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Schwerpunkt des Dreiecks, Bahngeschw.vektor

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Bahngeschwindigkeitsvektor, Geometrie, Schwerpunkt, Vektorraum

iidefix aktiv_icon

19:10 Uhr, 21.02.2011

Hi,

folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:

Ein Dreieck mit den Eckpunkten A = (3, 0, 0), B = (0, 3, 0) und C = (3, 3, 3) rotiert mit Winkelgeschwindigkeit 10 s^(-1) um eine Achse durch seinen SChwerpunkt, die senkrecht auf die Dreiecksfläche steht. Berechnen Sie den Bahngeschwindigkeitsvektor des Punktes C.

Meine erste Unsicherheit ist der Schwerpunkt. Das Beispiel wurde leider in der Übung ziemlich verwirrend vorgerechnet und ich hab so meine Zweifel, ob das wirklich stimmt.

Laut Internet wäre der Schwerpunkt immer das arithmetische Mittel der x-, y, bzw. z-Koordinaten. Damit bekomme ich S = (2, 2, 1) heraus. Stimmt das? (Meine Mitschrift sagt nämlich (1, 1, 2))

Außerdem hab ich dann leichte Schwierigkeiten beim Umlegen der Winkelgeschwindigkeit auf die Achse. Mein Ansatz wäre, dass ich den Richtungsvektor der Achse bekomme, indem ich SB x SC berechne (oder SA x SB usw.) Dann bekomme ich für die Achse (-2, 1, -1) x (1, 1, 2) = (3, 3, -3) heraus.

Da es ein Richtungsvektor ist, kann ich kürzen und sagen, die Rotationsachse ist (1, 1, -1) oder? Jetzt steh ich an. Ich hätt jetzt einfach gesagt der Winkelgeschwindigkeitsvektor ist w = (10, 10, -10) und hätte den Bahngeschwindigkeitsvektor so ausgerechnet: v = w x SC.

Aber da kommt leider völliger Blödsinn raus. ^^ Meine Mitschrift kommt auf folgende Lösung: $(\begin{matrix} \begin{matrix} - 10 * \sqrt{3} \\ 10 * \sqrt{3} \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) \frac{m}{s}$

Kann mir jemand weiterhelfen bzw. meine Lösungen bestätigen?

DANKE!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Gerd30.1 aktiv_icon

22:03 Uhr, 21.02.2011

Also zunächst ist

S (2 | 2 | 1)

richtig. Die Bahngeschwindigkeit des Punktes

C

S

ist

v = ω \cdot r = 10 \cdot \sqrt{6}

mit

r =

|CS|

= \sqrt{{(3 - 2)}^{2} + {(3 - 2)}^{2} + {(3 - 1)}^{2}} = \sqrt{6}

iidefix aktiv_icon

22:09 Uhr, 21.02.2011

Danke für die schnelle Antwort. Ich brauche aber leider den BahngeschwindigkeitsVEKTOR... Dazu fehlt mir eben der Schritt, wie ich auf den Winkelgeschwindigkeitsvektor komme...

iidefix aktiv_icon

22:48 Uhr, 23.02.2011

Kann mir keiner helfen??? =(

Gerd30.1 aktiv_icon

10:58 Uhr, 24.02.2011

\vec{ω} = (\begin{matrix} ω_{x} \\ ω_{y} \\ - ω_{z} \end{matrix})

mit

| ω | = 10

. Dann ist doch

\sqrt{ω_{x}^{2} + ω_{y}^{2} + ω_{z}^{2}} = 10

. Unter der Voraussetzung, dass die Komponenten

ω_{i}

gleich sind (?) erhalten wir

\sqrt{3 \cdot ω_{i}^{2}} = 10,

also

ω_{i} = \frac{10}{\sqrt{3}}

Damit

\vec{v} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{matrix} 10 \\ 10 \\ - 10 \end{matrix}) x (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{1}{\sqrt{3}} (\begin{matrix} 30 \\ - 30 \\ 0 \end{matrix}) = \sqrt{3} \cdot (\begin{matrix} 10 \\ - 10 \\ 0 \end{matrix})

iidefix aktiv_icon

11:14 Uhr, 24.02.2011

super! danke! - wär eigentlich recht logisch gewesen... aber dass man das einfach so aufteilen darf wusste ich nicht... dankeschön!

xxXxCarpeDiemxXxx aktiv_icon

09:23 Uhr, 22.08.2012

FÜR DIEJENIGEN DIE AUCH NACH DER LÖSUNG DIESER AUFGABE SUCHEN !!

Hatte auch Startprobleme mit der Rechnung und bin daher hier gelandet. Mein Lösungsweg befindet sich im Anhang.

Die Lösung stimmt sicher und der Lösungsweg erscheint mir auch richtig :-)

Glg Nicki

1022004

858853

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