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Sigma-Algebra zeigen
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Tags: Maßtheorie
 
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Seien X,Y beliebige Mengen, A eine - Algebra auf X und f : X Y eine Abbildung. Setzen wir: B := {E Y so dass (E) A} Zeigen Sie, dass B eine - Algebra auf Y ist. Wir hatten drei Axiome die erfüllt sein müssen damit B eine - Algebra auf Y ist. Allerdings kann ich das nicht zeigen. Es wäre sehr nett wenn mir das jemand vorrechnen könnte. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, "Allerdings kann ich das nicht zeigen." Das solltest Du so nicht stehen lassen, die Aufgabe ist simpel. Schreib hin, was die drei Axiome für dieses Beispiel konkret verlangen und dann überleg Dir, wie das zu zeigen ist. Gruß pwm |
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Es ist nicht so, dass ich es nicht probiert habe. Als erstes müsste ich zeigen, dass: Y B ist. Wie ich das aber mache weiß ich nicht. |
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Edit- Doppelpost |
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Hallo Husteguzel! Genau, zunächst ist zu zeigen. Was bedeutet nach Definition von B? Es bedeutet: , so dass . Nachzuweisen sind also: (i) (ii) . Zu (i) brauche ich nicht viel zu sagen, oder? Zu (ii): Überlege dir, was ist. (Wenn du nicht weiterkommst: Wie ist die Urbild-Menge definiert?) Viele Grüße Tobias |
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Hi Tobit, Ok, dass Y Y ist klar, aber warum aus der Definition von B folgt das Y B ist sehe ich nicht. Zum zweiten Teil, da f von X auf Y abbildet sollte das = X sein, was natürlich in A liegt. Aber wieso prüfe ich auf einmal A? Die Aufgabe sagt doch A? |
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"Ok, dass Y ⊆ Y ist klar, aber warum aus der Definition von B folgt das Y ∈ B ist sehe ich nicht." Ich behaupte nicht, dass direkt aus der Definition von B folge, sondern dass sich der Definition von B entnehmen lässt, was für den Nachweis von im Einzelnen zu zeigen ist, nämlich die Eigenschaften (i) und (ii) aus meiner vorherigen Antwort. "Zum zweiten Teil, da f von X auf Y abbildet sollte das f-1(Y) = X sein, was natürlich in A liegt." Ja genau, es ist . "Aber wieso prüfe ich auf einmal f-1(Y)∈ A? Die Aufgabe sagt doch f-1(E)∈ A?" Die Aufgabe definiert als die Menge aller , die erfüllen. Nun soll gezeigt werden, also dass speziell ein Element dieser Menge B ist. Also ist und zu zeigen. Wenn dieser Teil (Nachweis von ) geklärt ist: Welche beiden Eigenschaften sind noch zu zeigen, um nachzuweisen, dass eine Sigma-Algebra auf ist? |
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Also der Beweis zu i) und ii) ist für mich verständlich. Die Erkenntnis diese beiden Dinge zeigen zu müssen kann ich allerdings dennoch nicht nach vollziehen. "Nun soll gezeigt werden, also dass speziell E:=Y ein Element dieser Menge B ist." Wie man darauf kommt das E nun := Y ist verstehe ich nicht. Das Problem ist hier für mich das ich nicht weiß ob die Aufgabe sagt E ist Teilmenge von Y oder echte Teilmenge. Laut Wikipedia sind das zwei verschiedene Dinge, aber irgendwie machen das scheinbar alle (vor allem Profs.) immer so wie sie es gerade wollen bzw. wie es die Lösung leichter macht. Und wenn es eine echte Teilmenge ist dann ist E nicht = Y Aber wenn ich das so hinnehme verstehe ich es. Also nächstes wäre zu zeigen: ii) b und iii) wobei iii) für Abzählbare Vereinigungen gelten muss. |
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Gut, dass du dran bleibst und hartnäckig nachfragst! Zunächst einmal meint der/die Aufgabensteller(in) mit tatsächlich . In der Tat verwirrend, dass unterschiedliche Leute mit unterschiedliche Dinge meinen. "Wie man darauf kommt das E nun := Y ist verstehe ich nicht." Zunächst einmal gibt es in der Aufgabe keine bestimmte Menge E. Vielmehr sagt die Definition von : Wenn wir von irgendeinem Objekt testen wollen, ob gilt, müssen wir testen, ob und gelten. Wenn wir z.B. testen wollten, ob gilt, müssten wir testen, ob und gelten. (D.h. wir müssten für testen, ob und gelten. Die Schreibweise bedeutet: Ich definiere E (was ja bisher noch keine bestimmte Menge bezeichnet) als die leere Menge. Entsprechend habe ich zu Erklärungszwecken in meiner vorherigen Antwort vorübergehend E als Y definiert. Möglicherweise hat das mehr zur Verwirrung als zur Hilfe beigetragen.) Wenn wir testen wollen, ob gilt, müssen wir entsprechend nach Definition von B testen, ob und gelten. Wenn dieser letztgenannte Punkt noch nicht klar ist, frage bitte nochmal nach. Wenn dieses Verständnis noch fehlt, scheint dir nämlich die Definition der Menge B unklar zu sein. Und dieses Verständnis ist für diese Aufgabe natürlich essentiell. Bei Bedarf versuche ich es in meiner nächsten Antwort mit einem Analogon zu einer Menge natürlicher Zahlen. ("Und wenn es eine echte Teilmenge ist dann ist E nicht = Y " Hätte der/die Aufgabensteller(in) mit echte Teilmenge gemeint, würde entsprechend bedeuten, dass eine echte Teilmenge von wäre, die erfüllt. Natürlich ist keine echte Teilmenge von und daher wäre und daher keine Sigma-Algebra auf . (Aber wie gesagt ist mit hier tatsächlich vielmehr und nicht "echte Teilmenge" gemeint.)) Zu deinen Punkten (ii) und (iii) schreibe ich gleich eine separate Antwort. |
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"Also nächstes wäre zu zeigen:" "ii) b ∈B⇒E/b=bc∈B" Ja, zu zeigen ist, dass für alle auch gilt, wobei eine abkürzende Schreibweise für ist. Sei dazu beliebig vorgegeben. Zu zeigen ist . Was bedeuten die Aussagen (die gegeben ist) und (die zu zeigen ist) jeweils nach Definition von ? (Solange dir die Definition von B noch unklar ist, kannst du diese Frage natürlich noch nicht beantworten.) "iii) b1,...,bm∈B⇒⋃k=1mbk∈B wobei iii) für Abzählbare Vereinigungen gelten muss." Zu zeigen ist: iii) Für alle Folgen von Elementen (für ) ist auch . Sei dazu eine solche Folge von Elementen (für ) beliebig vorgegeben. Zu zeigen ist . Was ist also nach Definition von B gegeben (wegen ) und was ist nach Definition von B zu zeigen? Aber am Besten der Reihe nach: - Erst gilt es, die Definition von B wirklich zu verstehen. - Danach ii) bearbeiten. - Danach iii) bearbeiten. |
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Ok, ich denke ich habe die Argumentation nun verstanden. Also ist B eine Menge mit E Y für die gilt, dass das Urbild also Element von A ist. Wobei ich quasi sagen kann E = Y. zu ii) Wenn ich schon gezeigt habe das Y B ist, ist es dann nicht "klar", dass ist? Weil b ist in B und Y ist in B, also ist auch in B weil EDIT ich Y ja sozusagen verkleinere wenn ich die Teile von Y rausnehme die sich mit b überschneiden. Aber wie ich den Gedanken jetzt Mathematisch beweise ist mir nicht ganz klar. zu iii) ? |
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"Also ist B eine Menge mit E ⊆ Y für die gilt, dass das Urbild also f-1(E) Element von A ist." B ist die Menge ALLER , für die gilt, dass das Urbild Element von A ist. Es gibt (im Allgemeinen) ganz viele solche Mengen E, die Element von B sind. "Wobei ich quasi sagen kann E = Y." Nein, die Definition von B an sich hat nichts mit zu tun. (Lediglich um zu prüfen, ob gilt, ist zu prüfen, ob die spezielle Menge die Bedingung mit erfüllt.) Ich habe nicht den Eindruck, dass dir die Definition von B klar ist. Betrachten wir zunächst mal eine anschaulichere Menge, nämlich die Menge aller natürlichen Zahlen, die kleiner als 10 sind. Ich gehe davon aus, dir ist klar, wie viele und welche Elemente M enthält? Was müssen wir tun, wenn wir z.B. prüfen wollen, ob gilt? Wir müssen prüfen, ob gilt und ist. Offenbar ist beides der Fall und daher . Was müssen wir tun, wenn wir z.B. prüfen wollen, ob gilt? Wir müssen prüfen, ob gilt und ist. Offenbar trifft zu, aber nicht. Also gilt . Was müssen wir tun, wenn wir z.B. prüfen wollen, ob gilt? Wir müssen prüfen, ob gilt und ist. Offenbar ist und daher . Sei nun ein beliebiges Element vorgegeben. Was bedeutet nach Definition von ? Die Aussage bedeutet und . Angenommen wir wollen von einem Objekt k zeigen, dass gilt. Was müssen wir dafür nach Definition von tun? Wir müssen und zeigen. (Betrachten wir nochmal den Nachweis von . Ich hätte dafür alternativ auch schreiben können: Für gilt und . Also gilt . Das bedeutet jedoch nicht, dass in der Definition von selbst irgendwo 5 statt stehen dürfte.) Ich hoffe, nun ist die Bedeutung von Mengenschreibweisen etwas klarer geworden? In der Definition von B spielt E die gleiche Rolle wie in der Definition von M: Die Variablen E bzw. n bezeichnen kein festes Objekt, sondern dienen der Beschreibung aller Elemente der Menge B bzw. M. Zu ii) schreibe ich wieder eine separate Antwort. |
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"zu ii)" "Wenn ich schon gezeigt habe das Y ∈ B ist, ist es dann nicht "klar", dass bc∈B ist? Weil b ist in B und Y ist in B, also ist bc auch in B weil [...] ich Y ja sozusagen verkleinere wenn ich die Teile von Y rausnehme die sich mit b überschneiden." Es stimmt, dass eine Teilmenge von ist und wir schon gezeigt haben. Aber daraus alleine lässt sich nicht folgern. (Etwas unpräzise formuliert: Der Clou bei einer Sigma-Algebra auf einer Menge ist ja gerade, dass manche Teilmengen von als Elemente enthält, aber längst nicht alle Teilmengen als Elemente enthalten muss.) Ich hoffe, du bist nach Studium meines Beispieles mit den natürlichen Zahlen nun in der Lage anzugeben, was die Aussagen und jeweils nach Definition von bedeuten? |
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Die Mengenschreibweisen sind mir tatsächlich klar. Allerdings kann ich deswegen nicht mehr Information aus der Definition von B herauslesen. Da steht halt B ist die Menge von E die in Y ist für die gilt, dass das Urbild von E in A liegt. Mir ist dann jetzt auch nicht mehr klar warum nun Y B bewiesen ist. Weil eigentlich wurde es ja jetzt nur für die spezielle Menge E := Y gezeigt. Das erscheint mir willkürlich weil man sich dann einfach etwas rauspickt wo es halt geht. Da ich nicht weiß wie Y oder E aussehen kann ich doch nicht einfach behaupten das E := Y sein kann. |
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"Da steht halt B ist die Menge von E die in Y ist für die gilt, dass das Urbild von E in A liegt." B ist die Menge ALLER E mit ... "Mir ist dann jetzt auch nicht mehr klar warum nun Y ∈ B bewiesen ist. Weil eigentlich wurde es ja jetzt nur für die spezielle Menge E := Y gezeigt. Das erscheint mir willkürlich weil man sich dann einfach etwas rauspickt wo es halt geht. Da ich nicht weiß wie Y oder E aussehen kann ich doch nicht einfach behaupten das E := Y sein kann." Hast du die gleichen Einwände auch gegen meinen Nachweis von ? Also in der Art: "Mir ist dann jetzt auch nicht mehr klar, warum nun bewiesen ist. Weil eigentlich wurde es ja jetzt nur für die spezielle Zahl gezeigt. Das erscheint mir willkürlich weil man sich dann einfach etwas rauspickt wo es halt geht. Da ich nicht weiß wie 5 oder n aussehen kann ich doch nicht einfach behaupten das n := 5 sein kann." Zwei Möglichkeiten: 1. Der Beweis von ist dir aus diesen Gründen genauso unklar. Dann würde ich zunächst versuchen, an diesem anschaulicheren Beweis deine Einwände zu entkräften. 2. Der Beweis von ist dir im Gegensatz zum Beweis von klar. Dann versuche bitte zu formulieren, was am Beweis von klar, am Beweis von jedoch unklar ist. Welche der beiden Möglichkeiten liegt vor? |
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Möglicherweise ist die Analogie zwischen den Aussagen und noch nicht hinreichend deutlich geworden. Wir haben und . Dabei spielen die Variablen und analoge Rollen: Die Variable bezeichnet keine feste natürliche Zahl, sondern ist Bestandteil der Beschreibung der Menge . Die Variable bezeichnet keine feste Teilmenge von , sondern ist Bestandteil der Beschreibung der Menge . ist die Menge aller mit einer gewissen Eigenschaft (nämlich ). ist die Menge aller mit einer gewissen Eigenschaft (nämlich ). Die Aussage bedeutet: Es gilt und 5 hat "die gewisse Eigenschaft" (nämlich ). Die Aussage bedeutet: Es gilt und hat "die gewisse Eigenschaft" (nämlich ). Wenn dir noch etwas unklar ist, gib bitte an, ob die Unklarheit nur "bei E/Y/B" oder auch analog "bei n/5/M" besteht, damit ich weiß, wo ich bei meinen Erklärungen ansetzen muss. |
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Erstmal vielen Dank für deine Geduld. Ich bin sehr langsam im Kopf und ungefähr so schlau wie Knäckebrot(Wobei das wenigstens knacken kann). Der Teil mit 5 M ist mir natürlich klar. Und auch die Folgerungen daraus, allerdings habe ich die Analogie zu B erstmal nicht erkannt. Ich denke ich weiß jetzt aber was du meinst. Ich tue mich bei dem einen nur schwer weil ich das Gefühl habe über die Menge Y nichts zu wissen, bei deinem Beispiel hingegen weiß ich ja wie aussieht. Entsprechend kann ich mit n deutlich mehr anfangen als mit einem Y von dem ich nur weiß das es ein f gibt das von X auf Y abbildet. Wäre die Aussage jetzt {2,3,4,7} dann würde das wohl bedeuten {2,3,4,7} Y wo wobei B eine Menge von Mengen zu sein scheint. Um jetzt zu zeigen, dass ist muss ich also irgendwie zeigen ist immernoch eine Menge die in B enthalten ist. Ich kann also nicht einfach sagen Y\b ist weniger als Y was ja bereits drin liegt also muss Y\b in B sein. Weil es sich hier um Mengen handelt und Y\b eine neue Menge ist die nicht zwingend in B liegen muss. Ich könnte ja sagen M = {{1,2},{2,4},{2}} dann wäre ({2,4}\4)={2} in M aber ({1,2}\2) = 1 nicht weil {1} als Menge nicht in M ist. Ich kann das jetzt aber erstmal nicht für meine Aufgabe verwenden. Ist dieses Beispiel richtig? |
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Ich glaube, jetzt hat es bei dir Klick gemacht! :-) Auch dir vielen Dank für deine Geduld mit mir. Gut, dass du hartnäckig dran geblieben bist und immer wieder nachgefragt hast! Natürlich ist die Menge B deutlich "abstrakter" als meine Menge M. Der Sinn der Betrachtung meiner Menge M war ja auch gerade, eine anschaulichere Menge zum Vergleich heranzuziehen. "Wäre die Aussage jetzt {2,3,4,7} ∈B dann würde das wohl bedeuten {2,3,4,7} ⊆ Y wo f-1(2,3,4,7)∈A" Genau! Die Aussage {2,3,4,7} ∈B bedeutet: ist eine Teilmenge von Y mit der Eigenschaft . (Vergiss die geschwungenen Mengenklammern bei nicht.) "wobei B eine Menge von Mengen zu sein scheint." So ist es. Sigma-Algebren sind immer Mengen von Mengen. Genauer: Sigma-Algebren auf einer Menge Z sind immer Mengen von Teilmengen von Z. "Um jetzt zu zeigen, dass bc∈B ist muss ich also irgendwie zeigen Y\b ist immernoch eine Menge die in B enthalten ist. Ich kann also nicht einfach sagen Y\b ist weniger als Y was ja bereits drin liegt also muss Y\b in B sein. Weil es sich hier um Mengen handelt und Y\b eine neue Menge ist die nicht zwingend in B liegen muss." Ja. "Ich könnte ja sagen M = {{1,2},{2,4},{2}} dann wäre ({2,4}\4)={2} in M aber ({1,2}\2) = 1 nicht weil {1} als Menge nicht in M ist." Bis auf ein paar vergessene Mengenklammern (es sollte und heißen) völlig richtig. Die zu zeigende Aussage bedeutet: a) und b) . Die Gültigkeit von a) hast du ja quasi schon überlegt. Für b) benötigst du die Voraussetzung . Die vorausgesetzte Aussage bedeutet: und . Soweit alles klar? Um b) nachzuweisen, versuche herauszufinden, wie die Urbildmenge mit der Urbildmenge zusammenhängt. |
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Wenn ich das richtig verstehe muss ich eigentlich nur a) zeigen. Weil b) würde aus a) folgen. Wenn ist dann ist quasi = Y und damit ist das wurde bereits gezeigt. Ich müsste also a) zeigen. Du hast gesagt, dass ich mir den Part quasi schon überlegt habe. Ich bin mit meinen Überlegungen aber eher zu dem Schluss gekommen, dass ich mir da noch nicht sicher bin. Ich hatte jetzt folgenden Gedankengang: B ist eine Menge von Mengen{{},{},{}}. Also ist eine Menge b={.,.,.}, ich würde sagen Y ist ebenfalls eine "normale" Menge {.,.,.} nun entferne ich aus Y das b, ich würde sagen daraus folgt das weil b ist eine Menge und Y enthält keine Mengen sondern nur einzelne Elemente, ich entferne also nichts weil b nicht in Y ist. Sollte das so stimmen fehlt noch der letzte Punkt und ich vermute da wird es nochmal ekelig. |
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"Wenn ich das richtig verstehe muss ich eigentlich nur a) zeigen. Weil b) würde aus a) folgen. Wenn bc⊆Y ist dann ist bc quasi = Y und damit ist f-1(bc)=f-1(Y) das f-1(Y)∈A wurde bereits gezeigt." Nein, es gilt im Allgemeinen nur und nicht . Auch stimmt im Allgemeinen nicht. (Die Menge enthält als Elemente nur Objekte, die auch Elemente von sind. Aber muss nicht alle Elemente von Y als Elemente enthalten. Unpräzise gesprochen kann "sehr viel kleiner" als Y sein.) b) bleibt also noch zu zeigen. Wir wissen nach Voraussetzung . Wir müssen zeigen. Daher nochmals die Frage: Findest du heraus, wie mit zusammenhängt? "Ich müsste also a) zeigen. Du hast gesagt, dass ich mir den Part quasi schon überlegt habe. Ich bin mit meinen Überlegungen aber eher zu dem Schluss gekommen, dass ich mir da noch nicht sicher bin." Okay. Zeigen möchtest du , d.h. . Machen wir dies mal ganz formal und ausführlich: Es ist (*) nach Definition der Mengendifferenz . Um nun einzusehen, sei . Zu zeigen ist . Nach (*) bedeutet gerade: und . Insbesondere also tatsächlich . Damit ist nachgewiesen. Jenseits dieser formalen Argumentation sollte dir jedoch auch anschaulich klar sein. Schließlich ist die Menge aller Elemente von Y, die nicht Element von b sind. Insbesondere enthält als Elemente nur Elemente von Y. "B ist eine Menge von Mengen{{},{},{}}." Natürlich ist diese Schreibweise nicht mathematisch präzise, aber wenn sie dir bei der Vorstellung hilft, habe ich nichts dagegen einzuwenden. "Also ist b∈B eine Menge b={.,.,.}, ich würde sagen Y ist ebenfalls eine "normale" Menge {.,.,.}" Auch die Idee von "normalen Mengen" ist sicherlich mathematisch unpräzise, aber wahrscheinlich hilfreich für das Verständnis. "nun entferne ich aus Y das b," Nein, wir entfernen, wenn wir bilden, sozusagen aus Y alle ELEMENTE von b, nicht b selber. "ich würde sagen daraus folgt das bc⊆Y weil b ist eine Menge und Y enthält keine Mengen sondern nur einzelne Elemente, ich entferne also nichts weil b nicht in Y ist." Die einzelnen Elemente von Y könnten zwar "zufällig" auch Mengen sein, aber wieder ist wohl die (unpräzise) Vorstellung hilfreich, dass "typischerweise" keine Mengen als Elemente enthält und daher gilt. Entscheidend für die Vorstellung ist die unpräzise Idee: Wir entfernen bei der Bildung von aus Y gewisse Elemente, ohne neue Elemente hinzuzufügen. Also erhalten wir eine Teilmenge von Y. "Sollte das so stimmen fehlt noch der letzte Punkt und ich vermute da wird es nochmal ekelig." Naja, so ekelig nun auch wieder nicht. Falls du parallel schon einmal damit beginnen möchtest: iii) Sei eine Folge von Elementen (für k∈ℕ\{0}) beliebig vorgegeben. Zu zeigen ist . Gegeben ist für jedes also jeweils , d.h. nach Definition von B was? Und was ist für nach Definition von B nachzuweisen? |
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Vielleicht hängen die beiden Urbilder folgendermaßen zusammen: Es gilt das also ist und also sollte das Urbild von doch auch in X liegen. Weil ich einen gewissen Teil habe der in Y ist und ich mit dem Urbild von dort nach X komme. Und da X ist müsste auch gelten. Habe ich außerdem richtig verstanden das meine Annahmen zu den Mengen zwar mathematisch unpräzise sind aber im Prinzip halbwegs richtig? Zu iii) Nach Definition von B müsste doch gelten, dass erfüllt ist. Es muss jetzt also gezeigt werden, dass auch das Urbild der Vereinigung dieser ganzen element von A ist. So verstehe ich das jetzt erstmal. Beweisen kann ich das nicht so richtig. Ich würde jetzt ganz naiv sagen, die ganzen liegen ja in B und damit nach Definition auch mit dem Urbild im A. Was spricht also dagegen das auch die Vereinigung da drin liegt. Ich nehme an die Menge die bei der Vereinigung entsteht könnte sozusagen größer sein als B und damit vielleicht nicht mehr die Definition erfüllen. |
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"Es gilt das f-1(b)∈A" Ja. "also ist f-1(b)∈X" Nein. ist eine Teilmenge von . Es gilt nach Definition von Urbildmengen: . "und bc⊆Y" Ja. "also sollte das Urbild von bc doch auch in X liegen" Die Urbildmenge von unter ist eine Teilmenge von , i.A. kein Element von . Es gilt nach Definition von Urbildmengen: . Ich wollte auf die Gleichheit hinaus. (Soll ich sie beweisen oder ist dir dieser Zusammenhang bekannt?) Siehst du, wie wir mit ihrer Hilfe unter Verwendung von wie gewünscht zeigen können? "Habe ich außerdem richtig verstanden das meine Annahmen zu den Mengen zwar mathematisch unpräzise sind aber im Prinzip halbwegs richtig?" Ich habe im Einzelnen ja kommentiert, welche Vorstellungen ich angemessen finde und welche ich für fehlerhaft halte. Die von mir als unpräzise gekennzeichneten Vorstellungen solltest du nicht in einer Klausur niederschreiben, aber für dein Verständnis und unseren Dialog darfst du sie von mir aus gerne verwenden. "Zu iii) Nach Definition von B müsste doch gelten, dass f-1(bk)∈A erfüllt ist." Ja genau. Für jedes bedeutet die Aussage , dass eine Teilmenge von mit der Eigenschaft ist. "Es muss jetzt also gezeigt werden, dass auch das Urbild der Vereinigung dieser ganzen bk element von A ist." Genau. Zu zeigen ist, dass eine Teilmenge von mit der Eigenschaft ist. Wie hängt die Urbildmenge mit den Urbildmengen der Form zusammen? Es gilt . (Soll ich dies beweisen oder ist dir dies bekannt?) Kannst du damit unter Verwendung von für alle begründen, dass gilt? |
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Die Gleichheit von ist mir von Wikipedia aus bekannt. Tatsächlich habe ich mir genau das vor meinem letzten Post angesehen und überlegt ob es mir helfen kann. Einen Beweis dazu kenne ich aber nicht. Kann ich aus dieser Gleichheit folgern das Und wenn diese Urbilder Teilmengen von X sind müssen sie dann nicht zwangsläufig eine Teilmenge von A sein weil X Element von A ist weil A ja Sigma Algebra auf X ist? zu iii) Der Zusammenhang war mir nicht bekannt. Aber auch mit diesem Wissen kann ich das erstmal nicht zeigen. |
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"Kann ich aus dieser Gleichheit folgern das " Es muss statt heißen. "Und wenn diese Urbilder Teilmengen von X sind" Sind sie. "müssen sie dann nicht zwangsläufig eine Teilmenge von A sein weil X Element von A ist weil A ja Sigma Algebra auf X ist?" Nein. Die Urbildmengen sind Teilmengen von X, also (um in deiner unpräzisen Vorstellung zu sprechen) "normale Mengen". Teilmengen von A hingegen sind (wie A selbst) Mengen von Mengen. Zum Nachweis von : Es gilt und . Wir müssen also zeigen. (Wenn dir die Gültigkeit dieser Gleichung anschaulich klar ist oder du sie ohne Beweis hinnehmen möchtest, kannst du den nun folgenden formalen Beweis überspringen.) --------------------------------------------------------------------------------------- Dazu weisen wir nacheinander 1. 2. nach. Zu 1.: Sei (d.h. (*) und (**) ). Zu zeigen ist (d.h. und ). Die Bedingung ist gemäß (*) erfüllt. Zum Nachweis von : Angenommen es wäre doch . Dann wäre . Gemäß (**) gilt jedoch . Wir haben also einen Widerspruch aus der Annahme hergeleitet; somit gilt , was zu zeigen war. Zu 2.: Sei (d.h. (***) und (****) ). Zu zeigen ist (d.h. und ). Die Bedingung ist gemäß (***) erfüllt. Zum Nachweis von (d.h. und ): ergibt sich daraus, dass . Zum Nachweis von sei angenommen, es wäre doch (*****). Dann gilt (denn: gemäß (***) und gemäß (*****) ) im Widerspruch zu (****). Damit ist wie gewünscht gezeigt, was unseren Nachweis abschließt. ------------------------------------------------------------------------------------------ Nun zum Nachweis von : Es gilt . und . Jetzt wäre noch formal nachzuweisen, dass gilt. Ich verzichte auf diese Details. (Es sei denn, du wünschst dir, den Nachweis zu sehen.) Nun zum eigentlich Wichtigen, dem Nachweis von : Gemäß genügt es also zu zeigen. Wir wissen schon . Da A eine Sigma-Algebra ist, folgt daraus wie gewünscht . Am Rande: Wir wollen ja quasi zeigen: Wenn A eine Sigma-Algebra ist, ist auch B eine Sigma-Algebra. Da ist es naheliegend, dass wir zum Nachweis der drei Eigenschaften für B jeweils die entsprechende Eigenschaft für A verwenden. Tatsächlich haben wir zum Nachweis von die Eigenschaft genutzt. Zum Nachweis der Abgeschlossenheit von B unter Komplementen haben wir die Abgeschlossenheit von A unter Komplementen genutzt. Und zum Nachweis der Abgeschlossenheit von B unter abzählbaren Vereinigungen (also Teil iii) ) wirst du benötigen, dass A abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen ist. Kannst du nun die noch fehlende Aussage unter Verwendung von und für jedes begründen? |
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Sorry, hat bei mir jetzt etwas gedauert. Um die beweise zu verstehen brauche ich sicher noch ein wenig Zeit und die werde ich mir noch nehmen. Aber ich glaube ich habe jetzt vielleicht verstanden worauf du raus möchtest. Da A Sigma-Algebra ist gilt für A ja das irgendeine Menge in A existiert deren Komplement auch wieder in A liegt. Da gilt muss auch gelten. Dabei ist nun eine beliebige Menge in A und für A gilt ja, dass das Komplement davon auch in A sein muss, sonst wäre A keine Sigma Algebra. Also: mit Für iii) Nach Definition von A und B gilt und dadurch das A Sigma-Algebra ist muss die Vereinigung der sein. Weil die einzelnen Mengen liegen in A und A muss die Bedingung erfüllen, dass die Vereinigung ebenfalls Element von A ist. Eine Sache gibt es da aber noch. Laut unserer Vorlesung muss dies für Abzählbare Vereinigungen gelten damit A Sigma-Algebra ist. Würde Abzählbar nicht bedeuten es geht nicht bis unendlich? Weil bei deinen Vereinigungen oben unendlich steht und in unserem Skript nicht. |
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Kein Problem, dass es etwas gedauert hat. Ich antworte ja auch nicht immer sofort. Schließlich haben wir beide auch ein Leben außerhalb von Internet-Foren... ;-) "Da A Sigma-Algebra ist gilt für A ja das irgendeine Menge in A existiert deren Komplement auch wieder in A liegt." Es gilt sogar vielmehr: Für JEDE Menge, die Element von A ist. ist auch deren Komplement wieder Element von A. "Da b∈B gilt muss auch f-1(b)∈A gelten." Ja. "Dabei ist f-1(b) nun eine beliebige Menge in A und für A gilt ja, dass das Komplement davon auch in A sein muss, sonst wäre A keine Sigma Algebra." Genau. "Also: f-1(b)∈A mit X\f-1(b)∈A⇒X\f-1(b)=(f-1(b))c∈A" Ja, wegen ist auch . Und wegen ist somit wie gewünscht . "Für iii) Nach Definition von A und B gilt f-1(bk)∈A" Ja, nach Definition von gilt für jede natürliche Zahl wegen die Bedingung . "und dadurch das A Sigma-Algebra ist muss die Vereinigung der bk∈A sein. " Nein, nicht die Vereinigung der ist Element von A, sondern die Vereinigung der ist Element von A. "Weil die einzelnen Mengen liegen in A und A muss die Bedingung erfüllen, dass die Vereinigung ebenfalls Element von A ist." Ja. Wir haben also wie gewünscht . "Eine Sache gibt es da aber noch. Laut unserer Vorlesung muss dies für Abzählbare Vereinigungen gelten damit A Sigma-Algebra ist. Würde Abzählbar nicht bedeuten es geht nicht bis unendlich? Weil bei deinen Vereinigungen oben unendlich steht und in unserem Skript nicht." Wenn oben eine natürliche Zahl als Index stehen würde, würde man eher von einer ENDLICHEN Vereinigung als von einer abzählbaren Vereinigung sprechen. Wie lautet denn die genaue Formulierung der dritten Bedingung an eine Sigma-Algebra innerhalb eurer Definition einer Sigma-Algebra? (Statt könnte man genauso gut schreiben; erstgenannte Schreibweise ist nur eine andere Schreibweise für letztgenannte. Wenn bei euch die 0 nicht zu den natürlichen Zahlen zählen sollte, könnte man auch schreiben.) |
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Ok ich habe jetzt das Gefühl es verstanden zu haben. Ich musste die Aufgabe auch heute abgeben. Ich möchte mich nochmal für die Geduld bedanken, ich habe durch deine Antworten sehr viel gelernt. Vor allem habe ich jetzt eine bessere Herangehensweise für zukünftige Aufgaben und werde ab jetzt mehr darauf achten was mir die Definitionen genau sagen. Ich habe unsere Definition der Sigma-Algebra mal als Bild hochgeladen.  |
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Vielen Dank für deine freundliche Rückmeldung, das freut mich sehr! :-) Zu eurer Formulierung der Definition einer Sigma-Algebra: Ich halte sie (gelinde gesagt) für (in mehrerlei Hinsicht) unglücklich. Gemeint ist (da bin ich mir nur deshalb sicher, weil ich den Begriff einer Sigma-Algebra ohnehin schon kannte): (Hier scheint es ein Problem des Forums mit den Formeln zu geben. Da, wo Kästchen angezeigt werden, sollte eigentlich ein "geschwungenes" A stehen.) Sei eine beliebige Menge. Eine Menge heißt -Algebra auf , wenn die Eigenschaften i), ii) und iii) aus der Definition einer Algebra erfüllt sind und zusätzlich gilt: iv) Für alle Folgen ist auch . Nach eurer Definition müsste man also zum Nachweis, dass eine Menge von Teilmengen einer Menge eine -Algebra ist, die vier (!) Eigenschaften i), ii), iii) und iv) nachweisen. Jedoch gilt folgende Bemerkung: Bedingung iv) impliziert Bedingung iii). Daher kann man sich den Nachweis von iii) beim Nachweis einer -Algebra sparen und muss nur i), ii) und iv) nachweisen. Üblicherweise wird eine -Algebra direkt mithilfe der Eigenschaften i), ii) und iv) definiert. (Bei der vorliegenden Aufgabe haben wir auch die Bedingungen i), ii) und iv) geprüft.) Zur Verdeutlichung: Jede Algebra (ohne !) erfüllt Bedingung iii), d.h. ist abgeschlossen unter ENDLICHEN Vereinigungen. Jede -Algebra erfüllt sogar Bedingung iv), ist also abgeschlossen unter ABZÄHLBAREN Vereinigungen (was auch die Abgeschlossenheit unter ENDLICHEN Vereinigungen impliziert). |
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Da ist unsere Formulierung tatsächlich etwas umständlich. So ist das jetzt deutlich klarer. |
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