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Sigma-Umgebung zu gegebener Wahrscheinlichkeit

Schüler

Tags: Normalverteilung, Stochastik

Sabine2 aktiv_icon

13:50 Uhr, 25.05.2012

Hallo liebes Forum,

ich soll die

σ

-Umgebung von

μ

bestimmen, die die Wahrscheinlichkeit

0,2

beträgt.

Wir sind heute mit dem Thema "Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung" angefangen, die Formal von Laplace und de Moivre sind mir also ein Begriff, somit also auch die Standardisierung.

Ich könnte die Wahrscheinlichkeit für eine vorgegebene

σ

-Umgebung bestimmen, aber sorum habe ich leider keine Ideen.

Habt ihr vllt. Ansätze?

Φ (μ + k \cdot σ) - Φ (μ - k \cdot σ) \approx 0,2

Wie kann man das nun nach

k

auflösen?

Danke und lieben Gruß,

Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathe-Steve aktiv_icon

14:23 Uhr, 25.05.2012

Hallo,
wenn in der Umgebung

0,2

liegen, liegen je

0,4

unterhalb und

0,4

oberhalb weil insgesamt 1 herauskommen muss.
Jetzt nimmst Du eine Normalverteilungstabelle und suchst den geeigneten Wert heraus.
Gruß
Stephan

Sabine2 aktiv_icon

14:56 Uhr, 25.05.2012

Haha, wie einfach das manchmal ist.. und man kommt trotzdem nicht drauf

\frac{:}{}

Auf jeden Fall danke! :-)

Sabine2 aktiv_icon

13:59 Uhr, 28.05.2012

Ich muss leider noch einmal nachhaken. Meine Lehrerin verlangt einen "ausführlicheren Rechenweg"..

Ich habe mir folgendes überlegt:

P (μ - k \cdot σ \leq X \leq μ + k \cdot σ) = 0,2

Φ (k) - Φ (- k) = Φ (k) - 1 + Φ (k) = 2 \cdot Φ (k) - 1 = 0,2

\Leftrightarrow Φ (k) = 0,6

Das

k

entnehme ich der Tabelle, ich komme somit auf das selbe Ergebnis.

Dazu aber noch eine Frage:

In der zweiten Zeile habe ich mit

Φ (k) - Φ (- k)

gerechnet. Ich habe also im Prinzip ja nichts anderes gemacht, als die beiden Interwallgrenzen

μ \pm k \cdot σ

standardisiert, oder?

Wieso ist hier die Stetigkeitskorrektur nicht notwengig? Also wieso rechne ich mit

Φ (k) - Φ (- k)

und nicht mit

Φ (k + 0,5) - Φ (- k - 0,5)

weiter?

Grüße,
Sabine

Mathe-Steve aktiv_icon

14:19 Uhr, 28.05.2012

Hallo,

die Transformation lautet $Z = \frac{X - μ}{σ}$ , also ist $z_{1} = \frac{μ - k σ - μ}{σ} = - k$ , $z_{2} = \frac{μ + k σ - μ}{σ} = k$ .

Wenn Du die Stetigkeitskorrektur mitnehmen würdest, könntest Du gar nichts mehr ausrechnen, weil $σ$ unbekannt ist.

Für die Normalverteilung ist die Stetigkeitskorrektur ohnehin ohen Belang, Sie soll nur sicherstellen, dass bei der Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung "vorsichtig" gerundet wird.

Gruß

Stephan

Sabine2 aktiv_icon

14:29 Uhr, 28.05.2012

Aber approximiere ich nicht hier eine Binomialverteilung durch die Normalverteilung?

Für ein binomialverteiltes

X

soll

P (μ - k \cdot σ \leq X \leq μ + k \cdot σ)

gelten.

Durch die Transformation (wie von dir beschrieben) führe ich dies dann zu einer Normalverteilung zurück. Stetigkeitskorrektur muss deshalb berücksichtigt werden.

P (- k - 0,5 \leq \frac{X - μ}{σ} \leq k + 0,5) = Φ (k + 0,5) - Φ (- k - 0,5)

Ich weiß natürlich, dass du recht hast und dass mein obiger Weg falsch ist. Aber mir ist noch nicht wirklich klar, wieso.

Mathe-Steve aktiv_icon

14:39 Uhr, 28.05.2012

Ob ich wirklich recht habe, wer weiß das schon.

Die Stetigkeitskorrektur benötigst Du, wenn ein diskretes (ganzzahliges Merkmal) (z.B. Augenzahl beim Würfeln kann nur 1,2,3,... aber nicht 3,27 sein) durch die stetige Normalverteilung genähert werden soll. Solange die Aufgabe keine Aussage über diskret oder stetig enthält, würde ich es halt lassen.

Und: welchen Sinn haben µ und $σ$ im Zusammenhang mit der Binomialverteilung? Im Gegenteil berechnest du doch µ=np und var=npq erst aus gegebenen n und p. Somit scheint Deine Aussage: betrachte ein binomialverteiltes $P (\frac{µ - k σ}{σ} \leq X \leq \frac{µ + k σ}{σ})$ zweifelhaft.

Sabine2 aktiv_icon

14:45 Uhr, 28.05.2012

Okay, dann soll das erst einmal genügen als Antwort ;-)

Lieben Dank :-)

Sabine2 aktiv_icon

15:10 Uhr, 28.05.2012

Okay.. ich bins wieder.

Als wir im Unterricht noch das Thema Binomialverteilung hatten, haben wir immer Intervalle der Form

[μ - k \cdot σ; μ + k \cdot σ]

gebildet. Natürlich muss man dann immer auf ganze Zahlen runden, weil Dezimalzahlen bei einer diskreten Verteilung keinen Sinn ergeben.
Dann wurden uns wie von Geisterhand Werte gegeben. Beispiel: In der

2 σ

-Umgebung liegen

95,5 %

aller Werte für X.

Jetzt wo wir die Normalverteilung eingeführt haben, kann man dies ja leicht mit

2 \cdot Φ (2) - 1

überprüfen. Und es stimmt.

Nun kann ich die Normalverteilung aber nur für hinreichend große

n

anwenden, weil die Histogramme der Bin-Verteilung so symmetrischer aussehen.

Stimmt meine Behauptung, dass dieser Wert von

95,5 %

umso besser erreicht wird, je größer

n

ist?

Und dass das

X

bei

P (μ - k \cdot σ \leq X \leq μ + k \cdot σ)

nicht binomialverteilt ist, macht in dem Fall auch sinn, da die Grenzen nur in den seltensten Fällen ganze Zahlen ergeben.

Richtig?

Mathe-Steve aktiv_icon

15:31 Uhr, 28.05.2012

Die Binomialverteilung hat die Parameter n und p und nicht µ und $σ$ . Man kann allerdings mit dem erwartungswert µ=np und der Wurzel aus der Varianz $σ = \sqrt{n p q}$ rechnen und dann durch die Normalverteilung approximieren, wobei npq >> 9 gelten muss, sonst ist die Näherung zu schlecht. Es hängt also nicht allein von n ab, aber großes n ist schon mal gut.

Matlog aktiv_icon

20:12 Uhr, 28.05.2012

Noch eine kleine Anmerkung zur Stetigkeitskorrektur:

Wenn eine binomialverteilte Zufallsvariable durch eine Normalverteilung angenähert wird, dann ist die Stetigkeitskorrektur sinnvoll.
Mit der Normalverteilung würde sich beispielsweise für

P (X = 27) = 0

ergeben. Deshalb betrachtet man stattdessen

P (26,5 < X < 27,5)

.

Dies macht bei der originalen Zufallsvariable

X

einen Sinn, aber bestimmt nicht bei der standardisierten Zufallsvariable.
Also etwas wie das um

14 : 29

Uhr gepostete

P (- k - 0,5 \leq \frac{X - μ}{σ} \leq k + 0,5)

=Φ(k+0,5)-Φ(-k-0,5)
geht gar nicht!

Wenn wie bei dieser Aufgabe hier ein Intervall bestimmt werden soll, würde ich ganz normal das

k

bestimmen und daraus die Grenzen des Intervalls. Diese errechneten Grenzen kann ich dann gemäß der Stetigkeitskorrektur interpretieren, beispielsweise

23,5 < X < 30,5

als den Bereich der ganzen Zahlen von

24

bis

30

. (Das Ganze läuft ja quasi rückwärts ab.)

Sabine2 aktiv_icon

22:00 Uhr, 28.05.2012

Hallo Matlog und vielen Dank bisher!

zum Verständnis:

Also berechne ich das

k

laut dem von

13 : 59

geschriebenen?

μ

und

σ

sind dann ja gegeben, also berechne ich die Grenzen des Intervalls dann mit

μ - k \cdot σ

und

μ + k \cdot σ

.
Runden muss ich dann natürlich zum Erwartungswert hin. (Auch um das mit der Stetigkeitskorrektur "rückgängig" zu machen, oder?) Aber würde dies nicht wieder umgekehrt bedeuten, dass in diesem

μ \pm k \cdot σ

indirekt die stetigkeitskorrektur mit drinnsteckt, wenn ich die zum schlüss wieder rückgängig mache?

So, dann meintest du, dass die Stetigkeitskorrektur von

\pm 0,5

bei einer standardisierten Grenze keinen Sinn mehr macht. Leuchtet ein, weil die balken ja nichtmehr die Länge 1 haben. Wenn ich aber nun die Stetigkeitskorrektur mit

\frac{1}{2 \cdot σ}

durchführe?

Dann noch eine Kleinigkeit: Du hast geschrieben, dass man

P (26,5 < X < 27,5)

betrachtet.
Wieso lediglich

<

und nicht

\leq

?

Lieben Gruß

Sabine

Matlog aktiv_icon

23:38 Uhr, 28.05.2012

Ja, richtig. Ich würde

μ - k \cdot σ

und

μ + k \cdot σ

berechnen. Runden zum Erwartungswert sollte dann für ungefähr

20 %

im Intervall sorgen. Manchmal wird aber mindestens

20 %

oder höchstens

20 %

gefordert sein. Dann könnte ein anderes Runden nötig sein.

Nochmal allgemein zur Stetigkeitskorrektur: Ich würde nicht sagen, dass die schon irgendwo drin steckt. Sie ist ein Mittel, um den Übergang zwischen einer diskreten und einer stetigen Verteilung zu verbessern.
Wenn ich von vorneherein eine Normalverteilung habe (keine Approximation der Binomialverteilung), dann macht die Korrektur keinerlei Sinn!

Deine Bemerkung zur Stetigkeitskorrektur bei der standardisierten Zufallsvariable mit

\frac{1}{2 \cdot σ}

erscheint mir richtig.

Zur Frage

\leq

oder

< :

Bei stetigen Verteilungen macht das keinen Unterschied.

P (X = k)

ist immer Null.

Sabine2 aktiv_icon

06:59 Uhr, 29.05.2012

Guten Morgen,

wie kommst du denn auf die

20 %

? Dies hängt doch von dem Faktor

k

ab, oder nicht?

Also habe ich mit

P (μ - k \cdot σ \leq X \leq μ + k \cdot σ)

bereits eine stetige Zufallsvariable gegeben, weil hier auch Zahlen gebildet werden, die nicht Element von

ℕ

sind?!

Demnach wäre

P (μ - k \cdot σ \leq X \leq μ + k \cdot σ) = P (μ - k \cdot σ < X < μ + k \cdot σ)

Matlog aktiv_icon

08:53 Uhr, 29.05.2012

"wie kommst du denn auf die

20 %

? Dies hängt doch von dem Faktor

k

ab, oder nicht?"
Ich dachte, die

20 %

stammen aus Deiner Aufgabe?! (Ist sonst nur ein Beispiel.)

"Also habe ich mit P(μ-k⋅σ≤X≤μ+k⋅σ) bereits eine stetige Zufallsvariable gegeben, weil hier auch Zahlen gebildet werden, die nicht Element von ℕ sind?!"
Hm, bin nicht sicher, ob ich das richtig verstehe.
Ich würde sagen, die Diskretheit oder Stetigkeit liegt in dem X.
Vielleicht müsste ich das mathematisch sauberer formulieren:
Das binomialverteilte

X

soll durch das normalverteilte X´ angenähert werden. Man berechnet dann

P (12 \leq X \leq 17) \approx

P(11,5<X´<17,5).
Es gibt aber auch von vorneherein normalverteilte Zufallsvariable, wie

z . B

. die exakte Länge von Werkstücken, die nicht alle genau gleich produziert werden können.

"Demnach wäre P(μ-k⋅σ≤X≤μ+k⋅σ)=P(μ-k⋅σ<X<μ+k⋅σ)?"
So ist es! (bei stetiger Verteilung von

X,

also eigentlich mein X´ von oben)

Sabine2 aktiv_icon

14:11 Uhr, 29.05.2012

Oh natürlich.. Die genaue Aufgabe habe ich mittlerweile schon aus den Augen verloren. Wir wurden hier ja immer allgemeiner.

"Hm, bin nicht sicher, ob ich das richtig verstehe."

Ich meinte, ob das

X

bei

P (μ - k \cdot σ \leq X \leq μ + k \cdot σ)

automatisch stetig verteilt ist?
Also ob dieser Ausdruck

μ \pm k \cdot σ

allein schon auf eine Normalverteilung schließen lässt.

"Es gibt aber auch von vorneherein normalverteilte Zufallsvariable"

Richtig, das ist es!
In meinem Post von

13 : 59

. Woher weiß ich denn, dass das

X

da "von vorneherein normalverteilt" ist?

lg

Matlog aktiv_icon

14:26 Uhr, 29.05.2012

Nein, da ist nichts automatisch stetig!
Was das

X

ist, muss aus der Aufgabenstellung hervorgehen. Wenn

X

eine Trefferzahl ist, dann ist es diskret. Ganz anders ist es bei der Länge eines Werkstücks.

Sabine2 aktiv_icon

14:39 Uhr, 29.05.2012

Okay, in meinem Fall lautet die Aufgabe:

Bestimmen Sie die Sigma-Umgebung, sodass in ihr

20 %

aller Messwerte liegen.

Das kann doch aber alles bedeuten.

Matlog aktiv_icon

14:46 Uhr, 29.05.2012

Richtig! Wenn das so unbestimmt da steht, dann gibt es keine Veranlassung für eine Stetigkeitskorrektur.
Allerdings hast Du ganz oben vom Thema "Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung" gesprochen.
Bei der Interpretation der Aufgabenstellung kann ich wohl nicht viel helfen.

Sabine2 aktiv_icon

16:04 Uhr, 29.05.2012

Okay, alles klar! Ich danke dir für deine Hilfe :-)

Sabine2 aktiv_icon

16:06 Uhr, 29.05.2012

Okay, alles klar! Ich danke dir für deine Hilfe :-)

Sabine2 aktiv_icon

16:08 Uhr, 29.05.2012

Okay, alles klar! Ich danke dir für deine Hilfe :-)

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