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Schwache Konvergenz von Maßen

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

Hinata aktiv_icon

20:01 Uhr, 03.11.2024

Ich versuche mir ein paar Beispiele zur Schwachen Konvergenz von Maßen zu überlegen. Dafür wollte ich folgende zwei Folgen von Maßen betrachten:

1) sei

μ_{n}

die Folge von gleichverteilten stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßen auf

[- 1 / n, 1 / n]

. Also

μ_{n} (A) = \frac{n}{2} \int_{A} 1_{[\frac{- 1}{n}, \frac{1}{n}] (x) d x}

Konvergiert diese Folge schwach? Ich wäre so vorgegangen: Sei f eine stetige, beschränkte Funktion, dann ist

lim_{n \to \infty} \int_{X} f d μ_{n} = lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} \int_{- 1 / n}^{1 / n} f (x) d x = \frac{n}{2} \frac{2}{n} f (0) = f (0)

Ist dann der Grenzwert von

μ_{n}

das Maß, dass f nur im Punkt 0 misst, also das Dirac Maß

δ_{0}

?

2) Ich weiß, dass jede Dichte ein Maß definiert. Sei also

f_{n}

eine Folge von Dichten und somit

ψ_{n}

eine Folge von zugehörigen Maßen. Wie kann ich im Allgemeinen überprüfen ob die Folge von Maßen schwach konvergiert?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

09:26 Uhr, 04.11.2024

Es gibt deutlich handhabbarere Kriterien für schwache Maßkonvergenz als deren Definition, da wäre der

de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Helly-Bray

zu nennen: D.h. die schwache Konvergenz der zugehörigen Verteilungsfunktionen (gleichbedeutend mit punktweiser Konvergenz an den Stetigkeitsstellen der Grenzverteilungsfunktion) ist hinreichend für die schwache Maßkonvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Bei 1) ist das zweifelsohne erfüllt: Die Verteilungsfunktion des Dirac-Maß

δ_{0}

hat an der Stelle 0 eine Unstetigkeit, dort muss die Konvergenz nicht zutreffen - was sie hier auch nicht tut. An allen anderen Stellen ist sie kein Problem.

Bei 2) verweise ich ebenfalls auf dieses Kriterium: Ist es erfüllt, dann liegt schwache Konvergenz vor. Falls nicht, kann man versuchen ein Gegenbeispiel

f

zu finden, welches die in der Definition geforderte Konvergenz der Integrale nicht erfüllt. Für die Beispiele "dazwischen" (der Satz von Helly-Bray ist ja nur ein hinreichendes Kriterium) kann ich keine generelle Aussagen tätigen.

Hinata aktiv_icon

16:38 Uhr, 04.11.2024

Vielen Dank für die Erläuterungen. Ich versuche absichtlich mit der unhandlichen Definition zu rechnen um diese besser zu verstehen. Ich habe mir nun folgende Beispiel zur Verbildlichung überlegt:

Gegeben ist ein Maßraum

(X, A, μ)

Ich will ein Maß

(f μ)

bezüglich einer Dichte f und einem Maß

μ

konstruieren.

Es soll

(f μ) (A) := \int_{A} f d μ

sein.

Nun etwas konkreter:
Ich nehme als Maß das Lebesgue Maß

λ

und diese Folge von Dichten:
Sei

f_{n} (x)

die stetige Gleichverteilung auf

[\frac{- 1}{n}, \frac{1}{n}]

also

f_{n} (x) = \frac{n}{2}

für x aus

[\frac{- 1}{n}, \frac{1}{n}]

und 0 sonst. Dann kann ich eine Folge von Maßen konstruieren:

(f λ)_{n} = \int_{A} f_{n} d λ = \int_{X} χ_{A} f_{n} d λ

Ist soweit erstmal alles korrekt?
Ich hab mir auch mal für diese Folge ein paar Werte überlegt. Bspw n = 2, dann ist

(f λ) (A)_{2} = \int_{\frac{- 1}{2}}^{\frac{1}{2}} χ_{A} d λ

Also für

A = [\frac{- 1}{4}, \frac{1}{4}]

wäre das dann

\frac{1}{2}

.

Oder für n=1:

(f λ) (A)_{1} = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{2} χ_{A} d λ

Also für

A = [\frac{- 1}{4}, \frac{1}{4}]

wäre das dann

\frac{1}{4}

.

Hab ich die Beispiele soweit korrekt gerechnet?
Nun will ich diese auch Konvergenz untersuchen: Ist diese Folge von Maßen überhaupt konvergent und wie könnte ich das mit Hilfe der Definition zeigen?

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