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Senkrechte durch Gerade Kehrwert

Schüler Realschule, 7. Klassenstufe

Tags: Gerade, kehrwert senkrechte, Linear Funktion

xXstyla11boyXx aktiv_icon

13:27 Uhr, 22.09.2012

Guten Tag,
Wir schreiben Montag eine Mathe Klasur (11. Klasse Abi). Ich hab nicht ganz verstanden wie man eine Senkrechte durch eine Gerade berechnet.
Ich habe irgendwas mit Kehrwert aufgeschrieben, aber an dem Tag war ich nicht da.

Ich hoffe jemand kann es mir hier erklären.
Danke im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

13:41 Uhr, 22.09.2012

Wenn man eine Gerade

g_{1}

mit der Gleichung

y = m_{1} \cdot x + n_{1}

gegeben hat und man sucht eine Gerade

g_{2}

mit der Gleichung

y = m_{2} \cdot x + n_{2},

welche senkrecht zu

g_{1}

verläuft, so muss gelten:

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

Das Produkt der Steigungen muss gleich

- 1

sein.

Oder in anderer Form:

m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}

bzw.

m_{1} = - \frac{1}{m_{2}}

Die Steigung der einen Geraden muss gleich dem negativen Kehrwert der Steigung der anderen Geraden sein.

Beispiel:

g_{1} : y = 2 x + 1 \Rightarrow m_{1} = 2

m_{2} = - \frac{1}{m_{1}} = - \frac{1}{2}

g_{2} : y = - \frac{1}{2} x + n_{2}

Nun gibt es unendlich viele parallel zueinander verlaufende Geraden, die senkrecht auf

g_{1}

stehen. Daher kann so nur die Steigung

m_{2}

der senkrechten Geraden bestimmt werden. Zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts

n_{2}

werden noch weitere Angaben benötigt.

xXstyla11boyXx aktiv_icon

13:54 Uhr, 22.09.2012

Wenn z.B. in der Aufgabe steht durch den Geraden XY soll eine Senkrechte durch den Punkt XY gehen. Wie kann ich das dan machen?

anonymous

14:20 Uhr, 22.09.2012

Ich zeige das anhand eines Beispiels:

Gesucht ist die Gleichung einer Geraden

s,

die senkrecht zur Geraden

g

mit der Gleichung

y = 0,25 x + 2

und zusätzlich durch den Punkt

P (2 | 4)

verläuft.

Für die Steigung von Geraden, die senkrecht aufeinander stehen gilt nun:

m_{1} \cdot m_{2} = - 1 \Leftrightarrow m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}

Daher gilt in diesem Fall:

m_{s} = - \frac{1}{m_{g}} = - \frac{1}{0,25} = - 4

Nun ist die Steigung und ein Punkt auf der Geraden bekannt.
Nun kann man beispielsweise die Punkt-Steigungsform verwenden, welche im Allgemeinen folgendermaßen aussieht:

y = m \cdot (x - x_{0}) + y_{0}

Dabei ist

(x_{0} | y_{0})

ein beliebiger Punkt, welcher auf der Geraden liegt.

Im Beispiel also:

s : y = - 4 \cdot (x - 2) + 4

Das wäre nun schon die passende Geradengleichung.
Meist wird diese noch in die übliche Form überführt.

s : y = - 4 \cdot x + 8 + 4

s : y = - 4 \cdot x + 12

Fertig!

- - -

Nun weiß ich natürlich nicht, ob ihr das nicht vielleicht auch anders kennt.
Alternativ kann man den y-Achsenabschnitt auch erhalten, indem man sagt:
Für alle Punkte

(x | y),

welche auf der Geraden liegen, ist wird die Geradengleichung erfüllt.

Die vorläufige Geradengleichung lautet mit der errechneten Steigung:

s : y = - 4 x + n_{s}

P (2 | 4)

auf der Geraden liegen soll muss gelten.

4 = - 4 \cdot 2 + n_{s}

4 = - 8 + n_{s}

12 = n_{s}

\Rightarrow s : y = - 4 x + 12

- - -

Zusammenfassend kann man also in etwa folgende Schritte empfehlen:

1. Schritt:
Die Steigung der senkrechten Geraden mit Hilfe von

m_{1} \cdot m_{2} = - 1

bzw.

m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}

berechnen.

2. Schritt:
Hier gibt es zwei Alternativen:

2 . a :

Errechnete Steigung und Punktkoordinaten in die Punkt-Steigungsform einsezten.
Danach evtl. noch die Klammer auflösen, indem man die Steigung hineinmultipliziert, und zusammenfassen.

2 . b :

In die allgemeine Geradengleichung

y = m \cdot x + n

das

m

durch die errechnete Steigung ersetzen und für

x

und

y

die Punktkoordinaten verwenden.
Danach nach dem y-Achsenabschnitt auflösen.
Zum Schluss mit Steigung und y-Achsenabschnitt die Gleichung der senkrechten Geraden aufstellen.

Atlantik aktiv_icon

14:30 Uhr, 22.09.2012

Du hast eine Gerade mit

f (x) = 2 x + 1

. Nun soll die Senkrechte in

P (1 | 3)

berechnet werden.

m_{1} = 2

Da nun die Steigung der Senkrechten

m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}

ist, kommst du auf

m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}

m_{2} = - \frac{1}{2}

Jetzt geht es weiter mit der Punkt-Steigungsform einer Geraden:

\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = m

Nun die Werte einsetzen und nach

y

auflösen.

mfG

Atlantik

xXstyla11boyXx aktiv_icon

16:22 Uhr, 22.09.2012

Ist es immer -1 ?
Und könntest du bitte eine Beispiel aufgabe stellen die ich mal lösen soll ob ich es jetzt kann?

xXstyla11boyXx aktiv_icon

17:23 Uhr, 22.09.2012

Ich habs glaube ich verstanden das beispiel von dir:

y = 2x +1 P(1/3)

m2 = -1/2 = -0,5
y= -0,5(x-1) +3
y= -0,5x + 3,5

so richtig?

xXstyla11boyXx aktiv_icon

17:47 Uhr, 22.09.2012

Und wenn es richtig ist, direkt mal eine Frage zum Schnittpunkt ist das so richtig:
Gleichsetzen:
-0,5x+3,5 = 2x+1 -1
-0,5x+2,5 = 2x +0.5x
2,5 = 2x /2

x= 1

Jetzt 1 in eine Gleichung einsetzen um den anderen Punkt herauszufinden

y = 2 * 1 +1 = 3

Also ist der Schnittpunkt S(1/3)
richtig?

Sams83 aktiv_icon

19:00 Uhr, 22.09.2012

Alles korrekt.

xXstyla11boyXx aktiv_icon

20:18 Uhr, 22.09.2012

Ok vielen dank, ihr helft mir schon seit der 7. Klasse. Kann ich nur weiter empfehlen.

xXstyla11boyXx aktiv_icon

16:52 Uhr, 23.09.2012

Aufgabe: gyazo.com/5d9160ec1aa499826ccdb91b94b9a764
Ich hab ein Problem:
es geht um die aufgabe c:
Steigung ist m1 ist -0,25 und m2 = -1/-0,25 = 4

y = 4(x - 12)+ 2

y = 4x - 48 + 2
y = 4x - 46

Aber das ist die Lösung die ich bekommen habe von ein anderen Schüler:
http//gyazo.com/83efd4992c7ec80fbc088baed37447a9

anonymous

17:02 Uhr, 23.09.2012

Deine Lösung stimmt.

In der Lösung des anderen Schülers, hat dieser nur die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und

B

berechnet, was in der Aufgabenstellung nicht verlangt ist.
Da er also eine andere Gerade berechnet hat, sieht seine Rechnung und die sich ergebende Gleichung natürlich auch etwas anders aus.

xXstyla11boyXx aktiv_icon

20:51 Uhr, 23.09.2012

Ok danke :-)

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