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Sigma-Algebra abgeschlossen unter abz. Mengenop.s
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Tags: abgeschlossen unter beliebig abzählbaren Mengenoperationen, Maßtheorie, Sigma Algebra
 
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Hallo ihr Lieben! Ich hab mal wieder ne Frage: Habe gelesen, dass eine -Algebra abgeschlossen unter beliebig abzählbaren elementaren (d.h. ) Mengenoperationen ist. Das ist mir auch sehr plausibel, aber zeigen kann ich's nicht. Ich weiß immerhin, dass für eine Folge von Mengen in , wobei -Algebra die entsprechende -Algebra ist folgende Mengen wieder in sind: , und (mit der Notation ) , was einer "unendlichen Mengendifferenz" entspricht. Wenn ich den allgemeinen Sachverhalt zeigen will, habe ich vor allem zwei Probleme. Ich würde in der abzählbaren "Wurst" von Mengen aus , Klammern und elementaren Mengenoperationen erstens gerne die Klammern loswerden und zweitens geeignet umsortieren, damit ich zuerst alle erledige, dann alle usw. Dafür habe ich aber keinen Plan. Habt ihr eine Idee? Danke im Voraus, Florian |
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Hallo, dass eine -Algebra gegen abzählbare Vereinigungen abgeschlossen ist, ist meiner Meinung nach ja definitorisch so. Wegen der de Morganschen Gesetze (und der Komplementärregel der -Algebren) ist dies äquivalent dazu, dass sie auch gegen abzählbare Durchschnitte abgeschlossen ist. Wenn abzählbare Mengendifferenzen so aussehen sollen , dann geht das wegen . Sie dir doch einfach mal die Seite von wikipedia zu diesem Thema an: http//de.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-Algebra#Definition Mfg Michael |
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Erstmal danke für deine Antwort! Dass abzählbare Vereinigungen, Durchschnitte und Mengendifferenzen nicht aus der -Algebra hinausführen, ist mir klar. Was aber ist etwa mit einer Menge wie oder ähnlichen, möglicherweise weniger regelmäßigen (also nicht immer die selbe Reihenfolge der Mengenoperationen) Ausdrücken? |
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Hallo, du denkst komplett unmathematisch an dieser Stelle. Diese Menge, die du da beschreibst, ist nämlich nicht eindeutig. Machen wir's mal einfach: Welche Mengenoperation hat Vorrang? Sicher ist dir klar, dass die Antwort (im Regelfall) Auswirkung auf die (Ergebnis-)Menge hat. Worauf will ich hinaus? Nun, eine der Operationen, die du in deiner Beschreibung angegeben hast, muss die letzte sein. Wenn es "" ist, dann musst du schauen, ob die beiden zu vereinigenden Mengen Elemente der -Algebra sind. Wenn ja, dann auch die Vereinigungsmenge. (Wenn nein, dann heißt nicht automatisch, dass die Vereinigungsmenge NICHT drin ist!) Wenn es "" ist, dann musst du schauen, ob die beiden zu schneidenden Mengen Elemente der -Algebra sind. Wenn ja, dann auch die Schnittmenge. (Wenn nein, dann heißt nicht automatisch, dass die Schnittmenge NICHT drin ist!) Wenn es "" ist, dann ... Verstehst du? Mfg Michael |
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Ich fürchte ich verstehe noch nicht ganz. Klar ist, dass die Reihenfolge der Operationen Auswirkungen hat, aber wenn ich mit meiner Notation nun einfach meine, dass man der Reihe nach von links nach rechts ausführt, also etwa Warum muss eine der Operationen, die ich in meiner Beschreibung angegeben habe die letzte sein? Kann es nicht einfach immer weiter Operationen geben und die Ergebnismenge ist dann so eine Art Grenzwert? MfG, Florian |
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Die Frage wurde zwischenzeitlich automatisch geschlossen, weil ich angeblich kein Interesse mehr an der Frage hatte. Tatsächlich aber bin ich nach wie vor an der Antwort interessiert und bin nur eben auch mal drei Tage nicht im Internet. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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