr, 03.10.2012

Ich glaube ich hatte grade ein erstes Erfolgserlebnis mit dem "Monster".
Von dem Punkt

m'

gehen wir

r \cdot cos (α)

IN Richtung

u

und von dort aus

r \cdot sin (α)

in Richtung

v

.
Der Einfachheit halber liege

m_{s}

nun einfach mal im Ursprung. Für einen Punkt

x

auf dem Kreis sei

x

die x-Koordinate und

y

die y-Koordinate. Dann gilt:

x = cos (α) \cdot r, y = sin (α) \cdot r

.
Das erklärt dann die Kreisgleichung, juhu ich habs verstanden! :-)

\vec{x} = \vec{m_{s}} + r \cdot cos (α) \cdot \vec{u_{0}} + r \cdot sin (α) \cdot \vec{v_{0}}

Wenn ich nun zwei Einheitsvektoren

u

und

v

ermittelt habe (die natürlich senkrecht zueinander sind), ist es dann egal, was ich in meiner Kreisgleichung für

u

und was für

v

einsetze?

maxsymca

21:35 Uhr, 03.10.2012

Ich glaube Du machst Fortschritte? :-)

Für

\vec{u}

und

\vec{v}

der Kreisgleichung muss nur gelten, dass sie die Länge 1 haben und senkrecht zueinander sind.
Andere

\vec{u}

oder

\vec{v}

beeinflussen wo der "Kreis anfängt" und die Drehrichtung.

in angeom Syntax
M:

[

3,2,0]$ ro:3$
PlottVektor:

[

M,ro*[1,0,0]]$
PlottVektor1:

[

M,ro*[0,1,0]]$

K 1 : M +

ro*

[

0,1,0]*sin(t)

+

ro*[1,0,0]*cos(t);

/ \cdot

Drehen wir 4 Punkte auf dem Kreis mit

t = \frac{\cdot}{}

A : K 1,

t=0$

B : K 1,

t=%pi/2$

C : K 1,

t=%pi$

D : K 1,

t=%pi*3/2$
O:

[

A,B,C,D,M]$ PLOTT_L([],[K1],-1,6)$

/ \cdot

nehmen wir andere Vektoren nv, cv der Länge

r \frac{\cdot}{}

nv:K1-M,t=%pi/4;
cv:K1-M,t=%pi/4+%pi/2

K 2 : M +

nv*sin(t)

+

cv*cos(t);

A : K 2,

t=0$

B : K 2,

t=%pi/2$

C : K 2,

t=%pi$

D : K 2,

t=%pi*3/2$
PlottVektor:

[

M,nv]$
PlottVektor1:

[

M,cv]$
O:

[

A,B,C,D,M]$ PLOTT_L([],[K2],-1,6)$

Sabine2 aktiv_icon

22:15 Uhr, 03.10.2012

Mit "wo der Kreis anfängt" meinst du, wo für

α = 0

der erste Punkt ist?
Wenn ich nun einen Kreis in einer Koordinatenebene habe, dann ist es ja prinzipiell alles zweidimensional. Nehmen wir mal als Beispiel einen Kreis in der

y

und

z

Ebene. Kann ich dann in der Kreisgleichung die

x

Werte, die ja eh alle 0 sind, weglassen, wodurch ich nur Vektoren aus

ℝ^{2}

erhalte?

Ich glaube du hast mich falsch verstanden. In Sachen Kreisgleichung habe ich Fortschiritte gemacht, ja, aber in Sachen Software überhaupt nicht.
Ich hab immernoch noch nicht diese angeom.mac Datei gefunden. In der .zip Datei sind doch nur Beispiele und eine Anleitung. Was muss ich also machen, um angeom nutzen zu können?
(Mal am Rande: Immerhin kann ich jetzt mit wxMaxima

3 D

Graphen plotten :-D) )

maxsymca

10:47 Uhr, 04.10.2012

Wenn DU Dich im

R^{3}

bewegst, dann haben die Vektoren notwendigerweise 3 Koordinaten. Das in Sonderfällen eine Koordniate

= 0

sein muss um einen Unterraum, Teilmenge des Raumes zu beschreiben, ist doch auch eine Bedingung, Aussage, und kann nicht einfach weggezaubert, vernachlässigt, werden. Ansonsten bleib im

R^{2},

dann bist Du das Monster los...

Vielleicht würde es helfen die zip-Datei auszupacken und in einen wiederfindbaren Ordner abzuspeichern. Sie enthält alles, was zum Paket gehört. Langsam mache ich mir Sorgen um Deine Augen. Wie wäre es mit einer Brille?

Sabine2 aktiv_icon

10:57 Uhr, 04.10.2012

Wie würde es denn in

ℝ^{2}

aussehen? Hätte ich da etwas wie

{(\vec{x} - (\begin{matrix} m_{1} \\ m_{2} \end{matrix}))}^{2} = r^{2}

?
In meinem Mathebuch steht in etwa folgendes: Wir müssen uns damit begnügen, für den Schnittkreis den Radius und den Mittelpunkt angeben zu können. Für den Fall, dass der Schnittkreis in einer Koordinatenebene liegt, können wir die Kreisgleichung jedoch angeben. Daher ja meine Frage.. Wenn das Buch das "Monster" nicht erwähnt, aber trotzdem meint, dass man die Kreisgleichung in einer Koordinatenebene angeben kann, dann muss dies doch aber ohne das Monster möglich sein.

Also eine Brille habe ich schon :-D) Es liegt nicht am Sehen bzw. nicht sehen. Ich glaube ich verstehe das ganze Prinzip einfach nicht. Wozu ist die zip Datei da?

maxsymca

13:45 Uhr, 04.10.2012

R^{2}

hast Du einen Kreis beschrieben, ja...
Das Buch meint, wenn Du eine Koordinatenebene für sich alleine betrachtest, dann betrachtest DU den

R^{2}

und verlierst aber die Information über die räumliche Darstellung.
Ach, die Brille :-)...
Wenn DU 2 kg Pflaumen einkaufst, dann werden die aus gutem Grund nicht als Einzelstücke abgegeben, sondern? Und die zip-Datei hat die gleiche Funktion, denn das Paket angeom besteht aus ca.

60

einzelnen Dateien...

Sabine2 aktiv_icon

13:47 Uhr, 04.10.2012

Was möchtest du mir denn damit sagen? Magst du mir nicht einfach sagen, was ich mit der .zip Datei machen soll? Anders komme ich damit wirklich nicht zurecht

: (

maxsymca

17:30 Uhr, 04.10.2012

Tja, was macht man mit einer zip-Datei?
Man packt den Inhalt aus?

Lege einen Ordner an und schiebe den Inhalt der zip-Datei da rein - es geht, wie immer wenn man nicht weiter weiss, ein rechtsklick - alle extrahieren.
Dann lade wie oben beschrieben das Paket angeom.mac und es kann los gehen...

PS:Wer kann den ahnen, das man einer höchstvermutlich jungen Dame Deines Alters das Handling von zip-Files erklären muss :-)...

Sabine2 aktiv_icon

17:47 Uhr, 04.10.2012

Ja ich weiß, ich erfülle jedes Klischee was gegenüber Frauen und Technik existiert zu

150 %

:-P)
Aber, auch wenn du es nicht glauben willst, ich habe jetzt einen Ordner aufm Desktop, der die Daten aus dem zip Ordner enthält! :-)
Ich würde die Klischees aber nicht zu

150 %

erfüllen, wenn ich jetzt wüsste wie es weiter geht... also?
Wer hätte gedacht, dass es so kompliziert ist, eine Kugel und eine Ebene zeichnen zu wollen..

: - (

maxsymca

18:16 Uhr, 04.10.2012

0. wxMaxima installieren
unter Bearbeiten | Einstellungen den Haken setzen bei "Eingabe wertet Zelle aus"
1. angeom.mac laden - siehe Post

12 : 34

Uhr,

03.10.2012

2. siehe Beispiele im angeomHandbuch.pdf unter Kapitel Kugelgleichung
Alle Zeilen die mit

(% i . .)

anfangen sind Input - Deine Eingabe, alles was mit

(% ⊙ .)

beginnt ist Output, Ausgabe von Maxima...

So wir machen hier in diesem Faden jetzt Schluss - er wird zu lang und MathJax macht Ärger bzw. dauert zu lange bei Rendern...
Starte ggf. eine neue Anfrage?

Sabine2 aktiv_icon

20:38 Uhr, 04.10.2012

Der Thread ist zu Lang? Okay, ich mache einen neuen auf. Der hier ist ja eh schon viel zu weit vom ürsprünglichen Thema weg.

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