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Schokoladeneier

Schüler

Tags: Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Normalverteilung, Stochastik

Sabine2 aktiv_icon

22:10 Uhr, 16.11.2012

Hallo,
es wäre super, wenn jemand meine Ergebnisse überprüfen könnte:
Der Schokoladenhersteller Nikolaus Hase produziert Ostereier.

95 %

der Produktion entsprechen nicht der Norm.

(1)

Es wird eine Tüte mit

40

Eiern gekauft, in der sich 4 fehlerhafte befinden. Da der Schüler Karl-Heinz Geburtstag hat, weill er jedem seiner

28

Mitschüler, sich eingeschlossen, ein Osterei schenken.

Berechnen Sie für

X :

Anzahl der fehlerhaften Eier unter den

29 P (X > 2)

.
Ich habe eine hypergeometrische Verteilung angenommen und komme auf

P (X > 2) \approx 0,7

(2)

Der Konkurrent von Hasem die Firma Hoppel, hat bei ihrer Produktion einen Ausschussanteil von

4,5 %

. Ihrer Produktion werden

500

Eier entnommen. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, dass unter diesen mehr als

27

fehlerhafte Eier sind.
Ich habe

P (Y > 27) \approx 0,1401

. Ich habe mit Stetigkeitskorrektur gerechnet, die man ja aber nur nehmen muss, wenn man eine Binomialverteilung durch eine Normalverteilung nähert. Die Frage ist, ob man das macht, weil in der Aufgabe nicht davon steht. Da steht, man soll von Beginn an die Normalverteilung nehmen, dann müsste man aber ohne Stetigkeitskorrektur rechnen. Jetzt habe ich mir aber gedacht, dass

Y

nur diskrete Werte annehmen kann, es kann also keine Normalverteilung als solche sein, weil das eine stetige Verteilung ist. Also mit Stetigkeitskorrektur, oder?

(3)Der Fabrikant Hase ist stets bemüht, die Qualität seiner Produkte zu verbessern. Investitionen sollen dazu geführt haben, dass der Ausschussanteil unter

4 %

liegen soll. Entwickeln Sie einen Hypothesentest, der diese These der Qualitätsverbesserung stützen kann. Es sollen dazu

1250

Eier getestet werden.

7,5 %

wird als Signifikanzniveau gewählt.

Ich habe

H_{0} : p \geq 0,04

gewählt und komme auf einen Ablehnungsbereich von

[0; 39]

.
Meine Fragen:

(3.1)

Ich lege eine Binomialverteilung zugrunde (die durch eine Normalverteilung angenähert wird. Als Parameter

p

habe ich

0,04

gewählt, wobei das doch garnicht sicher ist.

p \geq 0,04

müsste es doch sein, aber damit kann man ja nicht rechnen... Also was nun?

(3.2)

Wie entscheide ich, welche Hypothese ich als Nullhypothese wähle? Bei mir ist das immer das Gegenteil der Behauptung, haben wir mal so festgelegt, aber wieso?

(4)

Am Tag nach seinem Geburtstag will Karl-Heinz seine Mitschüler je ein Ei aus der Tüte mit diesmal

29

Eiern ziehen lassen, von denen 4 fehlerhaft sind. Bestimmen Sie die Wahrschienlichkeit, dass das

14

. zu ziehende Ei das erste und das letzte in der Tüte verbleibende Ei das vierte fehlerhafte Ei sein werden.

Ich habe da noch keine Lösung, nur einen Ansatz.
Also für die ersten

14

Eier ist

\frac{25}{29} \cdot \frac{24}{28} \cdot \frac{23}{27} \cdot \frac{22}{26} \cdot ... \cdot \frac{13}{17} \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{16} \cdot \prod_{i = 13}^{25} \frac{i}{i + 4}

. Aber jetzt? Das letzte Glied ist dann

\frac{1}{1},

also 1. Und dazwischen... Es wäre bestimmt hilfreich zu wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, 2 Eier auf

14

Züge zu verteilen. Entweder es ist

(\begin{matrix} 14 \\ 2 \end{matrix})

oder 14nPr2, das weiß ich nicht. Ich weiß nicht, inwiewiet die Reihenfolge eine Rolle spielt. Und weiter wüsste ich dann auch nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

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09:05 Uhr, 17.11.2012

1)

und

2)

sind ok. Die Korrektur ist richtig. Bei

1)

komme ich auf

68,55 %

Mehr nach dem Frühstück, dann kann ich besser denken..

prodomo aktiv_icon

09:27 Uhr, 17.11.2012

3)

ist auch ok. Bei der Festlegung der Hypothese wird das Gegenteil genommen, damit für dessen Ablehnung eine möglichst hohe Sicherheit (hier

92,5 %)

erreicht werden kann. Man steht also einer möglichen Verbesserung nicht blauäuigig, sondern kritisch gegenüber (manchmal sind die Beispiele allerdings so gewählt, dass man schon zweifeln kann, besonders bei Werbeaussagen kommt es schon zur "Umkehr der Beweislast")

4)

Richtiger Ansatz, für Nr.

15

bis

28

ist es egal, wann die beiden fehlerhaften Eier auftauchen, also

(\begin{matrix} 14 \\ 2 \end{matrix})

Möglichkeiten für das Zwischenstück.

prodomo aktiv_icon

10:21 Uhr, 17.11.2012

Aber eigentlich ist das Zwischenstück für die Gesamtwahrscheinlichkeit egal. Du musst lediglich das Ereignis "Nach

13

Zügen nur gute und beim

14

. Zug ein schlechtes" durch UND mit "im letzten Zug ein schlechtes" verküpfen. Dazu kannst du dir vorstellen, dass man den letzten Zug schon als

15

. macht, also sozusagen ein Ei auswählt, das man bis zum Ende aufsparen will. Dafür, dass dies ein schlechtes ist, gilt

p = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}

. Für den ersten Teil hattest du schon einen Wert. Insgesamt bekomme ich

\frac{1}{261}

Sabine2 aktiv_icon

10:37 Uhr, 17.11.2012

Wieso kommst du in 1 auf

68,55

? Hast du mit der Normalverteilung gerechnet? Das soll man ja hier nicht, ich habe die ganz normale Binomialverteilung genommen.

Das mit 4. verstehe ich so nicht. Wieso ist denn der Zwischenteil egal? Und wieso

14

über 2 und nicht

14

nPr 2? Die Reihenfolge müsste doch eine Rolle spielen, oder nicht?

prodomo aktiv_icon

10:54 Uhr, 17.11.2012

Du hast selbst geschrieben, dass du

1)

hypergeometrisch gelöst hast. Dann gilt für die Zahl

X

der fehlerhaften Eier unter den

29

P (X = 3) + P (X = 4) = \frac{1 \cdot (\begin{matrix} 36 \\ 25 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 36 \\ 26 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 40 \\ 29 \end{matrix}) = 0, 6997}

. Hatte aus Versehen ein Zwischenergebnis getippt.
Bei der letzten Frage sieh dir bitte genau die Modellierung der Ereignisse an. Bei deinem ersten Ansatz hast du ja mit

\frac{25}{29} \cdot \frac{24}{28} \cdot ... \cdot \frac{4}{16}

angefangen. Danach willst du mit der Zahl der Möglichkeiten weitermachen und den letzten Zug als

p = 1,

also sicheres Ereignis einbauen. Bis zu

... \frac{4}{16}

stimmen wir überein. Dann habe ich "als letztes ein schlechtes" gerechnet und den Rest (Zwischenstück) unabhängig von der Reihenfolge als sicher gewählt (denn es werden bestimmt die beiden restlichen schlechten gezogen, egal, wann). Damit bekommst du

\frac{25}{29} \cdot ... . . \cdot \frac{4}{16} \cdot \frac{3}{15} = \frac{1}{261}

Sabine2 aktiv_icon

11:25 Uhr, 17.11.2012

Stimmt, ich habe natürlich eine hypergeometrische Verteilung angenommen. Dann kommen wir ja jetzt aufs selbe :-) Die

0,6997

habe ich auf

0,7

gerundet ;-)

Okay, wäre es trotzdem möglich, mal meinen Ansatz durchzugehen? Auf den bin ich ja mehr oder weniger selbst gekommen, also ist der für mich nachvollziehbarer. Wenn wir das haben beschäftige ich mich mal mit deinem.
Also ich habe bisher:

\frac{25}{29} \cdot \frac{24}{28} \cdot \frac{23}{27} \cdot ... \cdot \frac{4}{16} \cdot (\begin{matrix} 14 \\ 2 \end{matrix}) \cdot ... \cdot \frac{1}{1}

Was muss da jetzt anstatt den zweiten

. .

. hin? Da gibt es ja einige mehr Möglichkeiten, was da hin soll. Und da sich die Wahrscheinlichkeiten ändern, kann ich nicht einfach

p^{12} \cdot {(1 - p)}^{2}

nehmen.
Oder ist das so nicht lösbar und ich muss zwangsläufig auf deine Methode ausweichen? Man könnte ja auch alle Möglichkeiten aufschreiben und addieren, aber bevor ich das mache nehme ich dann doch lieber deine Variante.

prodomo aktiv_icon

11:39 Uhr, 17.11.2012

Richtig, du vermischt die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit denen von Möglichkeiten. Nachdem du bis zum

14

. Ei gekommen bist, kannst du weitermachen mit einer Ausgangslage von

15

Eiern, davon 3 schlechte. Jetzt geht es nur noch darum, also letztes ein schlechtes zu ziehen, alles andere ist egal.

Sabine2 aktiv_icon

11:54 Uhr, 17.11.2012

Ich glaube, diese Unterteilung in zwei Mengen hilft mir gut weiter! Dann habe ich also, ausgegangen von den

15,

eine Wkt. von

\frac{1}{1}

am Ende ein fehlerhaftes zu ziehen. Mh nee, das kommt ja nicht hin.
Ich nehms zurück, anscheinend hilft mir das doch nicht weiter

: (

Deine

\frac{3}{15}

sind ja die Wkt., am Anfang ein schlechtes zu ziehen.
Kann man nicht in diesem Zwischenpart mit einer hypergeometrischen Verteilung rechnen?
Von wegen:

P (X = 2) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 12 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 15 \\ 14 \end{matrix})}

Dann wäre meine Gesamtwahrscheinlichkeit

\frac{25}{29} \cdot \frac{24}{28} \cdot \frac{23}{27} \cdot ... \cdot \frac{4}{16} \cdot \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 13 \\ 12 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 15 \\ 14 \end{matrix})} \cdot \frac{1}{1}

.
Mh das geht wohl nicht,

P (X = 2)

wäre

1 .

. was ja auch Sinn macht.

prodomo aktiv_icon

09:53 Uhr, 18.11.2012

Versuche nachzuvollziehen, dass es egal ist, ob man das schlechte zuletzt zieht oder sozusagen am Anfang und dann "weglegt", um es am Schluss anzuhängen. Vielöleicht kennst du die Aufgabe, bei der 3 Kinder Streichhölzer ziehen. Auch dort ist es egal, wer als erster zieht.

Sabine2 aktiv_icon

10:56 Uhr, 18.11.2012

Ja okay, aber mir ist nicht klar, wieso dann die Schritte nach den

\frac{3}{15}

weggelassen werden. Wenn man das letzte Ei als

15

. zieht und weglegt, wird danach doch trotzdem weitergezogen. Das berücksichtigen wir aber garnicht.

prodomo aktiv_icon

12:12 Uhr, 18.11.2012

Doch, aber die Wahrscheinlichkeit für diesen Teil ist

100 %,

weil das Ereignis heißT. "es werden

12

gute und 2 schlechte in beliebiger Reihenfolge gezogen". Das passiert sicher !

Ich vermute, dass du bezüglich der Modellierung von Ereignissen keinen so ausführlichen Unterricht genossen hast. Das ist leider häufig so, zumal viele Lehrbücher dieen Teil eher knapp behandeln.

Sabine2 aktiv_icon

13:26 Uhr, 18.11.2012

Also die Wahrscheinlichkeit bis zum

14

. Zug habe ich. Soweit sind wir uns ja einig. Dann wird ein Ei gezogen, mit

p = \frac{3}{15},

das man dann quasi bis zum Schluss aufbewahrt. Danach werden 2 schlechte und der rest gute gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass das passiert ist

1,

weil ja nicht mehr Eier in der Tüte sind, die Tüte also nach dem letzten Zug leer ist. Deswegen und nur deswegen kann man das so machen.

Bitte sag ja, dann hätte ich es verstenden. :-D)

prodomo aktiv_icon

14:03 Uhr, 18.11.2012

Jajaja! Sollten wir uns je begegnen, bekomme ich ein Schokoladenei (aber nicht das letzte

!)

von dir...
Bis zur nächsten Aufgabe.

Sabine2 aktiv_icon

18:02 Uhr, 18.11.2012

Und wenn ich spendabel bin, gibts vielleicht sogar zwei!
Bis demnächst und danke nochmal ;-)

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