 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Sich Polynomvektorraum vorstellen?
Sich Polynomvektorraum vorstellen?
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: dimension, Linear Abbildung, Polynomvektorraum
 
|
  |
|---|
|
Hallo, Ich habe erhebliche Verständnisprobleme bezüglich Vektorräumen, wie mir scheint. Es fällt mir auf bei einem vermeindlich banalem Beispiel des Polynomvektorraumes. Ich scheitere bereits daran, um ihn mir vorzustellen ab Grad 2. Polynome 1. Grades ergeben geometrisch betrachtet eine Gerade, wobei dann die Menge sämtlicher Polynome ersten Grades eine Ebene ergeben würden, also ein Vektorraum der Dimension 2, korrekt? Wie sieht es aber jetzt beim zweiten Grad aus. Alleine bereits beim Versuch mir einen darin enthaltenen Vektor vorzustellen scheitere ich. Eine Polynomfunktion zweiten Grades ergibt eine Parabel. Wie soll darin ein Vektor enthalten sein können, auf einer gekrümten Bahn? Und warum ergibt die Menge aller Polynomfunktionen zweiten Grades nicht ebenfalls eine Ebene, sondern Dimension 3(?) ? Ich wäre sehr dankbar wenn jemand der durch meinen obigen Text verstanden hat was ich nicht verstanden habe, mir dies nahebringen könnte. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
"Polynome 1. Grades ergeben geometrisch betrachtet eine Gerade, wobei dann die Menge sämtlicher Polynome ersten Grades eine Ebene ergeben würden, also ein Vektorraum der Dimension 2, korrekt?" Wo ist der Unterschied? Du sprichst zweimal von Polynomen 1. Grades. Grundsätzlich sind alle Vektorräume gleicher Dimension über dem gleichen Körper identisch (gut, streng genommen heißt es "isomorph", aber man kann sie einfach als das gleiche Objekt betrachten). Deshalb sind reelle Polynome des Grades als Vektorraum einfach . |
|
|
|
" Und warum ergibt die Menge aller Polynomfunktionen zweiten Grades nicht ebenfalls eine Ebene, sondern Dimension 3" Weil drei Koeffizienten enthält. kann man als schreiben und schon hat man Polynome mit "normalen" Vektoren assoziiert. Im übrigen, an Polynome in diesem Kontext als an Funktionen zu denken ist ziemlich zwecklos. In dem Vektorraum "verlieren" sie ihre Eigenschaften als Funktionen, weil diese Eigenschaften einfach nicht relevant sind. |
 |
|
@DrBoogie Okay, mit deinem zweiten Beitrag wird es mir schon etwas klarer. Dass ich mir die Polynome als Funktion dargestellt habe hat mich wohl auch sehr durcheinander gebracht. Im Grunde sind , , etc. dann Richtungsvektoren, bilden gemeinsam eine Base aus den linear unabhängigen Vektoren , , usw., kann man das so sagen oder was ist falsch an der Aussage, was hab ich daran jetzt falsch verstanden? Denn kann man nicht bilden aus und umgekehrt, usw. für alle weiteren Grade. Dann kann man sich also selbst ein Polynomvektorraum 2. Grades (was ja theoretisch noch in 3 dim abbildbar wäre) nicht als Raum vorstellen? Oder wie müsste man sich es dann vorstellen? Etwa x-Richtung alle Polynome 0. Gerades, y-Richtung alle Vielfachen von x und z-Richtung alle Vielfachen von ? |
|
|
|
Doch, das ist richtig, usw. bilden die Standardbasis. |
|
|
|
"Etwa x-Richtung alle Polynome 0. Gerades, y-Richtung alle Vielfachen von x und z-Richtung alle Vielfachen von ?" Ja, das ist eine legitime Möglichkeit. |
|
|
|
hallo dein Missverständnis liegt daran, dass du bisher nur Vektoren im die du dir als "Pfeile" mit Länge und Richtung "vorstellen" kannst gehabt hast. eine vektorraum ist aber ein abstraktes Gebilde, die Objekte die darin "leben" sind nur durch die Axiome des VR definiert. Also kannst du dir Polynome als Vektoren nicht als Pfeile im oder vorstellen, sondern nur überprüfen, dass die Polynome mit der gegebenen Addition und Multiplikation mit Skalaren wirklich einen VR bilden die Polynome 5 ten Grades einen VR der Dimension 6. Wie im VR im kannst du dabei eine Basis, etwa wählen , oder eine andere: . . oder noch andere, die Haupsahe du kannst jedes Polynom 5 ten grades als Linearkombination der 6 Basisvektoren darstellen. wenn du die erste Basis wählt kannst du dann auch das Polynom als Vektor darstellen , und den Vektorraum der polynome mit der gegebenen Basis auf den abbilden, ob das deiner "Vorstellung" hilft? für jeden VR, wenn er normiert sein soll muss man ein Skalarprodukt definieren, aus dem man dann eine Norm machen kann. du kannst also nicht einfach die Komponenten wie im multiplizieren und addieren. (Skalarprodukt wird oft als definiert.) Gruß ledum |
 |
|
Okay, das scheine ich dann jetzt verstanden zu habe. Ich glaube, ich vermute dass ich zumindest das gröbste verstanden habe. Vielen vielen herzlichen Dank für deine Hilfe. Du hast mir sehr geholfen :-) |
|
|
|
@ledum Oh, danke auch dir für deine ausführliche Antwort. DrBoogie hat mir bereits geholfen mein Verständnisproblem soweit auszuräumen. Durch dich ist es dann jetzt noch ein bisschen klarer geworden ^^ |
1422690
1422679