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Schwache und Starke Gesetz der Großen Zahlen

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Erwartungswert

Tests

Verteilungsfunktionen

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

Nasryn aktiv_icon

03:22 Uhr, 19.07.2020

Hallo Zusammen,

Ich habe ein Verständnisproblem mit dem Gesetz der Großen Zahlen bzw. mit dem Starken und dem schwachen Gesetz der Großen Zahlen. Ich weiß das das schwache Gesetz der Großen Zahlen auf der Konvergen in der Wahrscheinlichkeit beruht und das das Starke Gesetz auf der P-Fast sicheren Konvergenz. Wenn ich mir jedoch die Formeln ansehe, verstehe ich nur Bahnhof, da diese sehr sehr Ähnlich sind.
Ich habe auch versucht mir dazu ein Programm zu schreiben und mir einen Graf zu Plotten, jedoch weiß ich nicht genau wie ich da anfangen soll. Beim Starken Gesetz der Großen Zahlen, gehe ich hin und lasse mir Zufällig Werte zwischen 1 und 6 erzeugen und möchte gehe Nach der Formel

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E (X_{i}))

. Sprich wenn ich als erstes eine 1 Habe rechne ich dafür den Erwartungswert aus der in dem Fall 1 ist und rechne

\frac{1}{1} \cdot (1 - 1)

. Wenn dann eine 4 hinzukommen, ich also

{1,4}

habe rechne ich

\frac{1}{2} \cdot ((1 - 2,5) + (4 - 2,5))

. Wenn ich das bis

n

durchrechnen lasse von meinem Programm bekomme ich keine Konvergenz bzw. ich bekomme wie aus der Regelungstechnik eine Schöne Schwankung um den Wert Null herum. Villeicht kann mir jemand von euch helfen!?! Bild im Anhang.

Beim schwachen Gesetz weiß ich nicht wie ich vorgehen soll um quasi ein Testprogramm zu entwickeln...

Ich hoffe ich hab die Konvergenzen und das Gesetzt der Großen Zahlen bisher verstanden, daher möchte ich mal niederschreiben was ich glaube zu Wissen und villeicht könnt ihr mir helfen.

Das Schwache Gesetz der Großen Zahlen besagt das mit

n \to \infty

und der Formel von oben, die Folge von zentrierten Mittelwerte schwach gegen 0 konvergiert, in der Wahrscheinlichkeit. Daraus verstehe ich, dass wenn ich einen Würfel würfel und nur das Ereignis

{1}

haben möchte ich mit unendlich würfen meine Wahrscheibnlichkeit von

\frac{1}{6}

treffen werde.

Das Schwache Gesetz der Großen Zahlen besagt das mit

n \to \infty

und der Formel von oben, die Folge von zentrierten Mittelwerte schwach gegen 0 konvergiert, punktweise. Daraus verstehe ich, dass wenn ich einen Würfel oft genug würfel und die Ereignisse mir egal sind, ich meinen Mittwelwert bestimmen kann.

Ich bin mir sehr unsicher mit dem Gesetz der großen Zahlen. Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen.

Viele Grüße

Bearbeitet:
Ich musste nochmal was anpassen an dem Programm, verwende ich folgende Formel

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1_{i} ((1

wenn

1), (0

sonst)). Damit konvergiert mein Programm gegen die Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{6}

(Siehe Anhang). Ist das denn auch das schwache Gesetzt der großen Zahlen?

Verwende ich diese Formel,

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

konvergiert mein Programm gegenden Mittelwert

3,5

. Ist das das Starke Gesetz der großen Zahlen?

Ich weiß es ist sehr viel Text, aber ich habe den Text oben nicht angefasst, damit ich eventuelle Fehler die da noch sein könnte nicht ausversehen rausstreiche, nur weil mein Programm jetzt (villeicht sogar nur vermeintlich) funktioniert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:57 Uhr, 19.07.2020

Der Unterschied zwischen dem starken und dem schwachen Gesetz ist nicht in der Formel, sondern in der Aussagen.
In einem gilt Konvergenz von

\frac{\sum_{i} X_{i} (ω) - \sum_{i} E (X_{i} (ω))}{n}

in W-keit, in anderem fast sicher, also für alle

ω

bis auf die Menge der W-keit

0

.
Das mit einem Programm zu modellieren ist schwierig. Vor allem fast sichere Konvergenz kannst eigentlich nicht modellieren, denn Konvergenz für jeden einzelnen

ω

passiert in "Unendlichkeit", nach einer endlichen Zeit wirst du für keinen Punkt wissen, ob die Größe konvergiert oder nicht.
Das schwache Gesetz zu modellieren geht schon, du musst halt zählen, für wie viele

ω

gilt

∣ \frac{\sum_{i} X_{i} (ω) - \sum_{i} E (X_{i} (ω))}{n} ∣ > ε

für ein fixes

ε

. Dafür musst du aber den Wahrscheinlichkeitsraum modellieren.

Was viel einfacher ist, nach

n

Versuchen den Mittelwert zu bilden und mit dem tatsächlichen zu vergleichen, das ist im Prinzip was du gemacht hast. Damit zeigt aber nicht das Gesetz der großen Zahlen, es ist nur ein Hinweis darauf, dass das Gesetz gilt. Denn du hast dabei nur ein

ω

pro Versuch, also pro

X_{i}

. Und nicht alle

ω

aus dem W-keitsraum.

DrBoogie aktiv_icon

16:59 Uhr, 19.07.2020

"Das Schwache Gesetz der Großen Zahlen besagt das mit n→∞ und der Formel von oben, die Folge von zentrierten Mittelwerte schwach gegen 0 konvergiert, punktweise."

Nein, nicht punktweise.

Nasryn aktiv_icon

23:54 Uhr, 19.07.2020

Okay. Verstehe ich alles. In meinem Skript steht ja als erstes diese Formel:

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - E (X_{i}))

1: Zudem steht noch für das schwache Gesetz der großen Zahlen diese Formel dort:

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1_{i} \to p

mit (

(1

wenn

X_{n} ε A), (0

sonst))

2: und für das starke Gesetz der Großen Zahlen diese Formel:

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \to m

Ich verstehe daraus das bei 1 die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit genutzt wurde bzw. das schwache Gesetzt dr großen Zahlen, habe ich damit recht?

Ich verstehe daraus das bei 2 die fast sichere Konvergenz genutzt wurde bzw. das starke Gesetz der großen Zahlen, habe ich damit recht?

Zudem habe ich eine weitere Frage, das sind doch Punktschätzer? Wenn ja sind der Satz von Cantelli spricht das eine Folg von Zufallsvariablen die gegen eine Verteilungsfunktion konvergieren und der Zentrale Grenzwertsatz ebenfalls Punktschätzer oder liege ich damit falsch?

DrBoogie aktiv_icon

13:58 Uhr, 20.07.2020

"Ich verstehe daraus das bei 2 die fast sichere Konvergenz genutzt wurde bzw. das starke Gesetz der großen Zahlen, habe ich damit recht?"

In beiden Fällen kann der Pfeil die Konvergenz in W-keit bedeuten und genauso gut die fast sichere Konvergenz. Aus der Tatsache, dass im 1. Fall es Indikatorfunktionen sind, lässt sich Konvergenzart nicht ableiten.

"Zudem habe ich eine weitere Frage, das sind doch Punktschätzer?"

Was genau das?

`"Wenn ja sind der Satz von Cantelli spricht das eine Folg von Zufallsvariablen die gegen eine Verteilungsfunktion konvergieren und der Zentrale Grenzwertsatz ebenfalls Punktschätzer oder liege ich damit falsch?"

Die Aussage verstehe ich nicht. Punktschätzer ist einfach eine Zufallsvariable, die einen Parameter der Verteilung schätzt (z.B. den Mittelwert). Wo hier der Zentrale Grenzwertsatz ins Spiel kommt, ist mir nicht klar.

Nasryn aktiv_icon

14:07 Uhr, 20.07.2020

Ok, dann muss ich einfach genau nachfragen. Was genau bedeutet denn dann Konvergenz in Wahrscheinlichkeit und fast sichere Konvergenz. Ich tue mich damit schwer und das mit dem Schwachen und dem Starken Gesetz der großen Zaheln in Verbindung zu bringen.

DrBoogie aktiv_icon

14:17 Uhr, 20.07.2020

Formale Definitionen musst du selbst nachschauen:
de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_in_Wahrscheinlichkeit
de.wikipedia.org/wiki/Fast_sichere_Konvergenz

Aber etwas anschaulicher ist es so:

Bei der Konvergenz in W-keit betrachten wir die Menge

ω

, bei denen

∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣

relativ groß ist. Wenn bei steigendem

n

diese Menge immer "kleiner" wird, dann gilt diese Konvergenz. Im allgemeinen haben wir dabei keine Aussage über kein einzelnes

ω

. Wir wissen nur, dass

∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣

nur auf immer kleineren Mengen relativ groß ist.

Bei der fast sicheren Konvergenz wissen wir, dass bei fast allen

ω

die Folge

∣ X_{n} (ω) - X (ω) ∣

gegen

0

geht. Es ist also genau die punktweise Aussage, nur halt nicht für alle Punkte, sondern für fast alle.

Damit der Unterschied etwas deutlicher wird, hier ein Beispiel:
wir betrachten

Ω = [0, 1]

mit der W-keit

P (A) = ∣ A ∣

, also einfach die "Länge" der Menge (für Intervalle ist es genau die Länge, für komplexere Mengen eine Verallgemeinerung davon). Wir definieren

X_{0} = χ_{[0, 1]}, X_{1} = χ_{[0, 1 / 2]}

X_{2} = χ_{[1 / 2, 1]}

X_{3} = χ_{[0, 1 / 4]}

X_{4} = χ_{[1 / 4, 1 / 2]}

X_{5} = χ_{[1 / 2, 3 / 4]}

X_{6} = χ_{[3 / 4, 1]}

X_{7} = χ_{[0, 1 / 8]}

usw., wo

χ

die Indikatorfunktionen sind. Es ist leicht zu sehen, dass

X_{n}

in W-keit gegen

0

konvergiert, aber in keinem einzigen Punkt.

Nasryn aktiv_icon

15:07 Uhr, 20.07.2020

Danke erstmal für die ausführliche Antwort.

Ich versuche es mal mit meinen Worten zu beschreiben, um zu schauen ob ich es Verstanden habe. Nachdem ich dein Beispiel mal aufgemalt habe, habe ich zwar gesehen, das die Wahrscheinlichkeit gegen null konvergiert, jedoch nicht die "länge" des Wertebereiches. Ich habe das mal skizziert und ist im Anhang zu finden. Ich hoffe das ist genauso wie du es mit deinem Beispiel gemeint hast. Demnach wäre "Punktuell" ich habe eine klare konvergenz, die ich mir per Graph anzeigen lassen kann und konvergenz in Wahrscheinlichkeit, wäre Grafisch nicht darstellbar, außer man transformiert die Punkte in ihre Wahrscheinlichkeit. Liege ich damit richtig?

DrBoogie aktiv_icon

16:37 Uhr, 20.07.2020

Konvergenz in Wahrscheinlichkeit ist schon darstellbar, zumindest in den Fällen, wenn

Ω

einfach aufgebaut ist, wie in meinem Beispiel. Du kannst ja "meine" Indikatorfunktionen als Funktionen aufzeichnen. Das würde halt in einem einzigen Bild sehr unübersichtlich sein, mit unendlich vielen Graphen. :-)
Aber auch fast sichere Konvergenz ist ja nicht wirklich in einem Bild darstellbar. Bei dir ist rechts nur Konvergenz in einem einzigen Punkt zu sehen. Und fast sichere Konvergenz ist Konvergenz in sehr vielen Punkten, wofür man wiederum eigentlich unendlich viele Bilder braucht.

Nasryn aktiv_icon

17:38 Uhr, 20.07.2020

Das linke Bild habe ich anhand deines Beispiels erstellt. Ist das denn so richtig wie ich es verstanden habe?

Natürlich zeigt sich Konvergenz nur in unendlich vielen Punkten, aber ist es Prinzipiel so richtig wie ich es in den Bildern dargstellt habe?

Also nur nochmal zum abschluss.

Fast sichere Konvergenz ist, wenn die Anzahl der Ereignisse über die unendlichekeit subrathiert von meinem zentrierten Mittwelt gegen Null konvergiert.

Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit wäre dementsprechend dann gegeben, kann aber auch sein, dass Punktuell nicht konvergiert, aber die Wahrscheinlichkeit an sich Konvergiert gegen Null.

Ist die Aussage so richtig?

DrBoogie aktiv_icon

17:43 Uhr, 20.07.2020

"Natürlich zeigt sich Konvergenz nur in unendlich vielen Punkten, aber ist es Prinzipiel so richtig wie ich es in den Bildern dargstellt habe?"

Das kann man schon so darstellen.

"Fast sichere Konvergenz ist, wenn die Anzahl der Ereignisse über die unendlichekeit subrathiert von meinem zentrierten Mittwelt gegen Null konvergiert."

Mit der Anzahl der Ereignisse hat es wenig zu tun. Fast sichere Konvergenz heißt Konvergenz für alle Elementarereignisse außer einer bestimmten Menge, die W-keit null hat. Diese Menge kann durchaus auch aus unendlichen vielen Elementarereignissen bestehen. Sie ist trotzdem gewissermaßen "klein".

"Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit wäre dementsprechend dann gegeben, kann aber auch sein, dass Punktuell nicht konvergiert, aber die Wahrscheinlichkeit an sich Konvergiert gegen Null."

Hier bin ich nicht sicher, was du sagen willst.

Nasryn aktiv_icon

17:50 Uhr, 20.07.2020

Als Beispiel meine ich

z . B

. das Rechte Bild von vorhin. Es ist zu erkennen, wie e-Funktion, das die Werte gegen Null konvergieren. Wandelt man an dieser Stelle die "klaren" Werte in Wharscheinlichkeiten um, konvergieren diese ebenfalls gegen Null. Nehme ich das Beispiel von dir, kann man nicht genau sagen gegen was für einen Wert oder ob die Folge überhaupt knvergiert. Wandelt man die "Werte" jedoch in Ihre Wahrscheinlichkeit um, sieht man das diese gegen Null konvergieren.

Ich verstehe das mittlerweile so, dass, ganz grob gesprochen, die fast sicher Konvergenz sich auf die Punkte an sich bezieht und die Konvergen in Wahrscheinlichkeit auf die Wahrscheinlichkeiten an sich. So kann ich mir auch erklären, dass auf der fast sicheren Konvergenz die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit folgt und das der Umkehrschluss nicht gegeben ist.

DrBoogie aktiv_icon

17:54 Uhr, 20.07.2020

"Ich verstehe das mittlerweile so, dass, ganz grob gesprochen, die fast sicher Konvergenz sich auf die Punkte an sich bezieht und die Konvergen in Wahrscheinlichkeit auf die Wahrscheinlichkeiten an sich."

Das ist auf jeden Fall richtig.

"So kann ich mir auch erklären, dass auf der fast sicheren Konvergenz die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit folgt und das der Umkehrschluss nicht gegeben ist."

Das der Umkerhschluss nicht gegeben ist, zeigt mein Beispiel.
Allerdings ist der Beweis von "fast sicher => in W-keit" nicht offensichtlich oder trivial, aus meiner Sicht.

Nasryn aktiv_icon

18:05 Uhr, 20.07.2020

Erstmal ist meine Frage hiermit beantwortet und ich möchte mich herzlichst bei dir für deine Hilfe bedanken. Du warst mir eine sehr sehr große Hilfe.

Das glaube ich dir, dass der Beweis nicht so trivial ist, aber ich musste einfach verstehen, wieso das nur in eine "Richtung" geht. Dabei hat mir dein Beispiel sehr stark geholfen. An dieser Stelle, nochmal Herzlichen Dank!

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