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Schwerpunkt Halbkreis berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: halbkreis, Schwerpunkt

gotnoidea aktiv_icon

21:07 Uhr, 03.12.2014

Hallo,

wie der Titel schon sagt, habe ich irgendwo einen Denkfehler bei der Berechnung des Schwerpunktes eines Halbkreises des Radius R. Ich bin folgendermaßen vorgegangen:

Zuerst habe ich mir den Halbkreis vom Radius

R

in den 1. und 4. Quadranten gedacht (sozusagen ein durch die y-Achse nach links beschränkter Halbkreis). Die Schwerpunktkoordinate

y_{s}

ist damit 0.

x_{s} = \frac{1}{A} \cdot \int \int d r d φ r = \frac{1}{π r^{2}} \int d r \int d φ r

Die Grenzen habe ich mir so gedacht:

x_{s} = \frac{1}{π r^{2}} \int_{0}^{R} d r \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} d φ r

Damit kommt aber

x_{s} = \frac{1}{2}

und somit eine von

R

unabhängige Koordinate heraus.. der Fehler liegt bestimmt bei den Grenzen, aber wenn ich den Halbkreis rechts der Ordinate betrachte, läuft

x

bzw.

r

doch von 0 bis

R

und

φ

von 90°

= \frac{π}{2}

bis -90°

= - \frac{π}{2} -

wo ist der Denkfehler?

Vielen Dank und LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

21:21 Uhr, 03.12.2014

Wo hast diese Formel her?
Sie stimmt so nicht.

gonnabeph aktiv_icon

21:35 Uhr, 03.12.2014

Hi,

du solltest von der Definition des Schwerpunktes ausgehen.

x_{C M} = \frac{1}{M} \int x d m

. Nun musst du zusehen das du dein dm transformiert bekommst.

Wenn du dir den Kreis einmal aufmalst und du den Flächeninhalt eines Kreises kennst, kannst du dein Differential anpassen.

A = π r^{2}

damit erhalten wir ein infinitesimales Flächenstück mit:

π (r + d r)^{2} - π r^{2}

.
Nun zu der Transformation des Differentials

d m

d m = \frac{m}{A} (\cdot π (r + d r)^{2} - π r^{2})

Das solltest du nun ausmultiplizieren und schauen was du mit dem

(d r)^{2}

anstellen kannst.

gotnoidea aktiv_icon

17:27 Uhr, 04.12.2014

Hey,

danke erstmal für eure Antworten. Das

M

bzw.

m

verwirrt mich etwas, da wir ja garnicht mit Massen rechnen (ich weiß, ist ja bloß eine Variable).. Ich bin ganz ehrlich und sage, dass ich definitiv nicht alles, was du geschrieben hast gonnabeph, verstanden habe.

Ich gehe von der Definition des Schwerpunktes (für die y-Koord.) aus:

y_{s} = \frac{1}{A} \int_{A} y d A

In Polarkoordinaten ist

y = r \cdot sin φ

. Nun habe ich mir einfach mal das infinitesimal kleine Flächenstück

d A

aufgezeichnet. Dieses ist ja durch

d r \cdot r \cdot d φ

gegeben.. so komme ich auf

y_{s} = \frac{2}{π \cdot r^{2}} \int_{0}^{r} r^{2} d r \int_{0}^{π} sin φ d φ

Dennoch würde ich gern dein Beispiel verstehen - zuallerst verstehe ich nicht, wie das

\frac{m}{A}

bei

d m = \frac{m}{A} \cdot (π {(r + d r)}^{2} - π r^{2})

zustande kommt..was ist

d m

überhaupt?

Ich wüsste nun garnicht, wo ich mit dieser Rechnung hin möchte (was nicht an deiner Rechnung, sondern an meinem Unverständnis liegt).. irgendwie dm ausdrücken, damit ich transformieren kann, oder?

LG und großes Danke

gonnabeph aktiv_icon

17:55 Uhr, 04.12.2014

Die Definition des Schwerpunktes für die y-Koordinate lautet

y_{C M} = \frac{1}{M} \int y d m

Wie kommst du auf dein Integral?

Du kannst die Definition ja hier mal nachschlagen: de.wikipedia.org/wiki/Massenmittelpunkt

Der Trick ist doch das du nicht über dm integrieren willst da du eine Abhängigkeit von x oder in deinem Fall von y hast. Das klappt dann nicht so einfach mit der Integration. Deshalb will man nicht über dm integrieren sondern versucht das Integral zu transformieren wie du es versucht hast mittels Polarkoordinaten oder es gibt auch noch andere Tricks.

gotnoidea aktiv_icon

18:20 Uhr, 04.12.2014

Wenn es um Massen geht schon, so habe ich es auch in der Physik gelernt. Meine Formel gilt für Flächen: de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Fl.C3.A4chen

Und da ich ja nur den Radius meines Kreises habe.. erschien mir die Formel am nächsten.

Ok, aber wie hättest du deine Gedanken fortgeführt? Also deine Formel? Wonach umgestellt? Was passiert mit dem

{(d r)}^{2}

gonnabeph aktiv_icon

18:32 Uhr, 04.12.2014

Den gewonnen Ausdruck für dm einsetzen. Dann kürzt sich erstmal die Masse weg. Anschließend kannst du

x

durch

r

austauschen und integrieren. Beachte die Grenzen.

Da

d r

quasi ein infinitesimaler Radius ist was ist dann das Quadrat eines infinitesimalen Stücks?

Gruß!

gotnoidea aktiv_icon

18:41 Uhr, 04.12.2014

Ok, habe ich jetzt.. und komme letztenendes auf

x_{s} = \frac{2}{A} \int r d r + {(d r)}^{2}

Nun zu deiner Frage..

d r

ist ein infinitesimaler Radiusabschnitt - dann ist

{(d r)}^{2}

eine infinitesimal kleine Fläche über

d r,

oder?

Eine Frage bleibt für mich noch offen - es ist für mich leider nicht ersichtlich, wo der Faktor

\frac{m}{A}

bei deiner Definition von dm her kommt..wäre nett wenn du das nochmal kurz erklärst.

Danke und LG

gonnabeph aktiv_icon

19:18 Uhr, 04.12.2014

Du kannst

(d r)^{2}

Null setzen da es so klein ist, das man es vernachlässigen kann. Das

\frac{m}{A}

ist die Flächendichte. Einfach mal googlen.
Die Flächendichte wurde genommen um die Transformation durchzuführen. Du willst ja das Gleichheit gilt also

d m = \frac{m}{A} \cdot . . .

Die Pünktchen stehen dabei für das infinitesimale Flächenstück. Es handelt sich dabei um eine Fläche. Wenn du die infinitesimale Fläche mit

\frac{m}{A}

multiplizierst kannst du dir vorstellen das sich quasi die Fläche wegkürzt und du hast wieder dort stehen

d m = m

. Das aber nur zum Verständnis, du darfst natürlich nicht

d m = m

setzen. ;-)
Bei einem Volumen könntest du dann die Dichte nehmen also

ρ = \frac{m}{V}

. Jetzt klar?

Gruß!

gotnoidea aktiv_icon

19:43 Uhr, 04.12.2014

Ah, jetzt habe ich das mit dem

\frac{m}{A}

verstanden..vielen Dank!

Nun noch schnell zum Ende:

d m = \frac{m}{A} (π {(r + d r)}^{2} - π r^{2})

\Leftrightarrow d m = \frac{m}{A} (2 π r \cdot d r + π \cdot {(d r)}^{2})

\frac{1}{m} \int y d m = \frac{1}{A} \int y 2 π r d r + π {(d r)}^{2}

wobei

{(d r)}^{2}

vernachlässigbar klein

= \frac{2 π}{A} \int y r d r y = r

= \frac{2 π}{A} \int r^{2} d r

ist das richtig?

gonnabeph aktiv_icon

19:58 Uhr, 04.12.2014

Scheint mir richtig zu sein.

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