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Schwerpunkt von Rotationskörpern

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Rotationskörper, Schwerpunkt

dennijo aktiv_icon

16:29 Uhr, 09.02.2017

Hey ich muss momentan eine Facharbeit zu Thema Anwendung des bestimmten Integrals : Mantelfläche und Schwerpunkt bei Rotationskörpern Schreiben und muss dabei die formel

x_{s} = \frac{\int_{a}^{b} x \cdot f^{2} (x) d x}{\int_{a}^{b} f^{2} (x) d x}

herleiten jedoch habe ich hierbei das Problem das ich keine Herleitung finde.

Währe schon wenn einer von euch mir helfen könnte am besten mit passender quelle da es ja für eine Facharbeit ist

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Simor aktiv_icon

16:54 Uhr, 09.02.2017

Ne Quelle kann ich dir nicht geben (da ich das aus dem Kopf von meiner Mechanik-I-Vorlesung rekonstruiere), aber nen Überblick, wie die Formel entsteht.

Prinzipiell berechnet man den Schwerpunkt von n-Teilkörpern als

x_{s} = \frac{\sum_{i = 0}^{n} x_{k} \cdot m_{k}}{m_{G}}

wobei

x_{k}

die

x

Schwerpunkte der Teilkörper mit den Massen

m_{k}

und

m_{G}

die Gesamtmasse ist.

Nimmt man einen Rotationskörper mit konstanter Dichte und schneidet ihn gedanklich entlang der x-Achse in viele "Scheiben" mit der Dicke

Δ x,

so ergibt sich

m_{k} = ρ \cdot V (k)

mit dem Volumen

V (k) = Δ x \cdot A (x),

wobei

A (x)

die Querschnittsfläsche der annähernd kresförmigen Scheibe wäre.

Um jetzt dieses "annähernd" wegzubekommen machen wir

Δ x

unendlich klein, machen damit also aus der Summe ein Integral:

x_{s} = \frac{\int_{a}^{b} (x \cdot ρ \cdot A (x)) d x}{m_{G}}

Da wir uns mit einem Rotationskörper konstanter Dichte beschäftigen können wir außerdem berechnen:

m_{G} = \int_{a}^{b} ρ \cdot A (x) d x

Zu guter letzt berechnen wir

A (x)

als Fläscheninhalt des Kreises mit dem Radius

f (x) :

A (x) = {f (x)}^{2} \cdot π

Durch einsetzten ergibt sich dann:

x_{s} = \frac{\int_{a}^{b} (x \cdot ρ \cdot {f (x)}^{2} \cdot π) d x}{\int_{a}^{b} (ρ \cdot {f (x)}^{2} \cdot π) d x} = \frac{ρ \cdot π \cdot \int_{a}^{b} (x \cdot {f (x)}^{2}) d x}{ρ \cdot π \cdot \int_{a}^{b} ({f (x)}^{2}) d x} = \frac{\int_{a}^{b} (x \cdot {f (x)}^{2}) d x}{\int_{a}^{b} ({f (x)}^{2}) d x}

womit wir bei deiner Formel angelangt wären.

Wenn du zu einzelnen Schritten weitere Fragen hast, stell sie gerne.

dennijo aktiv_icon

17:14 Uhr, 09.02.2017

Auf jeden vielen dank jedoch verstehe ich nicht ganz was mit

ρ

gemeint ist.
durch den tip mit der mechanik kann ich nun nach einem ansatz suchen hatt diese formel zufällig einen bestimmten Namen ?

Simor aktiv_icon

17:23 Uhr, 09.02.2017

ρ

(griechischer Buchstabe "rho") ist das Formelzeichen für die Dichte

(=

Masse / Volumen), damit kann man aus dem Volumen die Masse berechnen.
Hier kürzt sie sich am Ende aber sowieso raus.

Schwerpunktberechnung gehört thematisch in die (Stereo-)Statik (Teilgebiet der Mechanik), da gibt es haufenweise Lehrbücher, die du dir anschauen kannst.

Die Formel direkt ist zumindest in meinem Buch nicht drin (Rotationskörper sind ansich ja etwas spezieller), aber das Grundprnzip solltest du da überall finden können...

Roman-22

17:47 Uhr, 09.02.2017

Was hindert dich daran, eine Suchmaschine deines Vertrauens mit den Schlagwörtern Herleitung Schwerpunkt Rotationskörper zu füttern?

dennijo aktiv_icon

21:47 Uhr, 09.02.2017

Das ist genau das problem ich finde keine passende quelle wenn ich danach suche

Roman-22

22:51 Uhr, 09.02.2017

>

Das ist genau das problem ich finde keine passende quelle wenn ich danach suche
Das kann ja wohl nicht sein!
Gib alle Suchbegriffe durch Leerzeichen getrennt ein.
Du meinst wirklich, dass bei den ersten paar Treffern, die du zB mittels

duckduckgo.com/?q=Schwerpunkte+von+Rotationskörpern+Herleitung+der+Berechnungsformel

erhältst, nichts Passendes dabei ist??

ZB die Facharbeit aus dem Jahr

2014

auf den Seiten von Günter Roolfs aus Hannover taucht doch bei fast jeder Suchmaschine unter den ersten fünf Treffern auf
http//www.nibis.de/%7Elbs-gym/Facharbeitenpdf/FacharbeitNTMR.pdf
Dein Lehrer kennt sie sicher auch ;-)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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