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Schnittmenge der Mengen x > n

Universität / Fachhochschule

Tags: Schnittmengen

Joshua2 aktiv_icon

14:14 Uhr, 20.10.2024

n∈N und

{x \in N ∣ x > n}

Gesucht ist die Schnittmenge der Mengen für n = 1; n = 2; n = .... ; n gegen unendlich

Läßt sich das überhaupt bestimmen? x könnte ja z.B. n² sein und damit immer größer als n
Das führt aber zu keiner Lösung, bzw. leere Menge, oder? Für x = n + 1 sollte es die leere Menge sein. Die gesuchte Menge ist aber ja immer jeweils {]n;unendlich[}. Für n gegen unendlich also {]unendlich;unendlich[}? Also leere Menge?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

14:33 Uhr, 20.10.2024

Hallo,

hm, nennen wir die Mengen doch mal irgendwie: Für

n \in ℕ

sei

M_{n} := {x \in ℕ ∣ x > n}

.

Damit - würde ich sagen - gilt dich etwa

M_{0} = ℕ \ {0} = {1; 2; 3; \dots}

.

Nur um sicherzugehen:

M_{1} = {2; 3; \dots}

M_{2} = {3; \dots}

usw.

So, jetzt wird es schwierig: Wonach ist gefragt?
Lese ich

lim_{n \to \infty} ⋂_{k = 1}^{n} M_{k}

richtig?

Wenn nein, so wäre ein Scan der Originalaufgabenstellung sehr hilfreich (max 500 kB).

Wenn doch, na, dann bist du schon auf der richtigen Fährte: Die Mengen bilden eine absteigende Kette bzgl. Inklusion, d.h. es gilt:

M_{1} \supset M_{2} \supset M_{3} \supset \dots

Für den Durchschnitt dieser Mengen bis

k = n

, also für

M_{1} \cap M_{2} \cap \dots \cap M_{n} = ⋂_{k = 1}^{n} M_{k}

gilt:

⋂_{k = 1}^{n} M_{k} = M_{n}

Und ja, du kannst dir die Frage stellen, ob ein

z \in ℕ

Element dieses Grenzwertes

lim_{n \to \infty} ⋂_{k = 1}^{n} M_{k}

ist.

Da aber

z \notin M_{z}

gilt, gilt auch

z \notin ⋂_{k = 1}^{z} M_{k}

.
Es gibt also für jede natürliche Zahl

z

einen Durchschnitt, ab dem

z

selbst nicht mehr enthalten ist.
Folglich müsste man

lim_{n \to \infty} ⋂_{k = 1}^{n} M_{k} = \emptyset

erkennen.

Mfg Michael

Joshua2 aktiv_icon

14:48 Uhr, 20.10.2024

Ich hab' die Aufgabe mal hochgeladen. Meines Wissen muss zuerst die innere Zuordnung und dann die äußere gemacht werden. Ich wollte die Aufgaben so angehen, dass ich Fallunterscheidungen mache. Also 1) m = 1 und n = 1 ; 2) m = 1 und n gegen unendlich; 3) m gegen unendlich und n gegen unendlich. Da ja in Fall 2 die leere Menge raus kommt muss ja bei Aufgabe (a) insgesamt die leere Menge rauskommen, wenn das so gedacht ist dass man dann das Ergebnis mit sich selbst vereinigt. Bei der zweiten Aufgabe müsste N raus kommen, wenn das so gedacht ist dass man dann das Ergebnis mit sich selbst schneidet. Dann könnte man aber die äußeren Zuordnungen auch gleich weglassen. Und bei der inneren Zuordnungen ist auch jeweis nur eine Laufvariabele genannt. Also was da gemeint ist, ist mir nicht wirklich klar.

Joshua2 aktiv_icon

15:45 Uhr, 20.10.2024

> Es gibt also für jede natürliche Zahl z einen Durchschnitt, ab dem z selbst nicht mehr enthalten ist.

Also ich würde sagen, wenn z.B. x = n² werden die Mengen immer größer, aber es gibt immer eine Menge, die nicht in einer der vorherigen Mengen enthalten ist. Allerdings gilt ja für alle Mengen {]n;00[}. Könnte man da nicht auch argumentieren, da unendlich nie erreicht wird, müssen alle Mengen mindestens ein gemeinsames Element haben? , Sollten es nicht sogar unendlich viele sein? Für jedes n, was man annimmt geht es ja bis unendlich weiter. Und das ist nicht die leere Menge sondern einfach nur nicht zu bestimmen, wenn man n oder x keinen Endwertwert bzw. "Definitionbereich" gibt.

Man könnte für die Menge {x > n} ja auch N\{[1;n]} schreiben. Da n eingeschlossen ist, könnte n nicht unendlich sein, es gäbe also immer Teilmengen mit unendlich vielen Elementen.

HAL9000

18:20 Uhr, 20.10.2024

Wenn man deinen Text durchliest, wird einem nur schwindlig von der ganzen Unlogik. Man hält sich besser an die Fakten, d.h. die Definition:

Im Gegensatz zu einer Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

ist ein Durchschnitt

⋂_{n = 1}^{\infty} M_{n}

nicht als Grenzwert bzw. -menge definiert, sondern als die Menge derjenigen Elemente, die in allen Ausgangsmengen enthalten sind. Im Falle von

M_{n} = {x \in ℕ ∣ x > n}

gibt es keine solchen Elemente - fertig. D.h. michaL hat selbstverständlich Recht.

michaL aktiv_icon

18:45 Uhr, 20.10.2024

Hallo,

weitere Rückfrage: Gilt bei euch

0 \in ℕ

?
Ich gehe jedenfalls erst einmal davon aus, dass ja.

Wenden wir uns erst einmal (a) zu:

Für

m = 0

ist

{x \in ℕ ∣ m x > n} = \emptyset

, unabhängig von

n

, da

0 > n

für kein

n \in ℕ

gilt.

Sei also

m \neq 0

, dann kann man

{x \in ℕ ∣ m x > n} = {x \in ℕ ∣ x > \frac{n}{m}}

schreiben.
Bedenke, dass zuerst

m

festgelegt wird.
Es gibt dann (analog zu meiner Argumentation vorhin) für jedes

x \in ℕ

ein

n \in ℕ

, sodass

\frac{n}{m} \geq x

gilt (archimedisches Axiom).
Konkret wähle

n = m x

.

Daraus resultiert, dass

x \notin {x \in ℕ ∣ m x > n}

gilt für alle

n \geq m x

(wobei

m

fest sei).
Infolge dessen gilt für

m > 0

⋂_{n \in ℕ} {x \in ℕ ∣ m x > n} = \emptyset

.
Daraus wieder folgt, dass

⋃_{m \in ℕ} ⋂_{n \in ℕ} {x \in ℕ ∣ m x > n} = \emptyset

gilt.

Bei (b) wird zuerst

n

festgelegt und dann

m

variiert.
Bedenke, dass auch hier

{x \in ℕ ∣ m x > n} = \emptyset

gilt für

m = 0

.
Da hier zuerst vereinigt werden soll, gilt also

⋃_{m \in ℕ} {x \in ℕ ∣ m x > n} = ⋃_{m \in ℕ^{*}} {x \in ℕ ∣ m x > n}

.
Wir können also

m = 0

für alle

n \in ℕ

weglassen, was die Sache mit der Bruchschreibweise sehr vereinfacht.
Wir müssen also nur

⋃_{m \in ℕ^{*}} {x \in ℕ ∣ x > \frac{n}{m}}

betrachten.
Da

n

zunächst fest ist, kann

m = 2 n

betrachtet werden.

{x \in ℕ ∣ x > \frac{n}{2 n}} = ℕ^{*}

sollte klar sein.
Insbesondere gilt also für jedes

n

⋃_{m \in ℕ^{*}} {x \in ℕ ∣ x > \frac{n}{m}} = ℕ^{*}

Der Durchschnitt über alle

n

lauter gleicher Mengen ist dann auch eben diese Menge, d.h. es gilt:

⋂_{n \in ℕ} ⋃_{m \in ℕ} {x \in ℕ ∣ m x > n} = ℕ^{*}

Mfg Michael

HAL9000

18:48 Uhr, 20.10.2024

Sorry für meinen Post - hab nicht mitgekriegt, dass Joshua mittem im Rennen die Pferde (d.h. die Aufgabenstellung) gewechselt hatte.

michaL aktiv_icon

18:58 Uhr, 20.10.2024

Hallo,

HAL9000 schrieb:
> Sorry für meinen Post [...]

Falls ich der Adressat gewesen sein soll, so gibt es (aus meiner Sicht) nichts zu entschuldigen.
Ich brauche ja offenbar durchaus jemanden, der meine in zunehmender Häufigkeit auftretenden Schnitzer findet. ;-)

Mfg Michael

Joshua2 aktiv_icon

19:55 Uhr, 20.10.2024

Sorry erst mal, Latex funktioniert bei mir nur sehr eingeschränkt ….

>hab nicht mitgekriegt, dass Joshua mittem im Rennen die Pferde (d.h. die Aufgabenstellung) gewechselt hatte.

Die anfängliche Aufgabenstellung ist ja eine Teilaufgabe der Aufgabe (a) für den Fall, dass m = 1
m = 1 da nur N ohne Null betrachtet wird. Da hab ich halt Probleme der Interpretation. Ansonsten komme ich ja, wenn auch nicht auf so mathematisch schöne Weise, zum gleichem Ergebnis wie michaL.

Der Durchschnitt aller Mengen Mn mit n∈N {x ∈ N | x > n} beinhaltet mE alle Elemente die alle Mengen Mn = {]n;oo[} gemeinsam haben. Für ein konkretes n findet man aber immer ein x, was noch größer ist. Die Aussage

\forall n \in N \exists k \in N k > 2 n + 1

ist ja z.B. richtig. Danach hätten alle Mengen Mn mit n∈N {x ∈ N | x > n} mindestens ein Element gemeinsam. Da zwischen einem konkretem n und unendlich immer unendlich viele Elemente liegen, sollten alle Mengen immer unendlich viele Elemente gemeinsam haben. Da n beliebig groß werden kann, lassen sich diese Element aber nicht bestimmen. Da es die Menge {]oo;oo[} nicht gibt, kann es gut sein, dass man sich hier auf die leere Menge als Durschnitt geeinigt hat, zumal wenn dies ins restliche System passt, man also richtige Ergebnisse mit dieser Annahme erzielt.

michaL aktiv_icon

20:19 Uhr, 20.10.2024

Hallo,

ich durfte mir bei meiner ersten Hausübung folgendes durchlesen:
Weniger Gerede, mehr Mathematik.

Vorteile von Mathematik: Eindeutigkeit, Prägnanz, Klarheit.

Nenne doch einfach ein(!) Element

y

und das zugehörige

m

, das deiner Meinung nach Element von

⋂_{n \in ℕ} {x \in ℕ ∣ m x > n}

liegen soll.
Dann nenne ich dir eine Menge

{x \in ℕ ∣ m x > n}

mit gleichem

m

wie du, in dem

y

NICHT mehr enthalten ist.
Sicher stimmst du mir zu, dass damit

y

NICHT im entsprechenden Durchschnitt liegen kann.

Das Problem liegt daran, dass du

\infty

nicht mathematisch präzise fasst, sondern
mehrdeutig, ungenau, unklar.
Dies betrifft insbesondere die Schreibweise

] \infty; \infty [

.
Könnte man doch auch wie folgt verstehen (wollen): kein endliches

n

ist Element dieser Menge. (Wie sollte es auch).

Ja, jede der Mengen

{x \in ℕ ∣ m x > n}

hat für

m \neq 0

uendlich viele Elemente.
Das bedeutet aber nicht, dass der Schnitt das ebenfalls hat.

Sei etwa

M_{n} := ℕ \ {n}

für

n \in ℕ

. Klar sollte sein, dass

⋂_{n \in ℕ} M_{n} = \emptyset

gilt, also der Schnitt eine im höchsten Maße endliche Menge ist.

Mfg Michael

Joshua2 aktiv_icon

21:12 Uhr, 20.10.2024

Ich versuche es noch mal so:

x > n
<=> x - n > 0

Man kann also die Funktion aufstellen

g(x) = x - n

Alle x aus N denen ein positiver y Wert zugeordnet werden kann, sind Elemente der Menge Mn und N

x muss also mindestens n + 1 groß sein

Da n aus {[1;oo[}, N kommen darf, fragt sich allerdings ob
x - n > 0
für n gegen ∞ eine Lösung hat

Beim Induktionsbeweis wird ja auch immer angenommen, dass es ein n+1 gibt, das größer als n ist
x sollte also immer größer als n sein können

So gesehen müsste es also immer Elemente aus N geben, die in mehreren Mengen Mn zu finden sind. Alle Elemente zwischen n und unendlich

Sollte es aber für

x - n > 0
für n gegen ∞

keine Lösung geben, ist der Durchschnitt der Mengen Mn die leere Menge

michaL aktiv_icon

22:08 Uhr, 20.10.2024

Hallo,

ich schließe mit diesem posting meine Bemühungen mit dir ab.

> Da n aus {[1;oo[}, N kommen darf, fragt sich allerdings ob
> x - n > 0
> für n gegen ∞ eine Lösung hat

Nein, das ist irrelevant. Du unterscheidest nicht in hinreichendem Maße zwischen

n \in ℕ

(alles Zahlen, mit denen man rechnen kann, die man vergleichen kann, die endlich sind) und

lim_{n \to \infty} n

, der eben nicht endlich ist (von dem fraglich ist, ob er als existent angesehen werden darf), mit dem man nicht bzw. höchstens eingeschränkt rechnen kann, bei dem Vergleiche höchst schwierig sind.

> Beim Induktionsbeweis wird ja auch immer angenommen, dass es ein n+1 gibt, das größer > als n ist
> x sollte also immer größer als n sein können
>
> So gesehen müsste es also immer Elemente aus N geben, die in mehreren Mengen Mn zu > finden sind. Alle Elemente zwischen n und unendlich

Ui. Sprechen wir bei

x

von einem festen

x

? Und bei

n

von einem festen

n

?

Ja, für jedes ENDLICHE

n

gibt es immer noch ein (du hast selbst festgestellt, es sind sogar unendlich viele)

x

mit

x > n

.

Aber dabei betrachtest du immer nur ENDLICH viele Mengen. Unendlich viele

n

sind halt eine andere Hausnummer. Beispiel dafür in meinem letzten post.

> Sollte es aber für
>
> x - n > 0
> für n gegen ∞
>
> keine Lösung geben, ist der Durchschnitt der Mengen Mn die leere Menge

Das ist sehr unmathematisch.

Mein ernster, wohlgemeinter Rat: Gehe NICHT von einigen (also vor allem endliche vielen) Mengen aus und verallgemeinere NICHT deren Eigenschaften auf unendlich viele. Das geht meistens schief. (Besonders als Anfänger!)

(So ist

ℝ

anerkanntermaßen überabzählbar. Und dennoch könnte man auf den Gedanken kommen, dass folgender Algorithmus fehlerfrei ist: Wähle aus

M_{0} := ℝ

ein

x_{0}

aus und definiere

0 \mapsto x_{0}

. Definiere

M_{1} := M_{0} \ {x_{0}}

fahre fort, aus

M_{i}

ein

x_{i}

auszuwählen, definiere

i \mapsto x_{i}

und

M_{} i + 1 := M_{i} \ {x_{i}}

. Da

M_{i} = ℝ \ {x_{0}, \dots, x_{i - 1}}

gilt, sollten doch immer noch unendlich viele Elemente zur Auswahl stehen. Außerdem habe ich auch nach jedem Schritt immer noch unendlich viele natürliche Zahlen als Urbilder zur Auswahl. Also muss man doch auf diese Weise eine bijektive Abbildung zwischen

ℕ

und

ℝ

generieren können, oder?)

Gehe stattdessen von einem speziellen

x \in ℕ

aus und schaue, ob es dir im Hinblick auf (a) gelingt nachzuweisen, dass

x

in allen(!) Teilmengen enthalten ist. Denn: Wenn nicht, so ist

x

auch kein Element des Durchschnitts.

Viel Erfolg!

Mfg Michael

HAL9000

08:59 Uhr, 21.10.2024

> Da es die Menge

] \infty, \infty [

nicht gibt, kann es gut sein, dass man sich hier auf die leere Menge als Durschnitt geeinigt hat,

Das klingt so, als müsste man hier irgend etwas zusätzlich definieren oder vereinbaren, damit der Durchschnitt leer ist.

Dem ist nicht so - es gibt in

ℕ

kein

\infty

, daher kann es auch weder in Durchschnitt noch Vereinigung von Mengen natürlicher Zahlen enthalten sein, so schlicht und einfach ist das.

Was anderes wäre es in folgendem abgeänderten Problem: Betrachten wir

M_{n} = {x \in ℕ^{*} ∣ x > n}

, wobei wir

ℕ^{*} := ℕ \cup {\infty}

definieren und die Ordnungsrelation um die Festlegung

\infty > n

für alle

n \in ℕ

ergänzen. In diesem Fall wäre tatsächlich

⋂_{n = 1}^{\infty} M_{n} = {\infty}

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