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Schwerpunkt eines Körpers berechnen
Schüler Gesamtschule,
Tags: berechnen, Körper, Schwerpunkt
 
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Ich habe eine besonders knifflige Prüfungsaufgabe bekommen. Und zwar soll ich mit der Monte Carlo Methode, also per Zufallsgenerator, den Schwerpunkt einer homogenen Pyramide "berechnen". Die Eckpunkte und Flächen sind in einem Kordinatensystem gegeben, jedoch muss ich die Monte carlo methode in der Rechnung irgendwie benutzen. Ich bin total verzweifelt, kann mir jemand bitte helfen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo Fischiii, Zunächst zwei Fragen: 1.) Soll das ein Programm für einen Computer werden? 2.) Ist Dir im Prinzip klar, was 'Monte Carlo Methode' bedeutet? Gruß Werner |
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ja, es soll eine Art simulation werden, mit dem man dem Schwerpunkt mit Wahrscheinlichkeiten nahe kommen soll. Ich weiß, dass damit gewöhnlich nicht Punkte rausgesucht werden, meines wissens, aber dennoch ist dies die Aufgabe. Bis her habe ich die Idee, dass ich einen Zufallsindikator in eine Ebenengleichung einbaue, um somit zufällige Punkte auf den gegeben Flächen darzustellen um mit diesen irgendwie den Schwerpüunkt nahe zu kommen, aber genau wissen wie, weiß ich immew rnoch nicht.. |
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ok - also im Prinzip geht das so. Du stülpst (so quasi in Gedanken) einen Quader über die Pyramide. Der Quader MUSS die Pyramide vollständig beinhalten, sollte aber ansonsten nicht zu groß sein. Wenn die Grundfläche der Pyramide eine Rechteck ist, so kann man dies gleich als eine Fläche des Quaders wählen - vorausgesetzt, die Spitze der Pyramide steht noch oberhalb seiner Grundfläche. Jetzt werden gleichverteilt Punkte im Raum mit Hilfe des Zufallsgenerators erzeugt. Die Intervalle sind jeweils die Kantenlängen des Quaders. Damit bekommt man eine (hoffentlich) gleichmäßige Verteilung von Punkten im Raum. Für jeden der Punkte ist jetzt zu entscheiden, ob er innerhalb der Pyramide liegt oder nicht. Weißt Du wie das geht? Liegt der Punkt in der Pyramide wird er 'aufsummiert'. Und am Ende wird diese Summe durch die Anzahl der Punkte in der Pyramide geteilt. Das Ergebnis ist dann der 'errechnete' Schwerpunkt. Wie lauten die Koordinaten der Ecken der Pyramide? |
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Super! Dann lag ich ja vollkommen falsch So lässt es sich auch eher mit der Methode verstehen. Also es sind sozusagen 2 Körper, eine Pyramide und ein Prisma, die aneinander verbunden sind. Erwehnte vorerst nur die Pyramide, da es leichter kling sollte.  |
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Wenn wir schon dabei sind. Wärst du so nett und könntest nochmal erwehnen, wie man genau den Schwerpunkt nur mit den Eckpunkten und den Volumen berechnet, also ohne das nutzen der Monte Carlo Methode? Habe jetzt alle Eckpunkte der Pyramide addiert und dann geteilt der Anzahl der Eckpunkte genommen und die Summe mal dem Volumen der Pyramide genommen. Dann das selbe nochmal mit dem Prisma, also alle 6 Eckpunkte addiert, dann durch 6 geteilt, dann mal dem Volumen des Prsimas. Somit hatte ich die Schwerpunkte der Pyramide und desPrismas. Nun habe ich diese noch addiert und geteilt des gesamtvolums des ganzen Körpers genommen und raus war mein Gesamtschwerpunkt. Ist dies die richtige Methode oder habe ich was vergessen oder ist sie komplett falsch? Und jemand meinte, es reicht, die gesamten Eckpunkte einfach zu addieren und dann geteilt der Anzahl aller Eckpunkte zu nehmen und schon hätte man den Gesamtschwerpunkt. Ist da was dran? |
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Nein, diese Methode ist im Allgemeinen falsch. Für bestimmte regelmäßige Körper z.B. Quader fällt der Schwerpunkt der Eckpunkte mit dem Schwerpunkt des Körpers zusammen. Das sind aber Ausnahmen. .. melde mich später noch mal. |
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okay, danke für deine schnellen und hilfreichen antworten.Sind beide Methoden falsch gewesen oder nur der letztere? |
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Das mit der Monte CArlo Methode habe ich hinbekomm Simulation, nur müsste ich nun noch mal wissen, wie man Punkte innerhalb des Körpers von den Punkten außerhalb des Körpers unterscheide. |
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Nun - im allgemeinen Fall ist es falsch die Eckpunkte zu addieren und durch ihre Anzahl zu teilen, um den Schwerpunkt eines Körpers zu berechnen. Wenn Du zwei (oder mehr) Körper hast, so ist es richtig die Schwerpunkte mit den zugehörigen Massen zu multiplizieren, alles zu summieren und die Summe durch die Gesamtmasse zu dividieren. Ist die Dichte überall gleich, so kannst Du Gewicht durch Volumen ersetzen. Bei einem Prisma, dessen Grundfläche ein Dreieck ist, führt die 'Eckenmethode' zum Schwerpunkt des Körpers. Bei einer Pyramide ist es genau dann richtig, wenn die Grundfläche ein Viereck ist, bei dem die Schwerpunkte der Ecken und der Fläche zusammen fallen. Letzteres ist mit Sicherheit bei einem Parallelogramm der Fall - also auch bei einem Rechteck. Jetzt, wo ich Deine Zeichnung sehe ... ja es geht wie Du es beschrieben hast, aber es ist ein Sonderfall. Nun zur Monte Carlo Methode: ich würde in Deinem Fall den Quader achsenparallel vom Punkt (4;-4;0) bis zum Punkt (-4;8,4) wählen. Weißt Du wie man feststellt, ob ein Punkt innerhalb des Bootrumpfs liegt? Gruß Werner Nachtrag: ich unterstelle bei oben gesagten, dass der Punkt E bei (0;4;0) liegt. Das scheint aber nicht zu stimmen oder? Falls E bei (0;2;0) liegt, hast Du kein Prisma! |
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ne, das wüsste ich noch gerne also wie man weiß, ob ein Punkt im oder außerhallb des Bootsrumpfes ist. |
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Kennst Du die Hessesche Normalform einer Ebene? Kannst Du die Normalform z.B. für die Ebene durch die Punkte A, E und G aufstellen? |
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Also, glaube schon. Wenn ich mich nicht irre, dann das Kreuzprodukt der 2 Vektoren, die die ebene bilden. |
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.. damit kommst Du zum Normalenvektor. Wie lautet dann die Normalenform der Ebene? |
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also in einer Fläche ist mir glaube ich bewussst, wie man einen Punkt darin zuordnen kann. Nur bei einem ganzen Körper weiß ich es nicht. |
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.. es geht nicht darum, einen Punkt 'in der Fläche anzuordnen' (was immer Du damit meinst). Es geht darum, zu berechnen, ob der Punkt vor oder hinter der Ebene liegt. BTW: wie lautet die Koordinate von E? |
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Aso, tut mir leid. Ich glaube, der Normalform der Ebene ist (x/x²/x³)-( Die Brüche sollen die Kordinaten darstellen... (Das schreibt die hier so komisch) |
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großzügig ausgelegt ist das richtig. (das Format ist verunstaltet) Das kann man noch so vereinfachen: bzw. Wie beurteilt man jetzt, ob ein Punkt z.B. (1;3;1) vor oder hinter dieser Ebene liegt? |
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Woher genau nehmen sie die ? Und momentan will mir nicht einfallen wie... |
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Woher genau nehmen sie die ? Und momentan will mir nicht einfallen wie... |
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Ich habe die Gleichung der Ebene einfach durch 8 geteilt. |
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Ah jetzt seh ichs auch :-P) |
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Weißt Du was 'vor' und 'hinter' bei der Normalenform bedeutet? |
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Bin mir nicht ganz sicher. Wenn man bei der Normalformal statt x²³ die Kordinaten des gegebenen Punktes eingibt und das ergebis drüber oder unter der zahl ist, indem Fall unter oder über 4? |
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ja genau! Stelle Dir das ganze räumlich vor. Der Normalenvektor - in unserem Fall steht senkrecht auf der Ebene. Nimmt man einen Punkt der Ebene - z.B. und bildet mit das Skalarprodukt, so kommt immer 4 heraus. Genau das besagt ja die obige Gleichung. Nimmt man aber einen anderen Punkt außerhalb der Ebene, so erhält man auch einen anderen Wert als 4. Ist der Wert größer als 4, so liegt der Punkt in Richtung des Normalenvektors 'vor' der Ebene und ist er kleiner, so liegt er dahinter - also in Gegenrichtung des Normalenvektors. Wenn Du jetzt also für einen Punkt bestimmen kannst, ob er vor oder hinter einer Fläche des Bootrumpfs liegt, wie kann man dann feststellen, ob der Punkt im Boot ist oder nicht? Nachtrag: ich habe vergessen zu erwähne, dass alle Normalenformen so zu bestimmen sind, dass die Normalenvektoren immer aus dem Boot heraus zeigen. |
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Wenn er vor der einen Fläche und hinter der gegenüberliegenden Fläche liegt ist er im Körper? Heißt das, ich muss für alle Seiten eine Ebenen normalformel erstellen und den gegebenen Punkt in all dieser Formeln einfügen? |
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- nein nicht ganz (s. Nachtrag) - ja genau so - oder fast so Wenn Du die Ebenengleichungen so aufstellst, dass der Normalenvektor immer aus dem Boot heraus zeigt, so muss der Punkt in jedem Fall hinter (oder mindestens auf) jeder der Ebenen liegen, wenn er im Boot ist. Wenn Du den Quader geschickt wählst (s. mein Vorschlag oben), so brauchst Du die Flächen des Boots, die mit den Flächen des Quaders zusammen fallen, nicht mehr zu prüfen, da alle zufällig erzeugten Punkte innerhalb des Quaders liegen. In deinem Fall verbleiben dann nur noch vier Flächen - die beiden Seiten und die beiden Bugstücke. |
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Okay, super! Ich müsste erstmal alles verstanden haben und arbeite jetzt erstmal daran. Sie konnten mir gerade wirklcih alle fragen beantworten, die ich hatte, danke!! Sie haben heute wahrscheinlich meine Zukunft gerettet :-) |
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freut mich, dass ich Dir helfen konnte. Zur Kontrolle: der Schwerpunkt des Boots liegt bei - ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet. Gruß Werner |
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Danke! Eine frage habe ich dann doch noch zur sicherheit. Der gegebene Punkt liegt also nur im Schiffsrumpf, wenn er kleiner als alle Normalformen der 4 Ebenen ist? |
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Hallo Fischiii, Du drückst Dich leider etwas unscharf aus, deshalb will ich nicht vorbehaltlos zustimmen. Ich finde es wichtig, sich das ganze grafisch klar zu machen. Dazu habe ich Dir zwei Skizzen angehängt. In der linken Skizze siehst Du eine Ebene im Schnitt - also stell Dir vor, die Ebene steht senkrecht auf dem Bildschirm. Ihr Normalenvektor ist eingezeichnet und drei Punkte U, V und W. Lautet die Ebenengleichung und ist der Betrag von gleich 1, so ist der Abstand vom Ursprung zur Ebene (auf der gestrichelten Linie). Wenn man sich das Skalarprodukt anschaut, so entspricht dem Abstand vom Ursprung bis zum Projektionspunkt von auf die gestrichelte Linie. Für ist sogar . Und nur für den Punkt W gilt, dass ist, weil nur W 'vor' der Ebene liegt. Wenn man nun ein 'geschlossenes' Gebilde hat - im rechten Bilde siehst Du ein Dreieck und im Raum könnte das der Bootsrumpf aus der Aufgabe sein - so muss man bei einem gegebenen Punkt V für jede der Ebenen beurteilen, ob V vor oder hinter der Ebene liegt. Bei V im rechten Bild ist das der Fall - V liegt im Dreieck. Der Punkt U liegt zwar 'hinter' E1 und E2, aber vor E3 .. ist also draußen. Eine wichtige Bemerkung noch zum Schluss: Das Verfahren funktioniert nur für konvexe Körper, d.h. Körper ohne Einschnitte oder Löcher. Warum das so ist, überlege bitte selber. Gruß Werner   |
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